2021年河北省唐山市司各莊高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬

試卷含解析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

(3a-1)x+4a(x<Cl)

1.已知f(x)4logaX(x》l)是(-8,+8)上的減函數(shù)，那么a的取值

范圍是()

12111

A.[7,3)B.(0,3)C.(7,1)D.(3,1)

參考答案：

A

【考點】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】由f(x)為(-8,+8)上的減函數(shù)，知(3a-1)x+4a遞減，logaX遞減，且

3a-1<CO

<0<a<l

(3a-1)Xl+4a>logJ,從而得I⑶-口Xl+4a>logal；解出即可.

【解答】解：因為f(X)為(-8,+8)上的減函數(shù)，

’3a-1<0

<0<a<l

所以有.(3a-DXl+4a>logai；解得尸

故選A.

【點評】本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，屬中檔題.

2.曲線y=l+(|x|W2)與直線y=Z(x—2)+4有兩個交點時，實數(shù)4的取值范圍是

()

A.B.

C.D.

參考答案:

A

3.(5分)某班有50名學(xué)生，一次數(shù)學(xué)考試的成績€服從正態(tài)分布N(105,102),已

知P(95W€<105)=0.32,估計該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績在115分以上的人數(shù)為()

A.10B.9C.8D.7

參考答案：

B

【考點】：正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.

【專題】：計算題；概率與統(tǒng)計.

【分析】：根據(jù)考試的成績€服從正態(tài)分布N(105,102).得到考試的成績€關(guān)于

1

g=105對稱,根據(jù)P(95這&W105)=0.32,得至ljP(g2105)=可(1-0.64)=0.18,

根據(jù)頻率乘以樣本容量得到這個分?jǐn)?shù)段上的人數(shù).

解：?.?考試的成績&服從正態(tài)分布N(105,102).

考試的成績g關(guān)于g=105對稱，

VP(95WC<105)=0.32,

1

：.P(<,>105)=2(1-0.64)=0.18,

...該班數(shù)學(xué)成績在115分以上的人數(shù)為0.18X50=9

故選：B.

【點評】：本題考查正態(tài)曲線的特點及曲線所表示的意義，是一個基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵

是考試的成績&關(guān)于g=105對稱，利用對稱寫出要用的一段分?jǐn)?shù)的頻數(shù)，題目得解.

'=1

4.(07年全國卷H理)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線7廬一的左、右焦點。若雙曲線上

存在點A,使NFIAF2=90O,且|AFI|=3|AF2|,則雙曲線離心率為

苴姬姮

(A)2(B)2(C)2(D)后

參考答案:

答案：B

解析：設(shè)Fi,F2分別是雙曲線/的左、右焦點。若雙曲線上存在點A,

使NFIAF2=90O,且|AFI|=3|AF2|，使AFR=1,|AFI|=3,雙曲線中

_______________而

2。=|典卜|伍卜2,2c=「/『+|旬=啊.?.離心率'=T,選B。

*X

5.已知函數(shù)/(X)=sin(5+9)(w>0,2<^<2)的最小正周期為兀，將該函數(shù)的

n

圖象向左平移。個單位后,得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，則/(x)的圖象是(）

n5x

A.關(guān)于點(5，0)對稱B.關(guān)于直線廣收對稱

5<n

C.關(guān)于點(五，0)對稱D.關(guān)于直線戶對稱

參考答案：

B

21g2-lg—

6.6七的值為（）

A.1B.2C.3

D.4

參考答案：

B

略

F)—A1「_工11

7.定義在區(qū)間[a,b](b>a)上的函數(shù)~2SinX下“sx的值域是L一2,

則b-a的最大值M和最小值m分別是()

參考答案:

D

【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象.

【專題】三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

__J￡

【分析】利用兩角差的正弦化簡得，f(x)=sin(X萬)，由函數(shù)f(x)在

33」上的值域為2，不妨設(shè)36,可得b-

三匹士兀

3w[2'6],由此可得b-a的最大值M和最小值m的值.

n(\_1-.

?皿狀、gf⑴-TSinx--COSX.X--

【解答】解：22=sin(3),

_兀u「_兀1兀.

..ur.La--,b--]

.xt[a,bj(b>a),??JJJ,

r_兀匕_兀]r_1]]

由函數(shù)f(x)在與'一下」上的值域為亍，

IT71717T7

a———————,—7T

不妨設(shè)36,則b-3G[26],

???13-@的最大值從=石63；

冗_(dá)/_7T)_2兀

最小值"三一

故選：D.

【點評】本題考查兩角差的正弦，考查了三角函數(shù)的值是基礎(chǔ)題.

8.過原點且傾斜角為60?的直線被圓°所截得的弦長為()

A.B.2J2C.

出D.41

參考答案：

A

略

9.三棱錐P—中，尸/1平面/"CAC1H("(：=BC=1,PA=6,則該三棱錐

外接球的表面積為()

A.5可B.<2JTC.20/rD.4*

參考答案：

【知識點】球的體積和表面積.G8

A解析：取PC的中點0,連結(jié)0A、0B

??,PAJ_平面ABC,AC?平面ABC,

1

APA±AC,可得RtZXAPC中,中線0A='加C

XVPA±BC,AB±BC,PA、AB是平PSAB內(nèi)的相交直線

1

；.BC_L平面PAB,可得BC_LPB,因此Rt/XBSC中，中線0B=^C

AO是三棱錐P-ABC的外接球心，

?.,RtZXPCA中，AC=&,PA=V3

1娓

.-.PC=V5,可得外接球半徑R='PC="^

，外接球的表面積S=4nR2=5n

故選A.

【思路點撥】根據(jù)題意，證出BCJ_平面SAB,可得BCJ_PB,得RtZ\BPC的中線0B=&PC,

1

同理得到0A=^C,因此0是三棱錐S-ABC的外接球心.利用勾股定理結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出

在

PC=泥，得外接球半徑R=2,從而得到所求外接球的表面積.

10.若圓一+y'-2ax+徹=°的.圓心位于第三象限，則直線“+8+5=°一定不經(jīng)過

第（）象限

A.四B.三C.~

D.—

參考答案：

A

略

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.

等比數(shù)列｛4）中，已知為+的+%=8/…+勺=7,記與+?

_.InnE-=

參考答案：

64

答案：~9

12.若一個函數(shù)是"好函數(shù)"當(dāng)且僅當(dāng)其滿足：（1）定義在R上；（2）存在a<6,使其在

（-B,a）,（b,+8）上單調(diào)遞增，在S,母上單調(diào)遞減，則以下函數(shù)是好函數(shù)的

有_____________

（填寫函數(shù)編號）①“x-2|；（2^=X|X-2|;③y=W-3x+l；④￥=入*+3

參考答案：

②③

13.如果a、b是異面直線，P是不在a、b上的任意一點，下列四個結(jié)論：①過點P—

定可以作直線/與a、b都相交；②過點P一定可以作直線,與a、b都垂直；③過點P

一定可以作平面a與a、b都平行；④過點P一定可以作直線/與a、b都平行.其中

正確的結(jié)論是.

參考答案：

②

14.已知函數(shù)f（x）的定義域為［-2,+oo）,部分對應(yīng)值如下表.？（x）為f（x）的導(dǎo)函

2b+6

數(shù)，函數(shù)y=f（x）的圖象如圖所示.若兩正數(shù)a,b滿足f（2a+b）<1,則a+3的取值

參考答案:

_614

(5,3)

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【分析】由導(dǎo)函數(shù)的圖象得到導(dǎo)函數(shù)的符號，利用導(dǎo)函數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系得到

f(x)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出不等式的解即a,b的關(guān)系，畫出關(guān)于a,b的不

等式表示的平面區(qū)域，給函數(shù)與幾何意義，結(jié)合圖象求出其取值范圍

【解答】解：由導(dǎo)函數(shù)的圖形知，

xG(-2,0)時，f(x)<0；

xG(0)+oo)時，f(x)>0；

Af(x)在(-2,0)上單調(diào)遞減，在(0,+00)上單調(diào)遞增；

vf(2a+b)<1,

-2<2a+b<4；

又a>0,b>0,

2b+6

.?.a,b滿足的可行域為a+3表示點(a,b)與(-3,-3)連線的斜率的2倍，

如圖所示；

2X0+6_6

由圖知當(dāng)點為(2,0)時斜率最小，為2+3=后；

2X4+614

當(dāng)點為(0,4)時斜率最大，為-3―=V；

2b+6g14

所以a+3的取值范圍是(瓦T).

15.設(shè)向量〃=(3,—1),8=(1,m)，且(。+28)八則|。|=.

參考答案：

65

16.經(jīng)過點以-2D且與原點的距離為2的直線方程為******。

參考答案：

x=2或女-4,+10=0

17.已知定義在(0,+oo)的函數(shù)f(x)=|4x(1-x)I，若關(guān)于x的方程f2(x)+(t-3)

f(x)+t-2=0有且只有3個不同的實數(shù)根，則實數(shù)t的取值集合是.

參考答案：

(2,5-2正}

【考點】一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系.

【分析】通過f(x)的圖象，研究關(guān)于y的二次方程y2+(t-3)y+t-2=0有且只有3個

不同的實數(shù)根.設(shè)g(y)=y2+(t-3)y+t-2,通過對y的取值范圍，去對t進(jìn)行討論，

可得答案.

【解答】解：作出f(x)圖象，研究關(guān)于y的二次方程y2+(t-3)y+t-2=0根的分

步.設(shè)g(y)=y2+(t-3)y+t-2,t=2時,y=0,y=l,由圖象可知顯然符合題意.

tV2時，一正一負(fù)根，即g(0)<0,g(1)<0,方程的根大于1,

f2(x)+(t-3)f(x)+t-2=0只有1個根，t>2時，兩根同號，只能有一個正根在區(qū)間

(0,1),而

3-t￡(0,])

g(0)=t-2,g(1)=2t-4,其對稱軸y=2',1<t<3

△=0,可得t=5±2&

.?.t=5-2&.

???實數(shù)t的取值集合是｛2,5-2加｝

故答案為：｛2,5-272).

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.設(shè)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)0SE2時，y=x,當(dāng)x>2時，y=/(x)的圖象是

頂點為P(3,4),且過點A(2,2)的拋物線的一部分.

(1)求函數(shù)yu)在(一°°，—2)上的解析式；

⑵在直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)次X)的草圖；

(3)寫出函數(shù)7U)的值域.

參考答案：

⑴設(shè)頂點為P(3,4),且過點A(2,2)的拋物線的方程為y=a(x—3)2+4,將(2,2)代入

可得a=-2,

??.〉=-2(X-3)2+4,即y=~2x2+\2x~\4.

設(shè)x<—2,則一x>2.

又?x)為偶函數(shù),

y(x)=X—x)=-2x(—x)2—12%—14,

即=-2x2-12x-14.

二函數(shù)/(x)在(一oo,-2)上的解析式為

犬x)=-27—12x—14.

(2)函數(shù)?r)的圖象如圖所示.

（3）函數(shù)式x）的值域為（一8,4.

19.（本小題滿分14分）已知拋物線「：1-2啾用>0）和直線/>=依-用沒有公共點

（其中七用為常數(shù)），動點尸是直線/上的任意一點，過尸點引拋物線「的兩條切線，切

點分別為MN,且直線4因恒過點Q&I）。

（1）求拋物線r的方程

（2）已知。為坐標(biāo)原點，連接FQ交拋物線r于AB兩點，且4點在線段尸Q之間，求

9+?0的值

參考答案：

（I）設(shè)（孫乃）.P⑸為）

依題意可得：直線月”的方程為V?.MX-V\,直線印的方程為

可得直線的方程*高高一網(wǎng)”'恒過點（砒用），則必牌，然

...C的方程為--2y..........6分

(H)由圖知a4BQ四點共線，可得再?怎+而?3可轉(zhuǎn)化為距離，設(shè)

y-l.AZl(x-i)

用卬刀)，醺。S),直線飛-k與拋物線方程聯(lián)立可得

與+“嶇①乂3國一他紅型

,%-上,而(修-/XA-*)-?-%)a-/)展開化簡可求

得為0,...歷?西+萬?宓=0......14分

20.(本題滿分12分)已知〃X)=-3/+a(6-a)x+6o

(1)解關(guān)于a的不等式/①>0.

(2)當(dāng)不等式f(x)>0的解集為(-1,3)時，求實數(shù)的值.

參考答案：

22

(1)f⑴=-3+a(&a)+b=-a+6a+fe-3,?/f(i)〉o/.-a+6a+b-3<0>

=24+4b,當(dāng)bW-6時,A^O,f(l)>0的解集為6；

當(dāng)b>-6時，3-^+6<a<3+>/b+6f(l)>0的解集為

(x|3->/b-6<a<3+yfb+6)

(2)不等式-3—+儀60>化>0的解集為(T,3),

f(x)>0與不等式(x+1)(x-3)<0同解，?..3x%(60"七<0解集為(_i,3)

2a(6-a)

3_b3|a-3±73

/.."3，解之得”?9.

21.(本小題共14分)

已知函數(shù)，(@二7-]1-、aeR.

(I)若/(工)在工=1處取得極值，求a的值；

(II)求在區(qū)間也2)上的最小值；

（in）在（i）的條件下，若*（工）=1一/（勸，求證：當(dāng)1＜工＜￥時，恒有4-*00成

立.

參考答案：

【知識點】導(dǎo)數(shù)的綜合運用

【試題解析】（I）由/（x〕=K-alnx,定義域為（0,+8）,

r（x）=2x--

得X.

因為函數(shù)/（x）=i一qlnx在x=［處取得極值，

所以/"）=0,即2-4=0,解得a=2.

經(jīng)檢驗，滿足題意，所以a=2.

2x2a

/*（x）g2x--=~/A

（II）由（I）得XX，定義域為（0?+8）.

當(dāng)4w0時，有了'（x）＞0,/（x）在區(qū)間口.*。）上單調(diào)遞增，最小值為了（D=l；

當(dāng)0＜aM2,由八x）=0得x-g,且。

當(dāng)―悔時，/3＜o(jì),"X）單調(diào)遞減，當(dāng)足4”）時，八x）＞0,/（x）單

調(diào)遞增，

所以一（X）在區(qū)間口，楨）上單調(diào)遞增，最小值為了⑴=1；

當(dāng)xea百時，/（x）＜o(jì),/（X）單調(diào)遞減，當(dāng)時，八x）＞0,/⑸單

調(diào)遞增，

_艮,（_aa.a

所以函數(shù)/（x）在x-V2取得最小值一9于一?2n2.

綜上當(dāng)4M2時，/W在區(qū)間口，氣°)上的最小值為1；

當(dāng)4>2時，/(X)在區(qū)間。，和。)上的最小值為522.

(III)由以(x)=x'?/(x)得以X)=2lnx

當(dāng)l<x<e’時，0<lnx<2,0<A(x)<4

xJ+N)

欲證4T(X),只需證M4f(x)】<4+A(x),

力、4x-42x-2

A(x)>--------Inx>--------

即證x+1,即x+1.

,、.2x—2

0(x)=lnx----------

設(shè)x+1,

.㈤」.&+D32)=^i

則x(x+D'式x+暝.

當(dāng)Ivxve?時，aa)>0,所以0(x)在區(qū)間(l,e)上單調(diào)遞增

lnx_2x-2>0

所以當(dāng)】<x<e2時，dx)>0(l)=O,即x+1