專題03二元一次方程組的應(yīng)用（導(dǎo)學(xué)案）類型一：行程問(wèn)題【典例1】A、B兩地相距20km，甲從A地向B地前進(jìn)，同時(shí)乙從B地向A地前進(jìn)，2h后二人在途中相遇，相遇后，甲返回A地，乙仍然向A地前進(jìn)，甲回到A地時(shí)，乙離A地還有2km，求甲、乙二人的速度．【分析】設(shè)甲的速度為x千米/小時(shí)，乙的速度為y千米/小時(shí)，根據(jù)甲乙二人相向而行2小時(shí)相遇（甲乙兩人走的路程之和是AB的全程），根據(jù)題意還可知相遇后，甲2小時(shí)走的路程﹣乙2小時(shí)走的路程＝2km，據(jù)此列方程組求解．【解答】解：如圖，設(shè)甲的速度為x千米/小時(shí)，乙的速度為y千米/小時(shí)，由題意得，，解得：，答：甲的速度為5.5千米/小時(shí)，乙的速度為4.5千米/小時(shí)．【變式訓(xùn)練1】1.某同學(xué)家離學(xué)校8千米，每天騎自行車上學(xué)和放學(xué)．有一天上學(xué)時(shí)順風(fēng)，從家到學(xué)校共用25分鐘，放學(xué)時(shí)逆風(fēng)，從學(xué)?；丶夜灿脮r(shí)35分鐘，已知該同學(xué)在無(wú)風(fēng)時(shí)騎自行車的速度為x千米/時(shí)，風(fēng)速為y千米/時(shí)，則根據(jù)題意，列出方程組．【分析】根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的方程組，本題得以解決．【解答】解：由題意可得，，2.甲乙兩人在相距18千米的兩地，若同時(shí)出發(fā)相向而行，經(jīng)2小時(shí)相遇；若同向而行，且甲比乙先出發(fā)1小時(shí)，那么在乙出發(fā)后經(jīng)4小時(shí)甲追上乙，求甲、乙兩人的速度．設(shè)甲的速度為x千米/小時(shí)，乙的速度為y千米/小時(shí)，則可列方程組為【分析】根據(jù)甲乙兩人在相距18千米的兩地，若同時(shí)出發(fā)相向而行，經(jīng)2小時(shí)相遇，可得2x+2y＝18，根據(jù)甲比乙先出發(fā)1小時(shí)，那么在乙出發(fā)后經(jīng)4小時(shí)甲追上乙，可得5x﹣4y＝18，從而可以列出相應(yīng)的方程組．【解答】解：由題意可得．故選：A．類型二、工程問(wèn)題【典例2】某玩具車間每天能生產(chǎn)甲種玩具零件200個(gè)或乙種玩具零件100個(gè)，甲種玩具零件1個(gè)與乙種玩具零件2個(gè)能組成一個(gè)完整的玩具，怎樣安排生產(chǎn)才能在30天內(nèi)組裝出最多的玩具？設(shè)生產(chǎn)甲種玩具零件x天，生產(chǎn)乙種玩具零件y天，則有（）A． B． C． D．【分析】設(shè)生產(chǎn)甲種玩具零件x天，生產(chǎn)乙種玩具零件y天，根據(jù)工作總量＝工作效率×工作時(shí)間結(jié)合生產(chǎn)的乙種玩具的零件總數(shù)是甲種玩具零件總數(shù)的2倍，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．【解答】解：設(shè)生產(chǎn)甲種玩具零件x天，生產(chǎn)乙種玩具零件y天，依題意，得：．故選：C．【變式訓(xùn)練2】植樹(shù)節(jié)是每年3月12日，某班共有45名同學(xué)，在今年的植樹(shù)節(jié)共種了67棵樹(shù)苗，其中男生每人種樹(shù)2棵，女生每人種樹(shù)1棵，設(shè)男生有x人，女生有y人，根據(jù)題意，下列方組正確的是（）A． B． C． D．【分析】設(shè)男生有x人，女生有y人，根據(jù)45名同學(xué)植樹(shù)67棵結(jié)合男生每人種樹(shù)2棵女生每人種樹(shù)1棵，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．【解答】解：設(shè)男生有x人，女生有y人，依題意，得：．故選：D．類型三、生產(chǎn)中的配套問(wèn)題【典例3】某加工廠有工人60名，生產(chǎn)某種一個(gè)螺栓套兩個(gè)螺母的配套產(chǎn)品，每人每天平均生產(chǎn)螺栓14個(gè)或螺母20個(gè)，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺母，能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套？【分析】本題的等量關(guān)系為：生產(chǎn)螺栓的工人人數(shù)+生產(chǎn)螺母的工人人數(shù)＝60；生產(chǎn)的螺栓的數(shù)量×2＝生產(chǎn)的螺母的數(shù)量．由此可列出方程組求解．【解答】解：設(shè)應(yīng)安排x人生產(chǎn)螺栓，有y人生產(chǎn)螺母．由題意，得，解這個(gè)方程組得：，答：應(yīng)安排25人生產(chǎn)螺栓，35人生產(chǎn)螺母，才能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套．【變式訓(xùn)練3】1.如圖，現(xiàn)有圖1所示的長(zhǎng)方形紙板360張和正方形紙板140張，制作圖2所示的A，B兩種長(zhǎng)方體形狀的無(wú)蓋紙盒，剛好全部用完．問(wèn)能制作A型盒子、B型盒子各多少個(gè)？若設(shè)能做成x個(gè)A型盒子，y個(gè)B型盒子，則依題意可列出方程組．如果設(shè)做A型盒子用了正方形紙板x張，做B型盒子用了正方形紙板y張，則以下列出的方程組中正確的為（）A．B．C． D．【分析】設(shè)做A型盒子用了正方形紙板x張，做B型盒子用了正方形紙板y張，則可得A型盒子x個(gè)，B型盒子個(gè)，根據(jù)長(zhǎng)方形紙板360張，正方形紙板140張，可得出方程組．【解答】解：若設(shè)A型盒子用了正方形紙板x張，做B型盒子用了正方形紙板y張，則可得做了A型盒子x個(gè)，B型盒子個(gè)，由題意得，，即．故選：C．2.某家具生產(chǎn)廠生產(chǎn)桌椅，已知每塊板材可做桌子1張或椅子3把，現(xiàn)計(jì)劃用100塊這種板材生產(chǎn)一批桌椅（不考慮板材的損耗），設(shè)用x塊板材做桌子，用y塊板材做椅子，使得恰好配套（一張桌子兩把椅子），則下列方程組正確的是（）A． B． C． D．【分析】設(shè)用x塊板材做桌子，用y塊板材做椅子，根據(jù)“用100塊這種板材生產(chǎn)一批桌椅”，即可列出一個(gè)二元一次方程，根據(jù)“每塊板材可做桌子1張或椅子3把，使得恰好配套，一張桌子兩把椅子”，列出另一個(gè)二元一次方程，即可得到答案．【解答】解：設(shè)用x塊板材做桌子，用y塊板材做椅子，∵用100塊這種板材生產(chǎn)一批桌椅，∴x+y＝100①，生產(chǎn)了x張桌子，3y把椅子，∵使得恰好配套，一張桌子兩把椅子，∴2x＝3y②，①和②聯(lián)立得：，故選：C．類型四、數(shù)字問(wèn)題【典例4】一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大4，且個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的和為10，則這個(gè)兩位數(shù)為．【分析】設(shè)這個(gè)兩位數(shù)個(gè)位數(shù)為x，十位數(shù)字為y，根據(jù)個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大4，個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的和為10，列方程組求解．【解答】解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)個(gè)位數(shù)為x，十位數(shù)字為y，依題意得：，解得：．則這個(gè)兩位數(shù)為37．故答案為：37．【變式訓(xùn)練4】一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大1，若將個(gè)位與十位上的數(shù)字對(duì)調(diào)，得到的新數(shù)比原數(shù)小9，設(shè)個(gè)位上的數(shù)字為x，十位上的數(shù)字為y，根據(jù)題意，可列方程為（）A． B． C． D．【分析】設(shè)個(gè)位上的數(shù)字為x，十位上的數(shù)字為y，由“十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大1，將個(gè)位與十位上的數(shù)字對(duì)調(diào)得到的新數(shù)比原數(shù)小9”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．【解答】解：設(shè)個(gè)位上的數(shù)字為x，十位上的數(shù)字為y，根據(jù)題意，可列方程：．故選：D．類型五、商品銷售利潤(rùn)問(wèn)題【典例5】甲、乙兩種商品原來(lái)的單價(jià)和為100元．因市場(chǎng)變化，甲商品降價(jià)10%，乙商品提價(jià)40%，調(diào)價(jià)后，兩種商品的單價(jià)和比原來(lái)的單價(jià)和提高了20%．問(wèn)甲、乙兩種商品原來(lái)的單價(jià)各是多少元？【分析】如果設(shè)甲商品原來(lái)的單價(jià)是x元，乙商品原來(lái)的單價(jià)是y元，那么根據(jù)“甲、乙兩種商品原來(lái)的單價(jià)和為100元”可得出方程為x+y＝100根據(jù)“甲商品降價(jià)10%，乙商品提價(jià)40%，調(diào)價(jià)后，兩種商品的單價(jià)之和比原來(lái)的單價(jià)之和提高了20%”，可得出方程為x（1﹣10%）+y（1+40%）＝100（1+20%）．【解答】解：設(shè)甲種商品原來(lái)的單價(jià)是x元，乙種商品原來(lái)的單價(jià)是y元，依題意得，解得：．答：甲種商品原來(lái)的單價(jià)是40元，乙種商品原來(lái)的單價(jià)是60元．【變式訓(xùn)練5】某商店購(gòu)進(jìn)商品后，都加價(jià)40%作為銷售價(jià)，元旦期間搞優(yōu)惠促銷，決定由顧客抽獎(jiǎng)確定折扣，某顧客購(gòu)買甲、乙兩種商品，分別抽到七折和九折，共付款399元，商場(chǎng)共盈利49元，甲、乙兩種商品的進(jìn)價(jià)分別為多少元？【分析】設(shè)甲種商品的進(jìn)價(jià)為x元，乙種商品的進(jìn)價(jià)為y元