2024屆高三開學(xué)摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號、座位號、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回?？荚嚂r間為120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．2．已知，則（）A． B． C． D．3．已知，，若，則該展開式各項的二項式系數(shù)和為（）A．81 B．64 C．27 D．324．已知雙曲線的一條漸近線斜率為，實軸長為4，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．5．設(shè)，則的最小值為（）A．1 B． C． D．6．一個不透明的袋子中裝有3個黑球，n個白球，這些球除顏色外大小、質(zhì)地完全相同，從中任意取出3個球，已知取出2個黑球，1個白球的概率為，設(shè)X為取出白球的個數(shù)，則（）A． B． C．1 D．27．已知，為函數(shù)的兩個不同的極值點，若，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．8．如圖，P、Q是直線上的點，平面，五面體的各頂點均在球O球面上，四邊形為邊長為2的正方形，且，均為正三角形，則當(dāng)球O半徑取得最小值時，五面體的體積為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A．的最小正周期為B．C．的圖象關(guān)于直線對稱D．將的圖象向右平移個單位長度得到的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱10．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點P在C上，且的最大值為3，最小值為1，則（）A．橢圓C的圓心率為B．的周長為4C．若，則的面積為3D．若，則11．在三棱臺中，平面，，點為平面內(nèi)一動點（包括邊界），滿足平面，則（）A．點P的軌跡長度為1B．P到平面的距離為定值C．有且僅有兩個點P，使得D．與平面所成角的最大值為30°12．已知是定義在上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，，則（）A．曲線關(guān)于直線軸對稱 B．是以4為周期的周其函數(shù)C． D．關(guān)于點對稱三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，為平面單位向量，若，則______．14．已知A，B為圓上的兩點，，M為的中點，則M到直線距離的最小值為______．15．已知，，若與的圖象在交點處的切線重合，則______．16．剪紙，又叫刻紙，是一種鏤空藝術(shù)，是中國古老的民間藝術(shù)之一．已知某剪紙的裁剪工藝如下：取一張半徑為1的圓形紙片，記為，在內(nèi)作內(nèi)接正方形，接著在該正方形內(nèi)作內(nèi)切圓，記為，并裁剪去該正方形內(nèi)多余的部分（如圖所示陰影部分），記為一次裁剪操作，……重復(fù)上述裁剪操作n次，最終得到該剪紙．則第4次裁剪操作結(jié)束后所得的面積為______；第n次操作后，所有裁剪操作中裁剪去除的面積之和為______．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．（1）若，求；（2）求C的最大值．18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，平面，．（1）證明；平面平面；（2）設(shè)P為上的一個動點，是否存在點P使得與平面所成角為30°，若存在，求，若不存在，說明理由．19．（12分）設(shè)數(shù)列的前n項和為，，數(shù)列為公差為2的等差數(shù)列，．（1）求，的通項公式；（2）設(shè)，證明：．20．（12分）已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，，求a的取值范圍．21．（12分）在“飛彩鐫流年”文藝匯演中，諸位參賽者一展風(fēng)采，奉上了一場舞與樂的盛宴．現(xiàn)從2000位參賽者中隨機抽取40位幸運嘉賓，統(tǒng)計他們的年齡數(shù)據(jù)，得樣本平均數(shù)．（1）若所有參賽者年齡X服從正態(tài)分布，請估計參賽者年齡在30歲以上的人數(shù)；（2）若該文藝匯演對所有參賽者的表演作品進行評級，每位參賽者只有一個表演作品且每位參賽者作品有的概率評為A類，的概率評為B類，每位參賽者作品的評級結(jié)果相互獨立．記上述40位幸運嘉賓的作品中恰有2份A類作品的概率為，求的極大值點；（3）以（2）中確定的作為a的值，記上述幸運嘉賓的作品中的A類作品數(shù)為Y，若對這些幸運嘉賓進行頒獎，現(xiàn)有兩種頒獎方式：甲：A類作品參賽者獲得1000元現(xiàn)金，B類作品參賽者獲得100元現(xiàn)金；乙：A類作品參賽者獲得3000元現(xiàn)金，B類作品參賽者不獲得現(xiàn)金獎勵．根據(jù)獎金期望判斷主辦方選擇何種頒獎方式，成本可能更低．附：若，則．22．（12分）已