北師大版《數(shù)學(xué)》九年級下冊第三章圓3.6圓內(nèi)接正多邊形【知識要點】知識點1圓內(nèi)接正多邊形定義：頂點都在同一個圓上的正多邊形叫做圓內(nèi)接正多邊形.這個圓叫做該正多邊形的外接圓.【典例解析】在圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，半徑OC=4，OG±BC，垂足為G，求這個正六邊形的中心角、邊長和邊心距.解：連接OD??六邊形ABCDEF為正六邊形360°??/COD= =60°6??ACOD為等邊三角形.??CD=OC=4在RtACOG中，OC=4,CG=2??OG=2V3??正六邊形ABCDEF中心角為60°，邊長為4,邊心距為2<3.分析：題目是有關(guān)正多邊形的計算的具體應(yīng)用，通過例題的學(xué)習(xí)，鞏固有關(guān)正多邊形的概念，能運用正多邊形的知識解決圓的有關(guān)計算問題.【達標(biāo)測評】拓展練習(xí)1（2014呼和浩特，第6題3分）已知。O的面積為2n,則其內(nèi)接正三角形的面積為（ ）A.3 B.3.6 C.至年 D.1.-7考點：垂徑定理；等邊三角形的性質(zhì).分析：先求出正三角形的外接圓的半徑，再求出正三角形的邊長，最后求其面積即可.解答：解：如圖所示，連接OB、OC,過O作OD±BC于D,?二。O的面積為2n??.。O的半徑為'.MQCr-i -I —AZBOC=^--=120°,/BOD弓ZBOC=60°,OB=；2,ABD=OB?sinZBOD=,2?sin60"=-,2ABC=2BD='.-''6,AOD=OB?cosZBOD='.■■'?ccos60°=—,2???△BOC的面積=1^BC?OD= ,：.△ABC的面積=3S90c3乂呼=^.故選C.本題考查的是三角形的外接圓與外心，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵.難度：中2(2014年天津市，第21題10分)已知。O的直徑為10,點A,點B,點C在。O上，ZCAB的平分線交。O于點D.(I)如圖①，若BC為。O的直徑，AB=6,求AC,BD,CD的長;(II)如圖②，若ZCAB=60°,求BD的長.考點：圓周角定理；等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理.

分析：（I）利用圓周角定理可以判定△CA5和^DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的長度；利用圓心角、弧、弦的關(guān)系推知^DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同樣得到BD=CD=5=2；（II）如圖②，連接OB,OD.由圓周角定理、角平分線的性質(zhì)以及等邊三角形的判定推知△OBD是等邊三角形，則BD=OB=OD=5.解答： 解：（I）如圖①，?二BC是。O的直徑，??/CAB=ZBDC=90°.??在直角^CAB中，BC=10,AB=6,??由勾股定理得到：AC=■/BC2- -6^8.,?AD平分NCAB,CD=BD,??CD=BD.在直角△BDC中，BC=10,CD2+BD2=BC2,??易求BD=CD=5'/2；(II)如圖②，連接OB,OD.,?AD平分NCAB，且NCAB=60°,AZDABJNCAB=30°,2AZDOB=2ZDAB=60°.又：OB=OD,??△OBD是等邊三角形，ABD=OB=OD.V0O的直徑為10,則OB=5,ABD=5.國①

國①點評：本題綜合考查了圓周角定理，勾股定理以及等邊三角形的判定與性質(zhì).此題利用了圓的定義、有一內(nèi)角為60度的等腰三角形為等邊三角形證得△05。是等邊三角形.難度：中3(2014湘潭，第25題)△ABC為等邊三角形，邊長為a,DF±AB,EF±AC,(1)求證：△BDFs^CEF；(2)若許4,設(shè)BF=m，四邊形ADFE面積為亂求出S與m之間的函數(shù)關(guān)系，并探究當(dāng)m為何值時S取最大值;(3)已知A、D、F、E四點共圓，已知tanNEDF=y，求此圓直徑.(第1(第1題圖)考點：相似形綜合題；二次函數(shù)的最值；等邊三角形的性質(zhì)；圓周角定理；解直角三角形分析：(1)只需找到兩組對應(yīng)角相等即可.(2)四邊形ADFE面積S可以看成^ADF與^AEF的面積之和，借助三角函數(shù)用m表示出AD、DF、AE、EF的長，進而可以用含m的代數(shù)式表示S,然后通過配方，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，就可以解決問題.(3)易知AF就是圓的直徑，利用圓周角定理將NEDF轉(zhuǎn)化為NEAF.在△AFC中，知道tanNEAF、/C、AC,通過解直角三角形就可求出AF長.解答：解：(1)VDF±AB,EF±AC,???/BDF=NCEF=90°.???△ABC為等邊三角形，???/B=NC=60°.VNBDF=NCEF,NB=NC,???△BDF/△CEF.(2)VNBDF=90°,NB=60°,/心。叩近dBD?sin60— — ,cos60— —即2 BF?.DF占m,BD=.2,?AB=4,??AD=4-.,'adf=AD?DF=x(4-)x——m2一￡,許；丁^~ m乙］'ml/?s同理：S“=aAE?EF△AEF「itVsz,、=x(4 )x——(4-m)2 2=m~+22+213.S'S=S△ADF+S△AEF=—((m2-4m-8)=--—(m-2)2+3'J%其中0<m<4.4；-*<0,0<2<4,?.當(dāng)m=2時，S取最大值，最大值為3—飛.??S與m之間的函數(shù)關(guān)系為：S=- (m-2)2+3,:3(其中0<m<4).4當(dāng)m=2時，S取到最大值，最大值為3?/區(qū)(3)如圖2,VA、D、F、E四點共圓，ZEDF=ZEAF.VZADF=ZAEF=90°,AF是此圓的直徑..?Vs.tanZEDF=——,

:.tan:.tan/EAF=?一?EA2VZC=60°,=tan60°=.3.設(shè)EC=x，貝UEF='!3x,EA=2x.AC=a,2x+x=A.x=.EF=，§m，AE=?3 3VZAEF=90°,AF=.-ae2+ef2=^小此圓直徑長為Y小J點評：本題考查了相似三角形的判定、二次函數(shù)的最值、三角函數(shù)、解直角三角形、圓周角定理、等邊三角形的性質(zhì)等知識，綜合性強.利用圓周角定理將條件中的圓周角轉(zhuǎn)化到合適的位置是解決最后一小題的關(guān)鍵.難度：中4 （2014攀枝花，第23題12分）如圖，以點P（-1,0）為圓心的圓，交x軸于B、C兩點（B在C的左側(cè)），交y軸于A、D兩點（A在D的下方），AD=2’’3,將^ABC繞點P旋轉(zhuǎn)180°,得到4MCB.（1）求B、C兩點的坐標(biāo)；(2)請在圖中畫出線段MB、MC,并判斷四邊形ACMB的形狀(不必證明)，求出點M的坐標(biāo)；(3)動直線l從與BM重合的位置開始繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，到與BC重合時停止，設(shè)直線l與CM交點為￡,點Q為BE的中點，過點E作EGXBC于G,連接MQ、QG.請問在旋轉(zhuǎn)過程中NMQG的大小是否變化？若不變，求出NMQG的度數(shù)；若變化，請說明理由.考點：圓的綜合題.分析：(1)連接PA,運用垂徑定理及勾股定理即可求出圓的半徑，從而可以求出B、C兩點的坐標(biāo).(2)由于圓P是中心對稱圖形，顯然射線AP與圓P的交點就是所需畫的點M,連接MB、MC即可；易證四邊形ACMB是矩形；過點M作MHLBC,垂足為H,易證△MHP04AOP,從而求出MH、OH的長，進而得到點M的坐標(biāo).(3)易證點E、M、B、G在以點Q為圓心，QB為半徑的圓上，從而得到NMQG=2NMBG.易得NOCA=60°,從而得到/MBG=60°,進而得到/MQG=120°,所以2MQG是定值.解答：解：(1)連接PA,如圖1所示.POXAD,??AO=DO.?,AD=2'3,??OA='3.??點P坐標(biāo)為(-1,0),???OP=1....PAhUP%心2..??BP=CP=2..B(-3,0),C(1,0).(2)連接AP,延長AP交。P于點M,連接MB、MC.如圖2所示，線段MB、MC即為所求作.四邊形ACMB是矩形.理由如下：「△MCB由4ABC繞點P旋轉(zhuǎn)180°所得，??四邊形ACMB是平行四邊形.BC是。P的直徑，??NCAB=90°.??平行四邊形ACMB是矩形.過點M作MHLBC,垂足為H,如圖2所示.在4MHP和4AOP中，ZMHP=ZAOP,ZHPM=ZOPA,MP=AP,.?.△mhpsaop.，.MH=OA=蕓，PH=PO=1.??OH=2.??點M的坐標(biāo)為(-2,；3).(3)在旋轉(zhuǎn)過程中NMQG的大小不變.??四邊形ACMB是矩形，AZBMC=90°.VEGXBO,AZBGE=90°.AZBMC=ZBGE=90°.??點Q是BE的中點，???QM=QE=QB=QG.?.點E、M、B、G在以點Q為圓心，QB為半徑的圓上，如圖3所示.AZMQG=2ZMBG.ZCOA=90°,OC=1,OA=3,OA???tanNOCA=0Q'JM.NOCA=60°.ZMBC=ZBCA=60°.ZMQG=120°.二在旋轉(zhuǎn)過程中NMQG的大小不變，始終等于120°.

點評：本題考查了垂徑定理、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、特殊角的三角函數(shù)、圖形的旋轉(zhuǎn)等知識，綜合性比較強.證明點E、M、B、G在以點Q為圓心，QB為半徑的圓上是解決第三小題的關(guān)鍵.難度：難5.(2014?湖北黃石，第19題7分)如圖，A、B是圓O上的兩點，NAOB=120°,C是AB弧的中點.(1)求證：AB平分NOAC；(2)延長OA至P使得OA=AP,連接PC,若圓O的半徑R=1,求PC的長.第5題圖考點：菱形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理.分析： (1)求出等邊三角形AOC和等邊三角形OBC,推出OA=OB=BC=AC,即可得出答案；（2）求出AC=OA=AP,求出NPCO=90°,NP=30°,即可求出答案.解答：（1）證明：連接OC,..NAOB=120°,C是AB弧的中點，?.NAOC=NBOC=60°,;OA=OC,?.△ACO是等邊三角形，。人=人仁同理OB=BC，「.OA=AC=BC=OB，??四邊形AOBC是菱形，??AB平分/OAC；（2）解：連接OC，丁C為弧AB中點，NAOB=120°，?.NAOC=60°，;OA=OC，?.OAC是等邊三角形，;OA=AC，「.AP=AC，?.NAPC=30°，?.△OPC是直角三角形，「.PC--；3OC—■3.點評：本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用定理進行推理和計算的能力，題目比較典型，難度適中.難度：中基礎(chǔ)題：1.（2014四川成都，第14題4分）如圖，AB是。O的直徑，點C在AB的延長線上，CD切。O于點D,連接AD.若NA=25°,則NC=40度.考點：切線的性質(zhì)；圓周角定理.專題：計算題.分析：連接OD,由CD為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到OD垂直于CD,根據(jù)OA=OD,利用等邊對等角得到NA=NODA，求出NODA的度數(shù)，再由NCOD為工AOD外角，求出NCOD度數(shù)，即可確定出NC的度數(shù).解答：解：連接OD,丁CD與圓O相切，「.OD±DC,;OA=OD,?.NA=NODA=25°,丁NCOD為工AOD的外角，?.NCOD=50°,?.NC=40°.點評.此題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及外角性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.難度：中（2014貴州黔西南州，第18題3分）如圖，AB是。O的直徑，AB=15,AC：=9,則tanNADC=.第1題圖考點：圓周角定理；勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義.分析：根據(jù)勾股定理求出BC的長，再將tanNADC轉(zhuǎn)化為tanB進行計算.解答：解：：AB為。O直徑，.??NACB=90°,?'BC='.-',1-212,:.tanNADC=tanB=—=—=,BC12故答案為.點評：本題考查了圓周角定理和三角函數(shù)的定義，要充分利用轉(zhuǎn)化思想.難度：易（2014湖北黃岡，第14題3分）如圖，在。O中，弦CD垂直于直徑AB于點E，若NBAD=30°,且BE=2,貝UCD=」正_.第2題圖考點：垂徑定理；解直角三角形.專題：計算題.分析：連結(jié)OD,設(shè)。O的半徑為H,先根據(jù)圓周角定理得到NBOD=2NBAD=60°,再根據(jù)垂徑定理由CD±AB得至1」DE=CE,在Rt△ODE中，OE=OB-BE=R-2,利用余弦的定義得cosNEOD=cos60°口，即^■L,解得R=4,貝UOE=2,DE=/3OE=2,/3,ODR所以CD=2DE=413.解答：解：連結(jié)OD，如圖，設(shè)。O的半徑為R,丁NBAD=30°,「.NBOD=2NBAD=60°,;CD±AB,「.DE=CE,在Rt△ODE中，OE=OB-BE=R-2,OD=R,vcosNEOD=cos60°=25,OD??.R—2=,解得R=4,R...OE=4-2=2,??.DE=..~^E=2..飛，「.CD=2DE=4二百.故答案為4v區(qū)點評：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.也考查了圓周角定理和解直角三角形.難度