數(shù)學(xué)學(xué)師范生和學(xué)困生解決應(yīng)用題時表征策略的比較

1數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的錯誤和錯誤表達(dá)方式是解決問題的關(guān)鍵。研究者認(rèn)為,有能力的問題解決者的一個很重要的優(yōu)勢在于他們可正確地建構(gòu)對問題的表征,表征調(diào)節(jié)著個體與環(huán)境之間的關(guān)系,有助于個體理解信息和情境的關(guān)系。正確的問題表征對問題的解決是至關(guān)重要的,只有對問題進(jìn)行清晰準(zhǔn)確地理解,才有可能對其準(zhǔn)確解決。一些學(xué)生可順利地解決數(shù)字題,但在需要相同計算能力的應(yīng)用題中卻出現(xiàn)錯誤,他們在解決問題上沒有困難,而在數(shù)學(xué)表征上存在困難,即在理解問題上存在困難。Mayer等人認(rèn)為,在數(shù)學(xué)應(yīng)用題心理表征中存在兩種基本的策略-直接轉(zhuǎn)換策略(directtranslationstrategy)和問題模型策略(problem-modelstrategy)。直接轉(zhuǎn)換策略是指當(dāng)面對數(shù)學(xué)應(yīng)用題時,主體并不過多考慮問題表述中的語義和詞序是否符合正常的邏輯順序,只關(guān)注題目中的數(shù)字和關(guān)鍵詞;問題模型策略是指當(dāng)面對數(shù)學(xué)應(yīng)用題時,主體首先試圖理解問題情境,理解條件間的關(guān)系,建立問題的情境模型。一些研究結(jié)果表明,成功的問題解決者傾向于使用問題模型策略,不良問題解決者傾向于使用直接轉(zhuǎn)換策略,這是因?yàn)槭褂弥苯愚D(zhuǎn)換策略的學(xué)生只關(guān)注數(shù)字和關(guān)鍵詞,強(qiáng)調(diào)對數(shù)字的加工,注重量的推理;而使用問題模型策略的學(xué)生則試圖理解問題情境,然后根據(jù)情境表征制定計劃,強(qiáng)調(diào)條件之間的關(guān)系,注重質(zhì)的推理。本實(shí)驗(yàn)試圖根據(jù)Mayer等人提出的數(shù)學(xué)應(yīng)用題的表征策略,探索小學(xué)二年級數(shù)學(xué)學(xué)優(yōu)生與學(xué)困生在解決一致/不一致應(yīng)用題和條件多余/條件不足這樣的非常規(guī)應(yīng)用題上成績差異的主要原因。2學(xué)習(xí)方法2.1年級前5名學(xué)生選取某普通小學(xué)二年級學(xué)生,按照他們在最近期中數(shù)學(xué)考試中的年級排名,挑選出年級前50名學(xué)生和后50名學(xué)生。然后讓各班的數(shù)學(xué)老師根據(jù)學(xué)生最近的學(xué)習(xí)表現(xiàn)及相關(guān)測試成績進(jìn)行定性評價,從初選被試中挑選出他們認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的學(xué)優(yōu)生24人(男生14人,女生10人)和學(xué)困生19人(男生12人,女生7人)。2.2不一致應(yīng)用題任務(wù)一:8道比較應(yīng)用題,其中一致和不一致應(yīng)用題各4道。一致應(yīng)用題是指關(guān)鍵詞與實(shí)際運(yùn)算操作是一致的,如題中關(guān)鍵詞是“多”或“少”,則進(jìn)行加法或減法運(yùn)算;不一致應(yīng)用題是指關(guān)鍵詞與實(shí)際運(yùn)算操作是不一致的,如題中關(guān)鍵詞是“多”或“少”,則相應(yīng)地進(jìn)行減法或加法運(yùn)算,即關(guān)鍵詞與運(yùn)算形式恰好相反。在兩種類型的問題中,加、減法各2道。任務(wù)二:6道應(yīng)用題,其中條件多余和條件不足應(yīng)用題各3道。條件多余應(yīng)用題即在充要的條件上再增加一個無關(guān)條件;條件不足應(yīng)用題即缺少一個解決問題的條件。將兩種任務(wù)中每道題目打印在15×15cm的卡片上,每題一張卡片。其它材料還有秒表、記錄紙、筆。2.3任務(wù)1:abba+abab本實(shí)驗(yàn)任務(wù)一采用個別施測。主試向?qū)W生逐張呈現(xiàn)題卡,要求他們每看到一個題目,就將這道題的計算式又快又準(zhǔn)地列出來,只需要列出式子,不需要進(jìn)行計算。每做完一道題,主試會問學(xué)生是怎么做出來的(如為什么用加/減法?)。從呈現(xiàn)題卡開始計時,到學(xué)生列出計算式時計時停止,時間精確到秒。如遇到有的學(xué)生一分鐘還未做出,就跳過該題,繼續(xù)進(jìn)行下一題。為避免問題呈現(xiàn)順序的影響,本研究采取了ABBA法,A為一致問題,B為不一致問題,加減法交叉出現(xiàn),一半被試以ABBA形式呈現(xiàn)問題,另一半被試以BAAB形式呈現(xiàn)。評分標(biāo)準(zhǔn):每題列式正確得1分,錯誤得0分,滿分為8分。任務(wù)二在任務(wù)一完成后1天進(jìn)行,過程與任務(wù)一相同。任務(wù)二采取了ABBA法,A為條件多余問題,B為條件不足問題,一半被試以ABBA形式呈現(xiàn)問題,另一半被試以BAAB形式呈現(xiàn)。評分標(biāo)準(zhǔn):每題列式正確得1分,錯誤得0分,滿分為6分。2.4口頭報告編碼2.4.1前卡中的表征策略當(dāng)收集到口頭報告后,我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生在一致應(yīng)用題中的口頭報告不能很好地作為他們使用何種策略的依據(jù),因?yàn)樗袑W(xué)生的回答基本上都是一致的,所以本研究只根據(jù)學(xué)生在不一致應(yīng)用題中的口頭報告對他們使用何種策略進(jìn)行區(qū)分。以下給出了在口頭報告中表征策略的操作定義:直接轉(zhuǎn)換策略:⑴將原題中表述條件關(guān)系的部分重念一遍,當(dāng)主試?yán)^續(xù)追問為什么時仍重念一遍,且列式結(jié)果是錯誤的;⑵注意到關(guān)鍵詞,如“多”、“少”、“一共”。問題模型策略:⑴將原題中表述條件關(guān)系的部分用反向的意思表達(dá)出來,如原題中為“A比B少”,學(xué)生會報告“B比A多”;⑵將原題中表述條件關(guān)系的部分重念一遍,但當(dāng)主試?yán)^續(xù)追問為什么時,用反向的意思表達(dá)出來;⑶直接說出未知條件是“多”或“少”;⑷一邊描述,一邊向主試畫出線段圖。其它策略:指學(xué)生使用的除直接轉(zhuǎn)換和問題模型策略以外的策略。2.4.2有什么狀態(tài)對學(xué)生在任務(wù)二中每道應(yīng)用題后的口頭報告進(jìn)行編碼,以下給出了每種策略類型的操作定義:⑴直接轉(zhuǎn)換策略:報告出數(shù)字和關(guān)鍵詞,如在下面一道條件多余應(yīng)用題中:某班有30人,下課鈴響后,有10人走出教室,后來進(jìn)來了2人,問該班還有幾人在教室外?使用直接轉(zhuǎn)換策略的學(xué)生會報告“總共有30人,有10人走出去了,所以是‘30-10’,又進(jìn)來2人,所以結(jié)果是‘30-10+2’”;又如下面一道條件不足應(yīng)用題中:全班35人分成了三組,一組10人,問二組有多少人?他們的報告為“因?yàn)榭偣灿?5人,一組有10人,所以二組就是‘35-10’”。⑵問題模型策略:報告出條件之間的關(guān)系,且能指出多余條件或未給出條件,如在前述的條件多余應(yīng)用題中,使用問題模型策略的學(xué)生會報告“有10人出去,后來進(jìn)來2人,所以外面的人數(shù)為‘10-2’,30這個數(shù)字沒用”;在前述的條件不足應(yīng)用題中,他們的報告為“題中沒有給出三組的人數(shù),所以不能計算”。⑶其它策略:指學(xué)生使用了直接轉(zhuǎn)換策略和問題模型策略以外的策略,如在前述的第二道應(yīng)用題中,使用其它策略的學(xué)生會報告“因?yàn)槿?5人,一組10人,‘35-10’為二組和三組的人數(shù),然后再除以2,就是二組的人數(shù)”。3結(jié)果與分析在這里,我們對數(shù)學(xué)學(xué)優(yōu)生和學(xué)困生在任務(wù)一和任務(wù)二中的表現(xiàn)進(jìn)行具體分析,主要考察心理表征策略對解決應(yīng)用題的影響。3.1直接轉(zhuǎn)換策略的使用次數(shù)對學(xué)困生的影響通過表1的數(shù)據(jù)對不同題目類型的反應(yīng)時進(jìn)行相關(guān)樣本t檢驗(yàn)分析發(fā)現(xiàn),二年級學(xué)優(yōu)生在一致加法和不一致加法的反應(yīng)時上差異顯著,t=-2.355,p=.027,在一致減法和不一致減法的反應(yīng)時上差異顯著,t=-4.165,p<.001,總體來說,二年級學(xué)優(yōu)生在一致題目和不一致題目上的反應(yīng)時差異顯著,t=-4.125,p<.001。二年級學(xué)困生在一致加法和不一致加法的反應(yīng)時上差異不顯著,t=.275,p=.787,在一致減法和不一致減法的反應(yīng)時上差異不顯著,t=-2.044,p=.056,總體來說,二年級學(xué)困生在一致題目和不一致題目上的反應(yīng)時差異不顯著,t=-1.237,p=.232。通過表2的數(shù)據(jù)對不同題目類型的正確率進(jìn)行相關(guān)樣本t檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn),二年級學(xué)優(yōu)生在一致加法和不一致加法的正確率上差異顯著,t=3.444,p=.002,在一致減法和不一致減法的正確率上差異顯著,t=2.584,p=.017,總體來說,二年級學(xué)優(yōu)生在一致題目和不一致題目上的正確率差異顯著,t=3.518,p=.002。二年級學(xué)困生在一致加法和不一致加法的正確率上差異顯著,t=3.437,p=.003,在一致減法和不一致減法的正確率上差異顯著,t=4.595,p<.001,總體來說,二年級學(xué)困生在一致題目和不一致題目上的正確率差異顯著,t=5.045,p<.001。通過學(xué)生在不一致題目上的口頭報告,我們對他們使用的表征策略進(jìn)行了區(qū)分。卡方分析發(fā)現(xiàn),學(xué)優(yōu)生使用直接轉(zhuǎn)換策略的次數(shù)要顯著少于學(xué)困生,X2(1)=15.70,p<.001;學(xué)優(yōu)生使用問題模型策略的次數(shù)要顯著多于學(xué)困生,X2(1)=24.14,p<.001。3.2多優(yōu)易用題學(xué)習(xí)的認(rèn)知行為特征通過任務(wù)一發(fā)現(xiàn),學(xué)優(yōu)生大多使用問題模型策略表征問題,學(xué)困生大多使用直接轉(zhuǎn)換策略表征問題,以下我們將考察使用不同表征策略的學(xué)生在解決非常規(guī)應(yīng)用題中的成績情況。通過表3的數(shù)據(jù)對不同題目類型的正確率進(jìn)行t檢驗(yàn),發(fā)現(xiàn)在條件多余應(yīng)用題中,優(yōu)、困生的正確率差異顯著,t=-3.37,p=.02,即學(xué)優(yōu)生在條件多余應(yīng)用題上的成績要好于學(xué)困生;在條件不足應(yīng)用題中,優(yōu)、困生的正確率差異顯著,t=-1.76,p=.006,即學(xué)優(yōu)生在條件不足應(yīng)用題上的成績要好于學(xué)困生。通過學(xué)生在題目上的口頭報告,我們對他們使用的表征策略進(jìn)行了區(qū)分。卡方分析發(fā)現(xiàn),在條件多余應(yīng)用題中,學(xué)優(yōu)生使用問題模型策略的次數(shù)要顯著多于學(xué)困生,X2(1)=8.78,p=.003;學(xué)優(yōu)生使用直接轉(zhuǎn)換策略的頻次為18.1%,學(xué)困生為33.3%,卡方分析未達(dá)到顯著性水平。在條件不足應(yīng)用題中,學(xué)優(yōu)生使用問題模型策略的次數(shù)要顯著多于學(xué)困生,X2(1)=6.00,p=.014;學(xué)優(yōu)生使用直接轉(zhuǎn)換策略的頻次為43.1%,學(xué)困生為59.6%,卡方分析未達(dá)到顯著性水平。3.3條件多,條件少,多,多條件基雖然學(xué)優(yōu)生在非常規(guī)應(yīng)用題上的成績好于學(xué)困生,但是他們的成績也并不理想,由此本研究進(jìn)一步將一致/不一致應(yīng)用題作為條件充要應(yīng)用題與非常規(guī)應(yīng)用題的解題成績進(jìn)行比較。重復(fù)測量方差分析顯示,題型主效應(yīng)顯著,F(2,41)=17.76,p<.001,配對t檢驗(yàn)分析發(fā)現(xiàn),條件充要和條件多余應(yīng)用題的正確率差異顯著,t=2.11,p=.04,條件充要和條件不足應(yīng)用題的正確率差異顯著,t=6.15,p<.001,條件多余和條件不足應(yīng)用題的正確率差異顯著,t=3.85,p<.001。優(yōu)、困生的主效應(yīng)顯著,F(1,41)=17.51,p<.001;題型和優(yōu)、困生的交互作用不顯著。圖1表示優(yōu)、困生在三種題型上的成績變化趨勢。4討論4.1學(xué)擄生的運(yùn)算方式與數(shù)學(xué)應(yīng)用題學(xué)優(yōu)生對一致題目的反應(yīng)時要顯著短于對不一致題目的反應(yīng)時,這說明他們在表征一致問題上使用的時間要短于不一致問題。這是因?yàn)橐恢聠栴}是以正向的邏輯順序?qū)︻}目進(jìn)行表述,這種表述有利于學(xué)優(yōu)生迅速地建立問題的情境模型;而不一致問題是以負(fù)向的邏輯順序?qū)︻}目進(jìn)行表述,這種表述需要進(jìn)行語義和詞序上的轉(zhuǎn)換才可以順利地建立問題的情境模型。本研究發(fā)現(xiàn)學(xué)優(yōu)生對一致與不一致題目的正確率差異顯著,這說明對于低年級學(xué)優(yōu)生來說,在面對不一致問題的時候,雖然花費(fèi)了一些時間建立模型,但在最后決策運(yùn)算方式上還是出現(xiàn)了錯誤,所以他們在使用問題模型策略上還不夠穩(wěn)定和成熟。也可能是因?yàn)樗麄円呀?jīng)掌握了問題模型策略,但在運(yùn)算方式的選擇上還不夠穩(wěn)定。對于高年級學(xué)優(yōu)生來說,他們在運(yùn)算方式的選擇和問題模型策略的使用上都已經(jīng)非常熟練,所以無論解決哪種問題,他們的正確率都很高。最后,從學(xué)優(yōu)生的自我報告來看,使用問題模型策略的學(xué)生要多于使用直接轉(zhuǎn)換策略的學(xué)生,由此我們可以認(rèn)為,大部分學(xué)優(yōu)生在解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題時,使用了Mayer等人提出的問題模型策略進(jìn)行表征。學(xué)困生對一致與不一致題目的反應(yīng)時差異不顯著,這說明他們在表征一致題目和不一致題目上,使用的時間基本相等。這是因?yàn)閷W(xué)困生并不過多考慮問題表述中的語義和詞序是否符合正常的邏輯順序,只關(guān)注題目中的數(shù)字和關(guān)鍵詞,沒有對不一致問題進(jìn)行語義和詞序上的轉(zhuǎn)換。這也是學(xué)困生在一致題目上的正確率要高于不一致題目的原因。最后從學(xué)困生的自我報告來看,使用直接轉(zhuǎn)換策略的學(xué)生要多于使用問題模型策略的學(xué)生,由此我們可以認(rèn)為,大部分學(xué)困生在解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題時,使用了Mayer等人提出的直接轉(zhuǎn)換策略進(jìn)行表征。這一研究結(jié)果與Hegarty等人的研究是一致的。他們在對大學(xué)生閱讀應(yīng)用題的眼動實(shí)驗(yàn)中也發(fā)現(xiàn),學(xué)困生對題目中的數(shù)字和關(guān)鍵詞回看的次數(shù)最多,而學(xué)優(yōu)生對題目中的變量名回看的次數(shù)最多。本研究結(jié)果表明,學(xué)優(yōu)生傾向使用問題模型策略,學(xué)困生傾向使用直接轉(zhuǎn)換策略,由此看來,一些學(xué)生在數(shù)學(xué)問題解決中的困難在于其問題表征上,而不在數(shù)學(xué)操作上;問題表征的困難在于理解條件關(guān)系上,而不在理解單獨(dú)條件上;理解條件關(guān)系的困難在于使用了直接轉(zhuǎn)換策略,而沒有使用問題模型策略。4.2數(shù)學(xué)模擬的應(yīng)用本研究發(fā)現(xiàn),在非常規(guī)應(yīng)用題中,學(xué)優(yōu)生的成績均好于學(xué)困生的成績,在對非常規(guī)應(yīng)用題的口頭報告中,學(xué)優(yōu)生使用問題模型策略的次數(shù)要明顯多于學(xué)困生,學(xué)優(yōu)生使用直接轉(zhuǎn)換策略的次數(shù)要明顯少于學(xué)困生。學(xué)優(yōu)生在解決數(shù)學(xué)問題時使用的是問題模型策略,能夠把抽象的數(shù)學(xué)符號轉(zhuǎn)化為形象的表征系統(tǒng),以便對信息進(jìn)行編碼和處理;學(xué)困生在解決數(shù)學(xué)問題時使用的是直接轉(zhuǎn)換策略,由于沒有能夠形成有效的數(shù)學(xué)表征,他們往往難以擺脫問題的具體內(nèi)容,有效地將各種成分聯(lián)系起來,也就是說,學(xué)困生僅僅是對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行零散加工和表面表征,難以對問題形成實(shí)質(zhì)表征和理解?？傊?本研究發(fā)現(xiàn)由于學(xué)優(yōu)生更多使用問題模型策略,他們在解決條件多余應(yīng)用題時,首先對問題中的每個條件進(jìn)行了表征,在頭腦中構(gòu)建了問題情境的模型,在模型的指導(dǎo)下判斷出哪些條件是解題中必需的,哪些條件是多余的,以及條件之間的關(guān)系是什么,最終得出了正確列式;而當(dāng)他們在解決條件不足應(yīng)用題時,通過問題表征判斷出題目中給出的條件并不充分,并向主試報告此題無解。但學(xué)困生更多地使用直接轉(zhuǎn)換策略,他們在解決非常規(guī)應(yīng)用題時,總是試圖尋找題目中的數(shù)字和關(guān)鍵詞(“多”、“少”、“一共”等),僅僅根據(jù)題目中的數(shù)字和關(guān)鍵詞進(jìn)行求解,最終得出錯誤結(jié)果,因此,問題表征策略是影響應(yīng)用題解決的十分重要的因素。4.3對問題的表征本研究表明,當(dāng)面對充要應(yīng)用題時,學(xué)生往往能利用多年的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)來解決問題,而當(dāng)面對非常規(guī)應(yīng)用題時,學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)并沒有幫助他們順利地解決問題。造成這一結(jié)果的原因并不在于學(xué)生存在認(rèn)知上的欠缺,而是由于在課堂教學(xué)中,應(yīng)用題總是以刻板的形式出現(xiàn),這些題目總是可以通過明顯的數(shù)字運(yùn)算加以解決,且教師將過多的注意力投入到運(yùn)算技能的培養(yǎng)上,缺乏對問題心理表征的培養(yǎng)。經(jīng)過多年的教育影響,學(xué)生頭腦中有一種錯誤的認(rèn)識,即所有問題都是可以解決的,并且題目中的所有數(shù)字都是要參與運(yùn)算的,所以在面對非常規(guī)問題時,特別是條件不足應(yīng)用題時,他們較多使用直接轉(zhuǎn)換策略來解決問題。即使是學(xué)優(yōu)生,在非常規(guī)應(yīng)用題中也會不自覺地運(yùn)用低效的直接轉(zhuǎn)換策略來表征問題,所以成績也不理想。其它研究也發(fā)現(xiàn)了相似的結(jié)果。Leong等人對3~5年級的91名學(xué)生進(jìn)行的研究發(fā)現(xiàn),不