壓控電壓源三階全極點低通濾波器圖1圖1壓控電壓源3階全極點低通濾波器圖1是一個壓控電壓源3階全極點有源低通濾波器的電路。這應(yīng)該曾經(jīng)是一種使用非常廣泛的電路，出版時間較早的有源濾波器手冊里面基本都有這個電路。筆者在設(shè)計電路的時候不假思索的就用上了這個電路，電路設(shè)計完之后沒有馬上計算參數(shù)，電路板下單之后才打算計算電路的參數(shù)。手里沒有濾波器手冊，到網(wǎng)上去查結(jié)果發(fā)現(xiàn)網(wǎng)上居然沒有這種濾波器的資料?；蛟S是因為過去運放成本高，所以能省則??；現(xiàn)在運放不值錢了，所以一般設(shè)計奇數(shù)階有源濾波器都單獨設(shè)計一個一階節(jié)，再加一個運放緩沖。不得已，只好自己推導傳遞函數(shù)，然后解方程來計算電路的參數(shù)。現(xiàn)在電路參數(shù)已經(jīng)計算出來，并經(jīng)過仿真確認。既然花了時間計算，為了方便有同樣需要點朋友，特寫下這段文字給大家共享。經(jīng)過推導（過程略），得到這個電路的傳遞函數(shù)：全極點三階低通濾波器傳遞函數(shù)一般形式為： (2)兩個傳遞函數(shù)響應(yīng)相等的條件是：相同階次的系數(shù)相等。于是： (3)在這組方程中，、、是已知的，在確定濾波器傳遞函數(shù)類型的時候就確定了，比如三階巴特沃茨濾波器有：、、。這組參數(shù)可以由三階巴特沃茨濾波器歸一化零點位置計算出來，這里所謂的歸一化參數(shù)是指截至頻率的角頻率時的參數(shù)。雖然可以用實際濾波器的參數(shù)代入方程進行計算，不過通常都不這樣做，因為大多數(shù)時候我們得到的數(shù)據(jù)都是歸一化參數(shù)，按歸一化參數(shù)設(shè)計之后，再去歸一化（標度）也是很方便的。方程中，除去三個已知數(shù)、、之外，、、、、、都是未知數(shù)，我們可以先指定三個參數(shù)，然后解聯(lián)立方程計算出另外三個參數(shù)。原則上可以先任意指定三個元件的參數(shù)，然后計算另外三個元件的參數(shù)。從元件的采購角度看，先確定電容值可能是比較好的選擇，但方程很難解，筆者放棄了(筆者也不敢保證一定有解)。通常的做法（不知道是不是唯一的做法）是先固定電阻值，然后計算電容值。最簡單的做法是設(shè)（阻抗歸一化），然后計算出歸一化的電容值。此時有： (4)三階巴特沃茨低通濾波器：前面說過，三階巴特沃茨低通濾波器有：、、。則： (5)解這個方程（過程略，下同），可得： (6)式6就是圖1做三階巴特沃茨低通濾波器時的歸一化電容值，如果大家需要制作三階巴特沃茨低通濾波器，可以將這個結(jié)果去歸一化之后直接使用。比如，我們要做一個截至頻率為1kHz的三階巴特沃茨濾波器，設(shè)，則： (7）取最接近的標準值，則：nF，nF，nF。三階貝塞爾低通濾波器：貝塞爾低通濾波器也是一種常見的全極點濾波器，三階貝塞爾低通濾波器也同樣可以由圖1所示的電路來實現(xiàn)。在查閱到貝塞爾濾波器的極點位置為：，。這個濾波器的傳遞函數(shù)為： (8) (9) (10)參數(shù)、、代入式（4）解得： (11)式11就是圖1電路用做三階貝塞爾低通濾波器時的歸一化電容值，原則上也可以去歸一化后直接使用。需要說明的是，這里的零極點位置是在網(wǎng)上查到的，如果你打算直接使用這里的數(shù)據(jù)，建議自己確認一下零極點數(shù)據(jù)再使用這里的計算結(jié)果。其他三階全極點濾波器：除了前面提到的巴特沃茨濾波器和貝塞爾濾波器，常見的全極點濾波器還有切比雪夫濾波器和線性相位濾波器。特別介紹一下線性相位濾波器。這種濾波器是在貝塞爾濾波器基礎(chǔ)上改進的結(jié)果，它和貝塞爾濾波器之間的關(guān)系，恰好與切比雪夫濾波器和巴特沃茨濾波器之間的關(guān)系相同。巴特沃茨濾波器是幅頻特性最平坦的濾波器，而貝塞爾濾波器是相頻特性最平坦的濾波器。切比雪夫濾波器引入了通帶內(nèi)幅頻特性固定幅度的紋波，結(jié)果得到了通帶內(nèi)幅度更小的最大增益誤差，以及更好的帶外衰減特性；線性相位濾波器則引入了通帶內(nèi)固定幅度的相位差，得到的是通帶內(nèi)更小幅度的最大相位誤差。線性相位濾波器大多數(shù)時候有優(yōu)于貝塞爾濾波器時延特性，和貝塞爾濾波器差不多的階躍響應(yīng)，以及優(yōu)于貝塞爾濾波器的帶外衰減特性。這兩種濾波器有一個共同特點，實際上它們不是一種濾波器，而是一個濾波器系列，選擇不同的紋波幅度，得到的傳遞函數(shù)是各不相同的。于是不太方便事先計算好結(jié)果給大家直接利用，下面簡單講一下如何計算濾波器的電容值的具體步驟。前面我們解方程式（4）的時候，首先代入了實際傳遞函數(shù)的參數(shù)、、。為了得到通用的計算公式，我們可以直接解方程式（4），這樣得到的就是以、、計算電容值的公式。為了簡化公式，引入?yún)?shù)： (12)根據(jù)式（4）和（12）可得： (13)從方程組中消去、，得： (14)另： (15) (16)計算就變成了解式（14）這個三元一次方程的問題了，三元一次方程的解有四種情況，在這里基本上就一種情況：方程有一個實數(shù)解，一對共軛復數(shù)解。對于電容值來說，復數(shù)解是沒有意義的，而實數(shù)解就是的值。下面就使用盛金公式，按方程有一個實數(shù)解，一對共軛復數(shù)解來計算，如果發(fā)現(xiàn)式（14）有3個實數(shù)解的情況，請自行處理。首先把方程改寫成標準格式：其中： (17)設(shè)： (18)如果，則繼續(xù)，否則請自行處理。令： (19) (20)把解出來的代入式（14）、（15）得到、。以上步驟稍顯繁瑣，但只要仔細一點很容易處理。更重要的是，這些步驟很容易用計算機完成，即使你不會編程序，用Execl公式也可以很容易的處理。大多數(shù)時候，我們首先得到的不是傳遞函數(shù)，而是極點位置。這時我們只要按式（8）、（9）、（10）的步驟計算出、、，再代入式（12）、（17）、（18）、（19）、（20）、（14）、（15）計算出結(jié)果。其他三階全極點濾波器：前面的討論都是按來考慮的，這是出于最直觀的想法，并沒有必須這么做的理由。當然，如果不這樣做沒什么好處，這里的討論就沒什么意義了?？疾烨懊娼o出的截止頻率為1kHz的三階巴特沃茨低通濾波器，發(fā)現(xiàn)三個電容的容量各不相同；電容容量分布范圍比較大，最大和最小容量的電容，容量差25倍還多。電容容量多，主要是給生產(chǎn)帶來麻煩，生產(chǎn)原則是庫存的元器件種類越少越好；而電容容量分布范圍大，也會給生產(chǎn)帶來麻煩，而且這也意味著電路適用的頻率范圍受影響。另外，這里實際上還有一個潛在的麻煩：市場上的電容容量是固定的，系列化的，有時候我們會發(fā)現(xiàn)很難選定一組參數(shù)，使得三個電容的容量都剛好是能買到的容量?？紤]到上述的問題，筆者嘗試調(diào)整電阻阻值比例，得到以下一組參數(shù)