第第頁(yè)【解析】2023-2023高考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編21棱柱、棱錐、棱臺(tái)、旋轉(zhuǎn)體的體積面積距離登錄二一教育在線組卷平臺(tái)助您教考全無(wú)憂

2023-2023高考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編21棱柱、棱錐、棱臺(tái)、旋轉(zhuǎn)體的體積面積距離

一、選擇題

1．（2022·新高考Ⅰ卷）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一部分水蓄入某水庫(kù)。知該水庫(kù)水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí)，增加的水量約為（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

【解析】【解答】解：由題意知，S1=140km2，S2=180km2，h=(157.5-148.5)km=9km，

代入棱臺(tái)的體積公式，得，

故選：C

【分析】由棱臺(tái)的體積公式直接求解即可.

2．（2023·新高考Ⅱ卷）正四棱臺(tái)的上下底面的邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

【解析】【解答】解：作出圖形，連接該正四棱臺(tái)上下底面的中心，如圖，

因?yàn)樵撍睦馀_(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，

所以該棱臺(tái)的高，

下底面面積S1=16，上底面面積S2=4，

所以棱臺(tái)的體積為

故答案為：D

【分析】由四棱臺(tái)的幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺(tái)的體積公式即可得解.

3．（2023·新高考Ⅱ卷）北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個(gè)球心為O，半徑r為的球，其上點(diǎn)A的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測(cè)到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為，記衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積為（單位：），則S占地球表面積的百分比約為（）

A．26%B．34%C．42%D．50%

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】球的體積和表面積

【解析】【解答】解：由題意可得，S占地球表面積的百分比約為：==≈0.42=42%

故答案為：C

【分析】結(jié)合題意所給的表面積公式和球的表面積公式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.

4．（2023·新高考Ⅰ）已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為（）

A．2B．2C．4D．4

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱/圓錐/圓臺(tái)/球）的結(jié)構(gòu)特征

【解析】【解答】解：根據(jù)底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖弧長(zhǎng)，設(shè)母線為l，底面半徑為r，則有，

解得

故答案為：B

【分析】根據(jù)底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖弧長(zhǎng)，結(jié)合圓的周長(zhǎng)公式與扇形的弧長(zhǎng)公式求解即可.

5．（2023·天津）若棱長(zhǎng)為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】球的體積和表面積

【解析】【解答】這個(gè)球是正方體的外接球，其半徑等于正方體的體對(duì)角線的一半，

即，

所以，這個(gè)球的表面積為.

故答案為：C.

【分析】求出正方體的體對(duì)角線的一半，即為球的半徑，利用球的表面積公式，即可得解.

6．（2023·全國(guó)甲卷）在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（）

A．1B．C．2D．3

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；平面與平面之間的位置關(guān)系

【解析】【解答】

取中點(diǎn)O，連接，

是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，

且，

，

又，，

，

.

故選：A

【分析】通過(guò)證明，得出PO為棱錐的高，進(jìn)而利用體積公式求解。

7．（2023·全國(guó)甲卷）在四棱錐中，底面為正方形，，則的面積為（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征；正弦定理；余弦定理

【解析】【解答】如圖所示，連接AC，

在正方形中，

在△PAC中，根據(jù)余弦定理

，解得：.

又∵，

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知PB=PA=，

此時(shí)在△PBC中，根據(jù)余弦定理可得

，

∴，

∴，

故選：C.

【分析】根據(jù)題意結(jié)合余弦定理得出PA，結(jié)合與底面正方形對(duì)稱(chēng)性得出PA=PB，則在已知三邊的三角形中，結(jié)合余弦定理得出夾角正弦值及其面積.

8．（2023·天津卷）在三棱錐中，線段上的點(diǎn)滿(mǎn)足，線段上的點(diǎn)滿(mǎn)足，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

【解析】【解答】如圖，

設(shè)，

∵，，

∴，

，

故選：B

【分析】利用同高將三棱錐體積之比轉(zhuǎn)化成底面積之比，由已知兩三角形邊存在數(shù)量關(guān)系易聯(lián)想正弦定理求三角形面積得出底面積之比.

9．（2023·全國(guó)乙卷）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱/圓錐/圓臺(tái)/球）的結(jié)構(gòu)特征

【解析】【解答】如下圖，取AB中點(diǎn)C，連接PC，

依題意得∵∠AOB=120°，，，

∴，，

∴，，

又∵，

∴，

∴，

∴.

故選：B.

【分析】根據(jù)題意畫(huà)出草圖計(jì)算圓錐體高結(jié)合圓錐體積公式得出答案.

10．（2022·天津市）如圖，“十字歇山”是由兩個(gè)直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（）

A．23B．24C．26D．27

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

【解析】【解答】該幾何體由直三棱柱及直三棱柱組成，作于M，如圖，

因?yàn)?，所以?/p>

因?yàn)橹丿B后的底面為正方形，所以，

在直棱柱中，平面BHC，則，

由可得平面，

設(shè)重疊后的EG與交點(diǎn)為

則

則該幾何體的體積為.

故答案為：D.

【分析】該幾何體由直三棱柱及直三棱柱組成，作于M，再利用，進(jìn)而得出的長(zhǎng)，再利用重疊后的底面為正方形，所以，在直棱柱中，平面BHC結(jié)合線面垂直的定義證出線線垂直，則，再利用線線垂直證出線面垂直，所以平面，設(shè)重疊后的EG與交點(diǎn)為再結(jié)合棱錐體積公式和棱柱體積公式，再利用幾何法和作差法得出該幾何體的體積。

11．（2022·新高考Ⅱ卷）正三棱臺(tái)高為1，上下底邊長(zhǎng)分別為和，所有頂點(diǎn)在同一球面上，則球的表面積是（）

A．100πB．128πC．144πD．192π

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征；球的體積和表面積

【解析】【解答】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得，所以球的表面積為．

故答案為：A

【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而求出球的表面積．

12．（2022·全國(guó)甲卷）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱/圓錐/圓臺(tái)/球）的結(jié)構(gòu)特征

【解析】【解答】解：設(shè)母線長(zhǎng)為l，甲圓錐底面半徑為r1，乙圓錐底面圓半徑為r2，

則，

所以r1=2r2，

又，

則，

所以，

所以甲圓錐的高，

乙圓錐的高，

所以.

故選：C.

【分析】設(shè)母線長(zhǎng)為l，甲圓錐底面半徑為r1，乙圓錐底面圓半徑為r2，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得r1=2r2，再結(jié)合圓心角之和可將r1，r2分別用l表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.

13．（2022·全國(guó)乙卷）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；球內(nèi)接多面體

【解析】【解答】假設(shè)底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，底面所在圓的半徑為r，則

所以該四棱錐的高，則

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以四棱錐的高為

故選：C

【分析】假設(shè)底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，底面所在圓的半徑為r，則，所以該四棱錐的高，得到四棱錐體積表達(dá)式，再利用基本不等式去求四棱錐體積的最大值，從而得到當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)其高的值.

14．（2022·北京）已知正三棱錐的六條棱長(zhǎng)均為6，是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合，設(shè)集合，則表示的區(qū)域的面積為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】軌跡方程；棱錐的結(jié)構(gòu)特征

【解析】【解答】過(guò)點(diǎn)P作底面的射影點(diǎn)O，則由題意，，所以，當(dāng)CO上存在一點(diǎn)Q使得，此時(shí)QO=1，則動(dòng)點(diǎn)Q在以QO為半徑，O為圓心的圓內(nèi)，所以面積為π.

故答案為：B

【分析】過(guò)點(diǎn)P作底面的射影點(diǎn)O，根據(jù)題意可計(jì)算，當(dāng)CO上存在一動(dòng)點(diǎn)Q使得，此時(shí)QO=1，即可得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡，從而計(jì)算表示的區(qū)域的面積.

15．（2023·北京）定義：24小時(shí)內(nèi)降水在平地上積水厚度（）來(lái)判斷降雨程度．其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（），小明用一個(gè)圓錐形容器接了24小時(shí)的雨水，如圖，則這天降雨屬于哪個(gè)等級(jí)（）

A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱/圓錐/圓臺(tái)/球）的結(jié)構(gòu)特征

【解析】【解答】解：如圖所示，

由題意得，則r=50

則雨水的體積為，

則降雨的厚度（高度）為

故答案為：B

【分析】根據(jù)圓錐的體積公式，及圓柱的體積公式求解即可.

16．（2023·天津）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為，兩個(gè)圓錐的高之比為，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱/圓錐/圓臺(tái)/球）的結(jié)構(gòu)特征；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

【解析】【解答】解：如下圖所示，設(shè)兩個(gè)圓錐的底面圓圓心為點(diǎn)D，

設(shè)圓錐AD和圓錐BD的高之比為3：1，即AD=3BD，

設(shè)球的半徑為R，則，解得R=2，

所以AB=AD+BD=4BD=4，

所以BD=1，AD=3

∵CD⊥AB，

∴∠CAD+∠ACD=∠BCD+∠ACD=90°

∴∠CAD=∠BCD

又因?yàn)椤螦DC=∠BDC

所以△ACD∽△CBD

所以

∴

∴這兩個(gè)圓錐的體積之和為

故答案為：B

【分析】作出圖形，求得球的半徑，進(jìn)而求得兩圓錐的高，利用三角形相似計(jì)算出圓錐的底面圓半徑，再結(jié)合錐體的體積公式求解即可.

17．（2023·新課標(biāo)Ⅱ·理）已知△ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為（）

A．B．C．1D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】球的體積和表面積；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

【解析】【解答】設(shè)球O的半徑為R，則，解得：.

設(shè)外接圓半徑為，邊長(zhǎng)為，

是面積為的等邊三角形，

，解得：，，

球心到平面的距離.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)球O的表面積和的面積可求得球O的半徑R和外接圓半徑r，由球的性質(zhì)可知所求距離.

18．（2023·新課標(biāo)Ⅰ·理）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征；直角三角形的射影定理

【解析】【解答】如圖，

設(shè)，則，

由題意，即，化簡(jiǎn)得，

解得（負(fù)值舍去）.

故答案為：C.

【分析】設(shè)，利用得到關(guān)于的方程，解方程即可得到答案.

19．（2023·新課標(biāo)Ⅰ·理）已知為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球O的表面積為（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】球的體積和表面積；正弦定理

【解析】【解答】設(shè)圓半徑為r，球的半徑為R，依題意，

得，

由正弦定理可得，

，根據(jù)圓截面性質(zhì)平面，

，

球的表面積.

故答案為：A

【分析】由已知可得等邊的外接圓半徑，進(jìn)而求出其邊長(zhǎng)，得出的值，根據(jù)球截面性質(zhì)，求出球的半徑，即可得出結(jié)論.

20．（2023·全國(guó)Ⅰ卷文）已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過(guò)直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）

A．B．12πC．D．

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積

【解析】【解答】解：設(shè)上下半徑為r，則高為2r，

∴。

則圓柱表面積為，

故答案為：B.

【分析】由圓柱的軸截面是面積為8的正方形，得到圓柱的高為8，底面直徑為8，由此求圓柱的表面積.

21．（2023·全國(guó)甲卷）已知A,B,C是半徑為1的求O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且AC⊥BC,AC=BC=1，則三棱錐O-ABC的體積為（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】球面距離及相關(guān)計(jì)算；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

【解析】【解答】解：記△ABC的外接圓圓心為O1，由AC⊥BC，AC=BC=1知O1為AB的中點(diǎn)，且，

又球的半徑為1，所以O(shè)A=OB=OC=1，所以O(shè)A2+OB2=AB2，，

則OO12+O1C2=OC2

則OO1⊥O1C，OO1⊥AB，

所以O(shè)O1⊥平面ABC，

所以

故答案為：A

【分析】根據(jù)直角三角形的幾何性質(zhì)，結(jié)合三棱錐的外接球的性質(zhì)，運(yùn)用三棱錐的體積公式直接求解即可.

22．（2023·全國(guó)Ⅰ卷理）已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E、F，分別是PA，AB的中點(diǎn)，CEF=90°，則球O的體積為（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】球內(nèi)接多面體

【解析】【解答】設(shè)則

在中，由中線定理得：

利用勾股定理，得：

求出所以

【分析】利用三棱錐P-ABC的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合三棱錐與球O的位置關(guān)系，再利用中線定理和勾股定理求出球O的半徑，再利用球的體積公式結(jié)合球的半徑求出球O的體積。

23．（2023·浙江）已知四面體ABCD中，棱BC，AD所在直線所成的角為60°，且BC=2，AD=3，∠ACD=120°，則四面體ABCD體積的最大值是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

【解析】【解答】不妨以△ACD為底，B到平面ACD的距離為高來(lái)考慮四面體ABCD的體積.

在△ACD中，設(shè)AC=m，DC=n，則由余弦定理知32=m2+n2+mn，

由基本不等式知32=m2+n2+mn≥3mn，即mn≤3，

所以S△ACD=mn·sin120°=mn≤，

另一方面，設(shè)斜線CB與平面ACD所成角為θ，

則由最小角定理知θ≤60°，從而sinθ≤，

所以B到平面ACD的距離h=|CB|sinθ≤，

所以V=S△ACD·h≤··=，

故答案為：D.

【分析】先由已知利用余弦定理和基本不等式，得到mn≤3，可得S△ACD≤，再由最小角定理得sinθ≤，即可求出四面體ABCD體積的最大值.

二、多項(xiàng)選擇題

24．（2023·新高考Ⅱ卷）已知圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓心為，為底面直徑，，，點(diǎn)在底面圓周上，且二面角為45°，則（）

A．該圓錐的體積為B．該圓錐的側(cè)面積為

C．D．的面積為

【答案】A,C

【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱/圓錐/圓臺(tái)/球）的結(jié)構(gòu)特征

【解析】【解答】如圖

，，

在中，

A：圓錐體積，故A正確；

B：圓錐側(cè)面積，故B錯(cuò)誤；

C、D：設(shè)D為中點(diǎn)，連接，，

在等腰，有，，

二面角的平面角為，即，

在等腰中有，，

在中，，AC=2AD=

，故C正確，D錯(cuò)誤。

故選：AC

【分析】畫(huà)圖分析，由圓錐幾何特征求出圓錐半徑和高，結(jié)合圓錐體體積與扇形面積可判斷A、B，由二面角分析構(gòu)造垂直轉(zhuǎn)化為，再計(jì)算即可判斷C、D。

25．（2022·新高考Ⅱ卷）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（）

A．B．C．D．

【答案】C,D

【知識(shí)點(diǎn)】棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

【解析】【解答】設(shè)，因?yàn)槠矫?，，則，，連接交于點(diǎn)，連接，易得，又平面，平面，則，又，平面，則平面，

又，過(guò)作于，易得四邊形為矩形，則，

則，，

，則，，，

則，則，，，A、B不符合題意；C、D符合題意.

故答案為：CD

【分析】直接由體積公式計(jì)算，連接交于點(diǎn)，連接，由計(jì)算出，依次判斷選項(xiàng)即可.

26．（2023·新高考Ⅰ）在正三棱柱ABC-中，AB=AA1=1，點(diǎn)P滿(mǎn)足，其中λ∈[0,1]，∈[0,1]，則（）

A．當(dāng)λ=1時(shí)，△P的周長(zhǎng)為定值

B．當(dāng)=1時(shí)，三棱錐P-A1BC的體積為定值

C．當(dāng)λ=時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得

D．當(dāng)=時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得B⊥平面AP

【答案】B,D

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面垂直的判定

【解析】【解答】解：由點(diǎn)P滿(mǎn)足可知點(diǎn)P在正方形BCC1B1內(nèi)，

對(duì)于A，當(dāng)λ=1時(shí)，可知點(diǎn)P在CC1（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，如下圖所示，△AB1P中，，

因此周長(zhǎng)L=AB+AP+B1P不為定值，故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B，當(dāng)μ=1時(shí)，可知點(diǎn)P在B1C1（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，如下圖所示，

易知B1C1//平面A1BC，即點(diǎn)P到平面A1BC的距離處處相等，

△A1BC的面積是定值，所以三棱錐P-A1BC的體積為定值，故B正確；

對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，分別取線段BB1，CC1的中點(diǎn)M,N，可知點(diǎn)P在線段DD1（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，如下圖所示，

很顯然若點(diǎn)P與D,D1重合，均滿(mǎn)足題意，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，分別取線段BB1，CC1的中點(diǎn)D,D1，可知點(diǎn)P在線段DD1（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，如下圖所示，

此時(shí)，有且只有點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí)，滿(mǎn)足題意，故D正確.

故答案為：BD

【分析】根據(jù)三角形的周長(zhǎng)，棱錐的體積的求法，利用特殊點(diǎn)進(jìn)行判斷AB即可,根據(jù)線線垂直及線面垂直的判定定理，利用特殊點(diǎn)進(jìn)行判斷CD即可.

三、填空題

27．（2023·新高考Ⅱ卷）底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為.

【答案】28

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

【解析】【解答】如圖

根據(jù)題意，如圖，，，，

由相似易得，

，，，

故答案為：28

【分析】由相似易得所截棱臺(tái)的高，結(jié)合棱臺(tái)體積公式直接求解。

28．（2023·浙江）已知圓錐展開(kāi)圖的側(cè)面積為2π，且為半圓，則底面半徑為．

【答案】1

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積；扇形的弧長(zhǎng)與面積

【解析】【解答】解：∵圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，面積為2π，

設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為a，則a2π＝2π，∴a＝2，

∴側(cè)面展開(kāi)扇形的弧長(zhǎng)為2π，

設(shè)圓錐的底面半徑OC＝r，則2πr＝2π，解得r＝1．

故答案為：1．

【分析】利用圓錐的側(cè)面積，求出母線長(zhǎng)，求解底面圓的周長(zhǎng)，然后求解底面半徑．

29．（2023·全國(guó)甲卷）在正方體中，E，F(xiàn)分別為CD，的中點(diǎn)，則以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為．

【答案】12

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征；旋轉(zhuǎn)體（圓柱/圓錐/圓臺(tái)/球）的結(jié)構(gòu)特征

【解析】【解答】如圖所示，分別取中點(diǎn)G、M、N，

設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，易得，

，即以EF為直徑的球半徑為，

易得，

故以EF為直徑的球面經(jīng)過(guò)點(diǎn)N，

同理，由對(duì)稱(chēng)性可知，以EF為直徑的球面經(jīng)過(guò)正方體任一邊上的中點(diǎn)，

此時(shí)球與棱均相切，即與正方體的棱均只有一個(gè)交點(diǎn)，

故答案為：12

【分析】由正方體與球的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)結(jié)合對(duì)稱(chēng)性分析易得出答案.

30．（2023·全國(guó)甲卷）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6，其體積為30π，則該圓錐的側(cè)面積為．

【答案】39π

【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱/圓錐/圓臺(tái)/球）的結(jié)構(gòu)特征

【解析】【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，高為h，

則底面面積S=πr2=36π，

則由得，

則

故圓錐的側(cè)面積為

【分析】根據(jù)圓錐的特征，結(jié)合圓錐的體積與側(cè)面積公式求解即可.

31．（2023·新課標(biāo)Ⅲ·理）已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為．

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】球的體積和表面積

【解析】【解答】易知半徑最大球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時(shí)的軸截面如圖所示，

其中，且點(diǎn)M為BC邊上的中點(diǎn)，

設(shè)內(nèi)切圓的圓心為O，

由于，故，

設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則：

，

解得：，其體積：.

故答案為：.

【分析】將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解圓錐內(nèi)切球的問(wèn)題，然后結(jié)合截面確定其半徑即可確定體積的值.

32．（2023·新高考Ⅰ）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2，∠BAD=60°．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長(zhǎng)為．

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】球面距離及相關(guān)計(jì)算；直線與平面垂直的性質(zhì)；扇形的弧長(zhǎng)與面積

【解析】【解答】如圖：

取的中點(diǎn)為E，的中點(diǎn)為F，的中點(diǎn)為，

因?yàn)?0°，直四棱柱的棱長(zhǎng)均為2，所以△為等邊三角形，所以，，

又四棱柱為直四棱柱，所以平面，所以，

因?yàn)?，所以?cè)面，

設(shè)為側(cè)面與球面的交線上的點(diǎn)，則，

因?yàn)榍虻陌霃綖?，，所以?/p>

所以側(cè)面與球面的交線上的點(diǎn)到的距離為，

因?yàn)?，所以?cè)面與球面的交線是扇形的弧，

因?yàn)?，所以?/p>

所以根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得.

故答案為：.

【分析】根據(jù)已知條件易得，側(cè)面，可得側(cè)面與球面的交線上的點(diǎn)到的距離為，可得側(cè)面與球面的交線是扇形的弧，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.

33．（2023·江蘇）如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長(zhǎng)為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半輕為0.5

cm，則此六角螺帽毛坯的體積是cm.

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】組合幾何體的面積、體積問(wèn)題；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

【解析】【解答】正六棱柱體積為

圓柱體積為

所求幾何體體積為

故答案為：

【分析】先求正六棱柱體積，再求圓柱體積，相減得結(jié)果.

34．（2023·江蘇）如圖，長(zhǎng)方體的體積是120，E為的中點(diǎn)，則三棱錐E-BCD的體積是.

【答案】10

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

【解析】【解答】

在長(zhǎng)方體中，平面又在上，平面

是三棱錐E-BCD的高，

長(zhǎng)方體的體積為：

長(zhǎng)方體的體積是120，

又為的中點(diǎn)，

又

【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合線面垂直和中點(diǎn)的性質(zhì)，用三棱錐體積公式結(jié)合三棱錐體積與長(zhǎng)方體體積的關(guān)系式，用長(zhǎng)方體的體積求出三棱錐的體積。

35．（2023·天津）已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為.

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱/圓錐/圓臺(tái)/球）的結(jié)構(gòu)特征

【解析】【解答】∵四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為

連接，

設(shè)四棱錐的高為，是底面的中心。

∴，

在中，

∵圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，

∴圓柱底面的半徑，圓柱的高

∴圓柱的體積

【分析】本題主要考查圓柱的體積，通過(guò)求出四棱錐的高，底面的對(duì)角線，進(jìn)而得出圓柱底面的半徑及圓柱的高，最后求出圓柱的體積。

36．（2023·全國(guó)Ⅲ卷理）學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型，如圖，該模型為長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1，挖去四棱推O一EFGH后所得的幾何體，其中O為長(zhǎng)方體的中心，E，F(xiàn)，G，H，分別為所在棱的中點(diǎn)，AB=BC=6cm，AA1=4cm，3D打印所用原料密度為0.9g/cm2，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.

【答案】118.8

【知識(shí)點(diǎn)】組合幾何體的面積、體積問(wèn)題

【解析】【解答】解：∵E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，，

∴四棱錐O—EFGH的體積，

又∵長(zhǎng)方體的體積，∴該模型的體積，

∴制作該模型所需原料的質(zhì)量為132×0.9=118.8g，

故答案為118.8.

【分析】由已知得到四棱錐O—EFGH和長(zhǎng)方體的體積，求出該模型的體積，即可求出制作該模型所需原料的質(zhì)量.

37．（2023·全國(guó)乙卷）已知點(diǎn)均在半徑為2的球面上，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，平面，則．

【答案】2

【知識(shí)點(diǎn)】球面距離及相關(guān)計(jì)算；球內(nèi)接多面體；直線與平面垂直的性質(zhì)

【解析】【解答】如圖，設(shè)外接圓圓心為，半徑為，

由正弦定理得，解得：

設(shè)直三棱錐外接球球心為，連接，，

，

易得

又，

∴，

.

故答案為：2

【分析】先利用正弦定理求外接圓半徑，再利用直三棱錐外接球性質(zhì)求.

二一教育在線組卷平臺(tái)（）自動(dòng)生成1/1登錄二一教育在線組卷平臺(tái)助您教考全無(wú)憂

2023-2023高考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編21棱柱、棱錐、棱臺(tái)、旋轉(zhuǎn)體的體積面積距離

一、選擇題

1．（2022·新高考Ⅰ卷）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一部分水蓄入某水庫(kù)。知該水庫(kù)水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí)，增加的水量約為（）

A．B．C．D．

2．（2023·新高考Ⅱ卷）正四棱臺(tái)的上下底面的邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為（）

A．B．C．D．

3．（2023·新高考Ⅱ卷）北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個(gè)球心為O，半徑r為的球，其上點(diǎn)A的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測(cè)到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為，記衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積為（單位：），則S占地球表面積的百分比約為（）

A．26%B．34%C．42%D．50%

4．（2023·新高考Ⅰ）已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為（）

A．2B．2C．4D．4

5．（2023·天津）若棱長(zhǎng)為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A．B．C．D．

6．（2023·全國(guó)甲卷）在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（）

A．1B．C．2D．3

7．（2023·全國(guó)甲卷）在四棱錐中，底面為正方形，，則的面積為（）

A．B．C．D．

8．（2023·天津卷）在三棱錐中，線段上的點(diǎn)滿(mǎn)足，線段上的點(diǎn)滿(mǎn)足，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（）

A．B．C．D．

9．（2023·全國(guó)乙卷）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（）

A．B．C．D．

10．（2022·天津市）如圖，“十字歇山”是由兩個(gè)直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（）

A．23B．24C．26D．27

11．（2022·新高考Ⅱ卷）正三棱臺(tái)高為1，上下底邊長(zhǎng)分別為和，所有頂點(diǎn)在同一球面上，則球的表面積是（）

A．100πB．128πC．144πD．192π

12．（2022·全國(guó)甲卷）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（）

A．B．C．D．

13．（2022·全國(guó)乙卷）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）

A．B．C．D．

14．（2022·北京）已知正三棱錐的六條棱長(zhǎng)均為6，是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合，設(shè)集合，則表示的區(qū)域的面積為（）

A．B．C．D．

15．（2023·北京）定義：24小時(shí)內(nèi)降水在平地上積水厚度（）來(lái)判斷降雨程度．其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（），小明用一個(gè)圓錐形容器接了24小時(shí)的雨水，如圖，則這天降雨屬于哪個(gè)等級(jí)（）

A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨

16．（2023·天津）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為，兩個(gè)圓錐的高之比為，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（）

A．B．C．D．

17．（2023·新課標(biāo)Ⅱ·理）已知△ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為（）

A．B．C．1D．

18．（2023·新課標(biāo)Ⅰ·理）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為（）

A．B．C．D．

19．（2023·新課標(biāo)Ⅰ·理）已知為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球O的表面積為（）

A．B．C．D．

20．（2023·全國(guó)Ⅰ卷文）已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過(guò)直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）

A．B．12πC．D．

21．（2023·全國(guó)甲卷）已知A,B,C是半徑為1的求O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且AC⊥BC,AC=BC=1，則三棱錐O-ABC的體積為（）

A．B．C．D．

22．（2023·全國(guó)Ⅰ卷理）已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E、F，分別是PA，AB的中點(diǎn)，CEF=90°，則球O的體積為（）

A．B．C．D．

23．（2023·浙江）已知四面體ABCD中，棱BC，AD所在直線所成的角為60°，且BC=2，AD=3，∠ACD=120°，則四面體ABCD體積的最大值是（）

A．B．C．D．

二、多項(xiàng)選擇題

24．（2023·新高考Ⅱ卷）已知圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓心為，為底面直徑，，，點(diǎn)在底面圓周上，且二面角為45°，則（）

A．該圓錐的體積為B．該圓錐的側(cè)面積為

C．D．的面積為

25．（2022·新高考Ⅱ卷）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（）

A．B．C．D．

26．（2023·新高考Ⅰ）在正三棱柱ABC-中，AB=AA1=1，點(diǎn)P滿(mǎn)足，其中λ∈[0,1]，∈[0,1]，則（）

A．當(dāng)λ=1時(shí)，△P的周長(zhǎng)為定值

B．當(dāng)=1時(shí)，三棱錐P-A1BC的體積為定值

C．當(dāng)λ=時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得

D．當(dāng)=時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得B⊥平面AP

三、填空題

27．（2023·新高考Ⅱ卷）底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為.

28．（2023·浙江）已知圓錐展開(kāi)圖的側(cè)面積為2π，且為半圓，則底面半徑為．

29．（2023·全國(guó)甲卷）在正方體中，E，F(xiàn)分別為CD，的中點(diǎn)，則以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為．

30．（2023·全國(guó)甲卷）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6，其體積為30π，則該圓錐的側(cè)面積為．

31．（2023·新課標(biāo)Ⅲ·理）已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為．

32．（2023·新高考Ⅰ）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2，∠BAD=60°．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長(zhǎng)為．

33．（2023·江蘇）如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長(zhǎng)為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半輕為0.5

cm，則此六角螺帽毛坯的體積是cm.

34．（2023·江蘇）如圖，長(zhǎng)方體的體積是120，E為的中點(diǎn)，則三棱錐E-BCD的體積是.

35．（2023·天津）已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為.

36．（2023·全國(guó)Ⅲ卷理）學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型，如圖，該模型為長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1，挖去四棱推O一EFGH后所得的幾何體，其中O為長(zhǎng)方體的中心，E，F(xiàn)，G，H，分別為所在棱的中點(diǎn)，AB=BC=6cm，AA1=4cm，3D打印所用原料密度為0.9g/cm2，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.

37．（2023·全國(guó)乙卷）已知點(diǎn)均在半徑為2的球面上，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，平面，則．

答案解析部分

1．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

【解析】【解答】解：由題意知，S1=140km2，S2=180km2，h=(157.5-148.5)km=9km，

代入棱臺(tái)的體積公式，得，

故選：C

【分析】由棱臺(tái)的體積公式直接求解即可.

2．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

【解析】【解答】解：作出圖形，連接該正四棱臺(tái)上下底面的中心，如圖，

因?yàn)樵撍睦馀_(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，

所以該棱臺(tái)的高，

下底面面積S1=16，上底面面積S2=4，

所以棱臺(tái)的體積為

故答案為：D

【分析】由四棱臺(tái)的幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺(tái)的體積公式即可得解.

3．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】球的體積和表面積

【解析】【解答】解：由題意可得，S占地球表面積的百分比約為：==≈0.42=42%

故答案為：C

【分析】結(jié)合題意所給的表面積公式和球的表面積公式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.

4．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱/圓錐/圓臺(tái)/球）的結(jié)構(gòu)特征

【解析】【解答】解：根據(jù)底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖弧長(zhǎng)，設(shè)母線為l，底面半徑為r，則有，

解得

故答案為：B

【分析】根據(jù)底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖弧長(zhǎng)，結(jié)合圓的周長(zhǎng)公式與扇形的弧長(zhǎng)公式求解即可.

5．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】球的體積和表面積

【解析】【解答】這個(gè)球是正方體的外接球，其半徑等于正方體的體對(duì)角線的一半，

即，

所以，這個(gè)球的表面積為.

故答案為：C.

【分析】求出正方體的體對(duì)角線的一半，即為球的半徑，利用球的表面積公式，即可得解.

6．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；平面與平面之間的位置關(guān)系

【解析】【解答】

取中點(diǎn)O，連接，

是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，

且，

，

又，，

，

.

故選：A

【分析】通過(guò)證明，得出PO為棱錐的高，進(jìn)而利用體積公式求解。

7．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征；正弦定理；余弦定理

【解析】【解答】如圖所示，連接AC，

在正方形中，

在△PAC中，根據(jù)余弦定理

，解得：.

又∵，

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知PB=PA=，

此時(shí)在△PBC中，根據(jù)余弦定理可得

，

∴，

∴，

故選：C.

【分析】根據(jù)題意結(jié)合余弦定理得出PA，結(jié)合與底面正方形對(duì)稱(chēng)性得出PA=PB，則在已知三邊的三角形中，結(jié)合余弦定理得出夾角正弦值及其面積.

8．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

【解析】【解答】如圖，

設(shè)，

∵，，

∴，

，

故選：B

【分析】利用同高將三棱錐體積之比轉(zhuǎn)化成底面積之比，由已知兩三角形邊存在數(shù)量關(guān)系易聯(lián)想正弦定理求三角形面積得出底面積之比.

9．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱/圓錐/圓臺(tái)/球）的結(jié)構(gòu)特征

【解析】【解答】如下圖，取AB中點(diǎn)C，連接PC，

依題意得∵∠AOB=120°，，，

∴，，

∴，，

又∵，

∴，

∴，

∴.

故選：B.

【分析】根據(jù)題意畫(huà)出草圖計(jì)算圓錐體高結(jié)合圓錐體積公式得出答案.

10．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

【解析】【解答】該幾何體由直三棱柱及直三棱柱組成，作于M，如圖，

因?yàn)椋裕?/p>

因?yàn)橹丿B后的底面為正方形，所以，

在直棱柱中，平面BHC，則，

由可得平面，

設(shè)重疊后的EG與交點(diǎn)為

則

則該幾何體的體積為.

故答案為：D.

【分析】該幾何體由直三棱柱及直三棱柱組成，作于M，再利用，進(jìn)而得出的長(zhǎng)，再利用重疊后的底面為正方形，所以，在直棱柱中，平面BHC結(jié)合線面垂直的定義證出線線垂直，則，再利用線線垂直證出線面垂直，所以平面，設(shè)重疊后的EG與交點(diǎn)為再結(jié)合棱錐體積公式和棱柱體積公式，再利用幾何法和作差法得出該幾何體的體積。

11．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征；球的體積和表面積

【解析】【解答】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得，所以球的表面積為．

故答案為：A

【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而求出球的表面積．

12．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱/圓錐/圓臺(tái)/球）的結(jié)構(gòu)特征

【解析】【解答】解：設(shè)母線長(zhǎng)為l，甲圓錐底面半徑為r1，乙圓錐底面圓半徑為r2，

則，

所以r1=2r2，

又，

則，

所以，

所以甲圓錐的高，

乙圓錐的高，

所以.

故選：C.

【分析】設(shè)母線長(zhǎng)為l，甲圓錐底面半徑為r1，乙圓錐底面圓半徑為r2，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得r1=2r2，再結(jié)合圓心角之和可將r1，r2分別用l表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.

13．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；球內(nèi)接多面體

【解析】【解答】假設(shè)底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，底面所在圓的半徑為r，則

所以該四棱錐的高，則

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以四棱錐的高為

故選：C

【分析】假設(shè)底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，底面所在圓的半徑為r，則，所以該四棱錐的高，得到四棱錐體積表達(dá)式，再利用基本不等式去求四棱錐體積的最大值，從而得到當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)其高的值.

14．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】軌跡方程；棱錐的結(jié)構(gòu)特征

【解析】【解答】過(guò)點(diǎn)P作底面的射影點(diǎn)O，則由題意，，所以，當(dāng)CO上存在一點(diǎn)Q使得，此時(shí)QO=1，則動(dòng)點(diǎn)Q在以QO為半徑，O為圓心的圓內(nèi)，所以面積為π.

故答案為：B

【分析】過(guò)點(diǎn)P作底面的射影點(diǎn)O，根據(jù)題意可計(jì)算，當(dāng)CO上存在一動(dòng)點(diǎn)Q使得，此時(shí)QO=1，即可得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡，從而計(jì)算表示的區(qū)域的面積.

15．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱/圓錐/圓臺(tái)/球）的結(jié)構(gòu)特征

【解析】【解答】解：如圖所示，

由題意得，則r=50

則雨水的體積為，

則降雨的厚度（高度）為

故答案為：B

【分析】根據(jù)圓錐的體積公式，及圓柱的體積公式求解即可.

16．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱/圓錐/圓臺(tái)/球）的結(jié)構(gòu)特征；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

【解析】【解答】解：如下圖所示，設(shè)兩個(gè)圓錐的底面圓圓心為點(diǎn)D，

設(shè)圓錐AD和圓錐BD的高之比為3：1，即AD=3BD，

設(shè)球的半徑為R，則，解得R=2，

所以AB=AD+BD=4BD=4，

所以BD=1，AD=3

∵CD⊥AB，

∴∠CAD+∠ACD=∠BCD+∠ACD=90°

∴∠CAD=∠BCD

又因?yàn)椤螦DC=∠BDC

所以△ACD∽△CBD

所以

∴

∴這兩個(gè)圓錐的體積之和為

故答案為：B

【分析】作出圖形，求得球的半徑，進(jìn)而求得兩圓錐的高，利用三角形相似計(jì)算出圓錐的底面圓半徑，再結(jié)合錐體的體積公式求解即可.

17．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】球的體積和表面積；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

【解析】【解答】設(shè)球O的半徑為R，則，解得：.

設(shè)外接圓半徑為，邊長(zhǎng)為，

是面積為的等邊三角形，

，解得：，，

球心到平面的距離.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)球O的表面積和的面積可求得球O的半徑R和外接圓半徑r，由球的性質(zhì)可知所求距離.

18．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征；直角三角形的射影定理

【解析】【解答】如圖，

設(shè)，則，

由題意，即，化簡(jiǎn)得，

解得（負(fù)值舍去）.

故答案為：C.

【分析】設(shè)，利用得到關(guān)于的方程，解方程即可得到答案.

19．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】球的體積和表面積；正弦定理

【解析】【解答】設(shè)圓半徑為r，球的半徑為R，依題意，

得，

由正弦定理可得，

，根據(jù)圓截面性質(zhì)平面，

，

球的表面積.

故答案為：A

【分析】由已知可得等邊的外接圓半徑，進(jìn)而求出其邊長(zhǎng)，得出的值，根據(jù)球截面性質(zhì)，求出球的半徑，即可得出結(jié)論.

20．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積

【解析】【解答】解：設(shè)上下半徑為r，則高為2r，

∴。

則圓柱表面積為，

故答案為：B.

【分析】由圓柱的軸截面是面積為8的正方形，得到圓柱的高為8，底面直徑為8，由此求圓柱的表面積.

21．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】球面距離及相關(guān)計(jì)算；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

【解析】【解答】解：記△ABC的外接圓圓心為O1，由AC⊥BC，AC=BC=1知O1為AB的中點(diǎn)，且，

又球的半徑為1，所以O(shè)A=OB=OC=1，所以O(shè)A2+OB2=AB2，，

則OO12+O1C2=OC2

則OO1⊥O1C，OO1⊥AB，

所以O(shè)O1⊥平面ABC，

所以

故答案為：A

【分析】根據(jù)直角三角形的幾何性質(zhì)，結(jié)合三棱錐的外接球的性質(zhì)，運(yùn)用三棱錐的體積公式直接求解即可.

22．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】球內(nèi)接多面體

【解析】【解答】設(shè)則

在中，由中線定理得：

利用勾股定理，得：

求出所以

【分析】利用三棱錐P-ABC的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合三棱錐與球O的位置關(guān)系，再利用中線定理和勾股定理求出球O的半徑，再利用球的體積公式結(jié)合球的半徑求出球O的體積。

23．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

【解析】【解答】不妨以△ACD為底，B到平面ACD的距離為高來(lái)考慮四面體ABCD的體積.

在△ACD中，設(shè)AC=m，DC=n，則由余弦定理知32=m2+n2+mn，

由基本不等式知32=m2+n2+mn≥3mn，即mn≤3，

所以S△ACD=mn·sin120°=mn≤，

另一方面，設(shè)斜線CB與平面ACD所成角為θ，

則由最小角定理知θ≤60°，從而sinθ≤，

所以B到平面ACD的距離h=|CB|sinθ≤，

所以V=S△ACD·h≤··=，

故答案為：D.

【分析】先由已知利用余弦定理和基本不等式，得到mn≤3，可得S△ACD≤，再由最小角定理得sinθ≤，即可求出四面體ABCD體積的最大值.

24．【答案】A,C

【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱/圓錐/圓臺(tái)/球）的結(jié)構(gòu)特征

【解析】【解答】如圖

，，

在中，

A：圓錐體積，故A正確；

B：圓錐側(cè)面積，故B錯(cuò)誤；

C、D：設(shè)D為中點(diǎn)，連接，，

在等腰，有，，

二面角的平面角為，即，

在等腰中有，，

在中，，AC=2AD=

，故C正確，D錯(cuò)誤。

故選：AC

【分析】畫(huà)圖分析，由圓錐幾何特征求出圓錐半徑和高，結(jié)合圓錐體體積與扇形面積可判斷A、B，由二面角分析構(gòu)造垂直轉(zhuǎn)化為，再計(jì)算即可判斷C、D。

25．【答案】C,D

【知識(shí)點(diǎn)】棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

【解析】【解答】設(shè)，因?yàn)槠矫?，，則，，連接交于點(diǎn)，連接，易得，又平面，平面，則，又，平面，則平面，

又，過(guò)作于，易得四邊形為矩形，則，

則，，

，則，，，

則，則，，，A、B不符合題意；C、D符合題意.

故答案為：CD

【分析】直接由體積公式計(jì)算，連接交于點(diǎn)，連接，由計(jì)算出，依次判斷選項(xiàng)即可.

26．【答案】B,D

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面垂直的判定

【解析】【解答】解：由點(diǎn)P滿(mǎn)足可知點(diǎn)P在正方形BCC1B1內(nèi)，

對(duì)于A，當(dāng)λ=1時(shí)，可知點(diǎn)P在CC1（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，如下圖所示，△AB1P中，，

因此周長(zhǎng)L=AB+AP+B1P不為定值，故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B，當(dāng)μ=1時(shí)，可知點(diǎn)P在B1C1（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，如下圖所示，

易知B1C1//平面A1BC，即點(diǎn)P到平面A1BC的距離處處相等，

△A1BC的面積是定值，所以三棱錐P-A1BC的體積為定值，故B正確；

對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，分別取線段BB1，CC1的中點(diǎn)M,N，可知點(diǎn)P在線段DD1（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，如下圖所示，

很顯然若點(diǎn)P與D,D1重合，均滿(mǎn)足題意，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，分別取線段BB1，CC1的中點(diǎn)D,D1，可知點(diǎn)P在線段DD1（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，如下圖所示，

此時(shí)，有且只有點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí)，滿(mǎn)足題意，故D正確.

故答案為：BD

【分析】根據(jù)三角形的周長(zhǎng)，棱錐的體