教學設計2.1數(shù).列1一、教材分析數(shù)列作為特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學模型，在生產(chǎn)生活中有著廣泛的應用。同時，數(shù)列也是數(shù)學重要的研究對象，是研究其他類型函數(shù)的基本工具。“數(shù)列的概念與簡單表示法”是高中數(shù)學人教版必修五第二章第一節(jié)，作為數(shù)列篇章的開頭，它是對函數(shù)概念及性質的又一次鞏固和深化，也是后續(xù)研究等差數(shù)列、等比數(shù)列，學習數(shù)列極限的基礎。作為章節(jié)起始課，盡管知識難度不大，但蘊含豐富的數(shù)學思想。例如，用函數(shù)的觀點研究數(shù)列，體現(xiàn)了函數(shù)的思想；由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項公式，體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學思想；利用通項公式判斷某數(shù)是否為數(shù)列中的項，體現(xiàn)了方程的思想等等。同時學習數(shù)列還可以提高觀察分析、抽象概況、類比遷移、猜想論證的數(shù)學能力，培養(yǎng)學生的應用意識和創(chuàng)新精神。此外，數(shù)列本身蘊含著豐富的數(shù)學文化背景，如教材章頭圖中的斐波那契兔子繁殖實驗、折紙活動、以及生活中一些常見的例子，有利學生形成正確的數(shù)學觀，激發(fā)學生理解數(shù)學、喜歡數(shù)學、熱愛數(shù)學。由此可見，“數(shù)列的概念與簡單表示法”在整章教學中有著重要的作用。因此，如何激發(fā)學生的興趣，如何引導學生積極主動地開展學習，如何實現(xiàn)知識與思想、方法的深度融合，值得執(zhí)教者思考和探索。本節(jié)課把握知識內核，滲透數(shù)學思想，關注學習方法，提升能力素養(yǎng)，探討“數(shù)列的概念與簡單表示法”一節(jié)的教學。二、教學目標分析1、知識與技能：理解數(shù)列及其相關概念，感受數(shù)列是刻畫自然規(guī)律的數(shù)學模型，能通過觀察歸納得出數(shù)列的通項公式，理解數(shù)列的通項公式是一種特殊函數(shù)并知道其定義域。2、過程與方法：通過對數(shù)列定義的總結、數(shù)列通項公式的探索歸納，培養(yǎng)觀察能力和抽象概括能力；通過合作交流、獨立思考、大膽猜想培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力。3、情感態(tài)度價值觀：通過大量的生活實例感受數(shù)學來源于生活，通過對數(shù)列的深入分析感受數(shù)學之美，通過小組合作探究感受成功的喜悅。三、教學重難點教學重點：數(shù)列概念的理解，了解數(shù)列的通項公式的意義和數(shù)列的分類。教學難點：用函數(shù)的觀點認識數(shù)列，能通過數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)列的通項公式，并了解函數(shù)和數(shù)列之間的聯(lián)系與區(qū)別。四、教學方法本節(jié)課采用設疑式教學法，在課堂中教師通過具體的分析，以設問和疑問的形式引發(fā)學生對于問題的思考，啟發(fā)學生的探究式思維，提高學生的學習效率，凸顯學生在課堂中的主體地位。五、教學過程（一）創(chuàng)設情景，引入新課【情景1】奧運會金牌展示從1988年到2008年中國在奧運會上斬獲的金牌數(shù)：16,28,32,51,38,26師：我們可以看到，中國在奧運會中斬獲的金牌越來越多，這不是一組簡單的數(shù)據(jù)，它是無數(shù)體育健兒不畏艱辛無數(shù)次揮灑汗水和淚水為我們的祖國換來的榮譽！少年強則國強，同學們也應該不畏困難向著夢想前進！【情景2】折紙活動師：取一張紙對折一次得到2層，對折兩次得到4層，對折三次得到8層，那么隨著依次對折的次數(shù)增加，它的層數(shù)是多少？生：2,4,8,16,32……【情景3】一尺之棰師：《莊子》中有一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，意思是一根一尺長的木棍，每天截取一半，永遠也取不完。按照這樣的取法，每天木棍剩下的長度為多少？1111比. : ,,, ,??????24816【情景4】三角形數(shù)師：傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家常在沙灘上研究數(shù)學問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數(shù)字，所對應的數(shù)字依次為多少？□□□□□□口□□□□□□□□□□□□□生：1,3,6,10，??【情景5】n的近似值n精確到0.01,0.001,0.0001的不足近似值依次為：3.14,3.141,3.1415【情景6】存錢問題為了給媽媽買生日禮物，李華決定每周存50塊錢，則李華每周存下的錢依次為：50,50,50,50,50,……（二）概念講解，推進新課師：這些問題有什么特征嗎?每組數(shù)的順序可以顛倒嗎？（學生可能會從多個角度回答，教師對合理的給予肯定）生：都是一些數(shù)，排成一列。順序不可顛倒。師：上述例子，都是按照一定的次序排列的一列數(shù)，稱為數(shù)列。【思考一】理解數(shù)列與集合的關系師：老師通過查閱得知體彩排列5上期的開獎號為3,7,4,2,5,那么7,3,4,2,5能中獎嗎？生：不能，因為這些數(shù)的次序不同。師：1,0,1,0,1，…是一個數(shù)列嗎？數(shù)列中的數(shù)可以重復出現(xiàn)嗎？生：定義中說按一定次序排列的數(shù)就是數(shù)列，沒有規(guī)定這些數(shù)不能重復出現(xiàn)，因此，這是一個數(shù)列。師：非常好！如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復出現(xiàn)。這與集合是不一樣的。從集合的角度考慮，｛3,7,4,2,5｝與｛7,3,4,2,5｝是同一集合嗎？生：是同一集合，因為它們的元素相同。師：數(shù)列1,0,1,0,1若是寫作一個集合，該如何表示？生：大括號中只寫0和1。師：數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項，各項依次叫做這個數(shù)列的第1項（首項），第2項，第3項，…，第n項，…，分別用a,a,a,…,a…表示。例如，在數(shù)列2,4網(wǎng)16,32，…123 n中，2是首項，記作a,8是第3項，記作a，同學們能再舉一些其他的例子嗎？13生1：在數(shù)列1,3,5,7,9,……中，第一項是1,第二項是3,第三項是5,第四項是7。師：數(shù)列的一般形式記作a,a,a，…,a，…，或簡記為｝，其中a是數(shù)列的第n123 n n n項。大家能否指出勿｝與a的聯(lián)系與區(qū)別？nn生2：ta｝是指整個數(shù)列，包含數(shù)列中所有的項，是一個整體概念，而a是指數(shù)列中nn

的第項，是一個局部概念。師：再觀察上述情景中的數(shù)列，考慮項的個數(shù)、項與項之間的關系、整體的變化趨勢，它們有何不同？生3：有些數(shù)列只有有限個項，有的數(shù)列有無數(shù)個項；有的數(shù)列一直增大，有的數(shù)列一直減小，也有的數(shù)列一會增大一會減小。師：可以按照項數(shù)的多少和項的大小對數(shù)列進行分類：（1）根據(jù)數(shù)列項數(shù)的多少分：有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列。無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列。（2）根據(jù)數(shù)列項的大小分：遞增數(shù)列：從第2項起，每一項大于它的前一項的數(shù)列。遞減數(shù)列：從第2項起，每一項小于它的前一項的數(shù)列。常數(shù)列：各項都相等的數(shù)列。擺動數(shù)列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列。師：請大家對黑板上的數(shù)列進行分類？生：按項的個數(shù)來分，依次為有窮數(shù)列、無窮數(shù)列、無窮數(shù)列、無窮數(shù)列、有窮數(shù)列、無窮數(shù)列；按項的大小分，依次為擺動數(shù)列、遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、遞增數(shù)列、遞增數(shù)列、遞增數(shù)列、常數(shù)列。（三）問題探究，深入新課【思考二】理解數(shù)列與函數(shù)的關系師：數(shù)列中的數(shù)與它的序號有什么關系？你能聯(lián)想到學過的哪些內容？項24項2481632641282n序號1 23 45 6 7師：我們發(fā)現(xiàn)，在數(shù)列中，每一項和它的序號之間是一一對應的關系。若將每一項和序號中的數(shù)分別看成一個集合（如圖），這種對應關系和我們之前學的哪個概念相關？生：給定任意一個序號n就必定有唯一確定的項〃與之對應，這說明〃與n之間的對nn應關系是一個映射。師：很好！若非空集合A與B間存在著對應關系力而且對于A中的每一個元素％，B中總有唯一確定的一個元素y與它對應，就這種對應為從A到B的映射，記作f：AfB。進一步的，在這個映射中，若A、B集合都為數(shù)集，這說明〃與n還具有什么樣的關n系？生：數(shù)列的序號n類比函數(shù)的自變量，數(shù)列的每一項〃類比函數(shù)中每一個自變量對應n的函數(shù)值，所以〃是一個關于n的函數(shù)。n師：非常好！a就是一個關于n的函數(shù)，a的值隨著n的變化而變化，反過來，當給nn定了n的值，a也隨之而確定。我們知道函數(shù)具有三要素，a作為一個關于的函數(shù)，它nn的定義域是什么呢？（同學分組討論，教師展示學生成果，并加以完善）生：數(shù)列的項是序號的函數(shù)，序號從1開始依次增加時，對應的函數(shù)值按次序排出就是數(shù)列。即數(shù)列的項是函數(shù)值序號是自變量它的定義域為正整數(shù)集N*或它的有限子集*2,3，…,n},其中，n必定是從開始取值的。師：很好，請大家指出2,4,8,16,……和16,28,32,51,38,26這兩個數(shù)列的定義域？生4：分別為N*和{1,2,3,4,5,6}師：既然數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，我們作出數(shù)列2，4，8，16，32，64，128，…的圖像觀察，它與我們以前學的函數(shù)圖像有何不同？生：以前學的函數(shù)圖像一條曲線，這個圖像是一些點。師：由于數(shù)列是定義在正整數(shù)集N*或它的有限子集上的函數(shù)，因此它的圖像是一群橫坐標為正整數(shù)的孤立的點?！舅伎既亢瘮?shù)的解析式和數(shù)列通項公式的聯(lián)系師：通過折紙活動我們發(fā)現(xiàn)n與a的函數(shù)關系式為a=2n，由這個函數(shù)關系式我們可nn以求出數(shù)列的首項，第2項，第3項等等，因此數(shù)列第n項的解析式很重要，稱為數(shù)列的通項公式。請同學們通過自己的理解給數(shù)列的通項公式下一個定義？生：如果數(shù)列1｝的第n項a與n之間的關系可以用一個函數(shù)式a=f（n）來表示，nn n那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式。實際上，數(shù)列的通項公式就是相應函數(shù)的解析式。師：非常好，實踐是檢驗真理的唯一標準，帶著這樣的理解，我們一起來做以下練習。（四）例題互動，反饋新課例1根據(jù)下面數(shù)列“〃｝的通項公式，寫出它的前項:(1)a (2)a-sin—TOC\o"1-5"\h\zn 2n-1 n21111解：(1)將n=1,2,3,4,5分別帶入a,得到ai-1,a2-3,a3-5,a4-7,a5-9。（）將n=1,2,3,4,5分別帶入a，得到a-1,a-0,a--1,a-0,a-1。n 123 45變式1!和3是否是數(shù)列（）中的項？若是，是第幾項？若不是，請說明理由。35 261 11 11生5：――是數(shù)列U（）中的第18項，因為令—- 解出n=18，而令;=n 135 352n-1 262n-127解出n-一年N*。2

例2寫出下面數(shù)列的一個通項公式：(1)1,4,9,16,25，…⑵-1,...(4)1,0,1,0,1,0,.解：()由觀察得“〃"n2()由觀察得a=(-1)n+1n2n-1()由觀察得a=(-1)n nn■n為奇數(shù)()由觀察得a=《八班/田將n 0,n為偶數(shù)師：這個數(shù)列的通項公式能否有其他的表達式？對于1,0交替出現(xiàn)的規(guī)律，能否采取像(2)中正負交替項一樣的處理方法？生6生6：還可以寫為a1+(-1)n+1師：非常好！這說明數(shù)列的通項公式有時不是唯一的。通過上面兩個例題，大家能否總結求數(shù)列通項公式的通行通法？生7：先統(tǒng)一項的結構，探索出項變化的部分與序號n之間的關系。生8：正負號交替出現(xiàn)用(-1)n或(-1)n+1處理。師：很好，實際上數(shù)列的通項公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第項，又是這個數(shù)列中所有各項的一般表示。已知an代入項數(shù)我們可以求出數(shù)列中的任意一項，反過來也可以利用通項公式檢驗某數(shù)是否是該數(shù)列中的一項。(五)變式練習，強化新課師：下面請大家自己動手做課堂練習。1、寫出下面數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)：(1)2,3,4,5(2)-3,-6,-9,-12,(1)2,3,4,5(3)1,-3,5,-72、已知數(shù)列的通項公式汝=n2-2nnn(1)寫出該數(shù)列的第4項和第6項；(2)9和15是否為該數(shù)列的項？若是，是第幾項；不是，請說明理由。(六)歸納小結，延伸新課師：本節(jié)課學了哪些知識？用了什么方法？生9：從知識上學了數(shù)列的定義、通項公式、數(shù)列與函數(shù)的關系、數(shù)列的分類。師：數(shù)列的實質？生10：數(shù)列是一個特殊的函數(shù)。師：本節(jié)課你印象最深的地方？生11：印象最深的是求數(shù)列通項的方法，數(shù)列的定義域等。師：還有何疑問？生12：對于沒有規(guī)律的一列數(shù)怎么求通項公式？師：以后我們只研究有規(guī)律的數(shù)列，沒有規(guī)律的數(shù)列沒有研究意義。(七)課后鞏固，消化新課課后鞏固：教材P28練習A1,2,3題練習B3題課后探究：1、寫出數(shù)列1,3,6,10,……的通項公式？2、求數(shù)列2,4,8,16,……的前20項和？3、查閱資料，了解神奇的斐波那契數(shù)列：1，1,2,3,5,8,13,……六、教學反思本堂課僅僅圍繞教學目標進行展開，采用設疑式的教學方法充分調動學生的積極性使學生真正成為課堂的主體，學習的主人。開頭以多個不同方面的情景引入數(shù)列，吸引學生興趣,使學生感受到數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系，同