PAGE4第十章曲線積分與曲面積分習題簡答習題10—11計算下列對弧長的曲線積分：（1）SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0中SKIPIF1<0到SKIPIF1<0之間的一段劣弧；解:SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是頂點為SKIPIF1<0及SKIPIF1<0所成三角形的邊界；解:SKIPIF1<0．（3）SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為圓周SKIPIF1<0；解:SKIPIF1<0．（4）SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為折線段SKIPIF1<0，這里SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；解:SKIPIF1<0．2求八分之一球面SKIPIF1<0的邊界曲線的重心，設曲線的密度SKIPIF1<0。解故所求重心坐標為SKIPIF1<0．習題10—21設SKIPIF1<0為SKIPIF1<0面內一直線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為常數），證明SKIPIF1<0。證明：略.2計算下列對坐標的曲線積分：（1）SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為拋物線SKIPIF1<0上從點SKIPIF1<0到點SKIPIF1<0的一段弧。解:SKIPIF1<0。（2）SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是曲線SKIPIF1<0從對應于SKIPIF1<0時的點到SKIPIF1<0時的點的一段弧；解SKIPIF1<0．（3）SKIPIF1<0SKIPIF1<0是從點SKIPIF1<0沿上半圓周SKIPIF1<0到點SKIPIF1<0的一段弧；解SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0沿右半圓SKIPIF1<0以點SKIPIF1<0為起點，經過點SKIPIF1<0到終點SKIPIF1<0的路徑；解SKIPIF1<0SKIPIF1<0。（5）SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為從點SKIPIF1<0到點SKIPIF1<0的直線段SKIPIF1<0；解SKIPIF1<0SKIPIF1<0。（6）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為橢圓周SKIPIF1<0且從SKIPIF1<0軸正方向看去，SKIPIF1<0取順時針方向。解:SKIPIF1<0。習題10—31.利用曲線積分求下列平面曲線所圍成圖形的面積:SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0；解因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0在整個SKIPIF1<0面內恒成立，因此，：在整個SKIPIF1<0面內，SKIPIF1<0是某一函數SKIPIF1<0的全微分，即有SKIPIF1<0。易知SKIPIF1<0SKIPIF1<0。（3）SKIPIF1<0。解令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則在全平面上有SKIPIF1<0，滿足全微分存在定理的條件，故在全平面上，SKIPIF1<0是全微分．SKIPIF1<0SKIPIF1<0．5可微函數SKIPIF1<0應滿足什么條件時，曲線積分SKIPIF1<0與路徑無關？解令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。當SKIPIF1<0SKIPIF1<0，曲線積分SKIPIF1<0在整個SKIPIF1<0面內與路徑無關。習題10—41當SKIPIF1<0為SKIPIF1<0面內的一個閉區(qū)域時,曲面積分SKIPIF1<0與二重積分有什么關系?答當SKIPIF1<0為SKIPIF1<0面內的一個閉區(qū)域SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0面上的投影就是SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0SKIPIF1<0。2計算曲面積分SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是（1）錐面SKIPIF1<0及平面SKIPIF1<0所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面；解SKIPIF1<0。（2）SKIPIF1<0面上的直線段SKIPIF1<0SKIPIF1<0繞SKIPIF1<0軸旋轉一周所得到的旋轉曲面。解SKIPIF1<0。3計算下列曲面積分:(1)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是拋物面在SKIPIF1<0面上方的部分：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0；解：SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是上半球面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0；解：SKIPIF1<0.（3）SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0在第一卦限的部分；SKIPIF1<0．（4）SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是柱面SKIPIF1<0被平面SKIPIF1<0﹑SKIPIF1<0所截得的部分.解SKIPIF1<0SKIPIF1<0.同理可求得SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.4求拋物面殼SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的質量，此殼的密度為SKIPIF1<0。解SKIPIF1<0.習題10—51當SKIPIF1<0為SKIPIF1<0面內的一個閉區(qū)域時,曲面積分SKIPIF1<0與二重積分有什么關系?答當SKIPIF1<0為SKIPIF1<0面內的一個閉區(qū)域時,SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0。若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0面上的投影區(qū)域為SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0取上側時，上式右端取正號;當SKIPIF1<0取下側時，上式右端取負號。2計算下列對坐標的曲面積分:(1)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是以坐標原點為中心，邊長為2的立方體整個表面的外側；解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為旋轉拋物面SKIPIF1<0介于SKIPIF1<0之間部分的下側。解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0。（3）SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的上側；解∴原式=SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所圍成的四面體的表面的外側。解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0。3把對坐標的曲面積分SKIPIF1<0化成對面積的曲面積分，這里SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0在第一卦限的部分的上側。解：SKIPIF1<0習題10—61利用高斯公式計算下列曲面積分：（1）SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為柱面SKIPIF1<0及平面SKIPIF1<0及SKIPIF1<0所圍成的空間閉區(qū)域SKIPIF1<0的整個邊界曲面的外側。（《高等數學》P170例1）解：SKIPIF1<0。（2）SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為曲面SKIPIF1<0及平面SKIPIF1<0﹑SKIPIF1<0所圍成的空間區(qū)域的整個邊界的外側。解SKIPIF1<0=0.（3）SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為錐面SKIPIF1<0介于平面SKIPIF1<0﹑SKIPIF1<0之間的部分的下側，SKIPIF1<0﹑SKIPIF1<0﹑SKIPIF1<0是SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的法向量的方向余弦。解：SKIPIF1<0。2利用高斯公式計算三重積分SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及SKIPIF1<0所確定的空間閉區(qū)域。解：SKIPIF1<0。3利用斯托克斯公式計算下列曲線積分：（1）SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0與三個坐標面的交線，其正向為逆時針方向，與平面SKIPIF1<0上側的法向量之間符合右手規(guī)則；解：SKIPIF1<0。（2）SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為以點SKIPIF1<0﹑SKIPIF1<0﹑SKIPIF1<0為頂點的三角形沿SKIPIF1<0的方向。解：SKIPIF1<0。習題10—71若球面上每一點的密度等于該點到球的某一定直徑的距離的平方，求球面的質量。）解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0。2設某流體的流速為SKIPIF1<0，求單位時間內從圓柱SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的內部流向外側的流量（通量）。解：0.3求向量場SKIPIF1<0的散度。解SKIPIF1<0vSKIPIF1<0。4求向量場ASKIPIF1<0iSKIPIF1<0jSKIPIF1<0k（SKIPIF1<0為常數）沿有向閉曲線SKIPIF1<0（從SKIPIF1<0軸的正向看SKIPIF1<0依逆時針方向）的環(huán)流量。解：SKIPIF1<0。復習題A一、選擇題1．設SKIPIF1<0是從原點SKIPIF1<0沿折線SKIPIF1<0至點SKIPIF1<0的折線段,則曲線積分SKIPIF1<0等于（C）．A．SKIPIF1<0．B．SKIPIF1<0．C．SKIPIF1<0．D．SKIPIF1<0．2．若微分SKIPIF1<0為全微分，則SKIPIF1<0等于（B）．A．SKIPIF1<0．B．SKIPIF1<0．C．SKIPIF1<0．D．SKIPIF1<0．3．空間曲線SKIPIF1<0的弧長等于（D）．A．SKIPIF1<0．B．SKIPIF1<0．C．SKIPIF1<0．D．SKIPIF1<0．4．設SKIPIF1<0為上半球面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0在第一卦限的部分，則下列等式正確的是（D）．A．SKIPIF1<0．B．SKIPIF1<0．C．SKIPIF1<0．D．SKIPIF1<0．5．設SKIPIF1<0為球面SKIPIF1<0的外側，則積分SKIPIF1<0等于（A）．A．SKIPIF1<0．B．SKIPIF1<0．C．SKIPIF1<0．D．SKIPIF1<0．二、填空題1．設曲線SKIPIF1<0為圓周SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0．2．設SKIPIF1<0為任意一條分段光滑的閉曲線，則曲線積分SKIPIF1<0．3．設SKIPIF1<0是以原點為球心,SKIPIF1<0為半徑的球面,則SKIPIF1<0．4．設SKIPIF1<0為球面SKIPIF1<0的下半部分的下側,則曲面積分SKIPIF1<0．5．向量場SKIPIF1<0的旋度SKIPIF1<0．三、計算題1.計算SKIPIF1<0SKIPIF1<0：SKIPIF1<0解：∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<02．計算SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0為右半圓SKIPIF1<0以點SKIPIF1<0為起點,點SKIPIF1<0為終點的一段有向弧；解：SKIPIF1<0。3．計算SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0在第一卦限中的部分；解：SKIPIF1<0。4.計算SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0是球面SKIPIF1<0的上半部分并取外側；解SKIPIF1<0。5．驗證：在整個SKIPIF1<0面內,SKIPIF1<0是某一函數SKIPIF1<0的全微分,并求出一個這樣的函數.。解因為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0在整個SKIPIF1<0面內恒成立,因此,在整個SKIPIF1<0面內,SKIPIF1<0是某一函數SKIPIF1<0的全微分,所求的函數為SKIPIF1<0SKIPIF1<0.四、計算曲線積分SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0為閉曲線SKIPIF1<0，若從SKIPIF1<0軸正向看去,SKIPIF1<0取逆時針方向.解：0.五、計算曲面積分SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0SKIPIF1<0繞SKIPIF1<0軸旋轉一周所得的旋轉曲面．解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0。六、計算曲面積分SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的拋物線SKIPIF1<0繞SKIPIF1<0軸旋轉一周所得的旋轉曲面介于SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之間的部分的下側．解：SKIPIF1<0，七、設一段錐面螺線SKIPIF1<0上任一點SKIPIF1<0處的線密度函數為SKIPIF1<0,求它的質量．解：SKIPIF1<0。八、設SKIPIF1<0具有一階連續(xù)導數,積分SKIPIF1<0在右半平面SKIPIF1<0內與路徑無關,試求滿足條件SKIPIF1<0的函數SKIPIF1<0．解令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，依題意，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為所求的函數。九、設空間區(qū)閉域SKIPIF1<0由曲面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0圍成,其中SKIPIF1<0為正常數,記SKIPIF1<0表面的外側為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0,證明：SKIPIF1<0．證明略。復習題B一、填空題1．設SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0SKIPIF1<02．設SKIPIF1<0為正向圓周SKIPIF1<0，則曲線積分SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0．3．設SKIPIF1<0是曲面SKIPIF1<0介于SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之間的部分,則曲面積分SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0．4．設SKIPIF1<0是由錐面SKIPIF1<0與半球面SKIPIF1<0圍成的空間閉區(qū)域,SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的整個邊界的外側,則SKIPIF1<0SKIPIF1<0．5．設SKIPIF1<0,則矢量場SKIPIF1<0通過曲面SKIPIF1<0上半部分的流量SKIPIF1<0SKIPIF1<0．二、計算題1．計算曲線積分SKIPIF1<0，（1）SKIPIF1<0是第一象限內從點SKIPIF1<0到點SKIPIF1<0的單位圓?。?）SKIPIF1<0是ⅠⅣ象限從SKIPIF1<0