直接證明與間接證明本周題目：直接證明與間接證明本周重點(diǎn)：（1）結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：綜合法和分析法；了解間接證明的一種基本方法：反證法.（2）了解綜合法、分析法和反證法的思考過程、特點(diǎn).本周難點(diǎn)：根據(jù)問題的特點(diǎn)，結(jié)合綜合法、分析法和反證法的思考過程、特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法或把不同的證明方法結(jié)合使用.本周內(nèi)容：一、直接證明1、綜合法（1）定義：一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法.（2）綜合法的特點(diǎn)：綜合法又叫“順推證法”或“由因?qū)Чā?它是從已知條件和某些學(xué)過的定義、公理、公式、定理等出發(fā)，通過推導(dǎo)得出結(jié)論.2、分析法（1）定義：一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證明的方法叫做分析法.（2）分析法的特點(diǎn)：分析法又叫“逆推證法”或“執(zhí)果索因法”.它是要證明結(jié)論成立，逐步尋求推證過程中，使每一步成立的充分條件，直到最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.二、間接證明反證法1、定義：一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法.2、反證法的特點(diǎn)：反證法是間接證明的一種基本方法.它是先假設(shè)要證的命題不成立，即結(jié)論的反面成立，在已知條件和“假設(shè)”這個(gè)新條件下，通過邏輯推理，得出與定義、公理、定理、已知條件、臨時(shí)假設(shè)等相矛盾的結(jié)論，從而判定結(jié)論的反面不能成立，即證明了命題的結(jié)論一定是正確的.

3、反證法的優(yōu)點(diǎn)：對(duì)原結(jié)論否定的假定的提出，相當(dāng)于增加了一個(gè)已知條件.4反證法主要適用于以下兩種情形：（1）要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰（2）如果從正面證明，需要分成多種情形進(jìn)行分類討論，而從反面進(jìn)行證明，只要研究一種或很少的幾種情形.例題選講—J—+— +—二—<2例1：求證：1。岳出1。&形分析：待證不等式的左端是3個(gè)數(shù)和的形式，右端是一常數(shù)的形式，而左端3個(gè)分母的真數(shù)相同，由此可聯(lián)想到公式，轉(zhuǎn)化成能直接利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)的形式.相同，由此可聯(lián)想到公式，轉(zhuǎn)化成能直接利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)的形式.證明：.左邊="gw5+21°S193+31°Si?2=log19+logig3+log]g2=loglp(5x32x23)=logjp360,Jog19360clogjp361=2?, + + <2.log519log319log219評(píng)注：用綜合法證明問題，可用框圖表示為：pnQ\TQ=>QTQ=QT...T2=>Q

中點(diǎn).I八、、?求證：尸。垂直于所在的平面.在所以D^=DC在所以D^=DC=DE又因?yàn)镻ZA眈，而皿曲PM、'PED、XFUD的公共邊,所以bPAD=AFBD=AFCD于是APDA二APDB=ZPDC于疋/叫，因此HE?.FD丄47PDL8D>? 9由此可知尸。垂直于山呂'所在的平面.評(píng)注：現(xiàn)將用綜合法證題的過程展現(xiàn)給大家，供參考：(1)由已知也是Rt^ABC斜邊上的中線，推出型二= ,記為啦(已知)(2)由DA=DC二DE和已知條件，推出三個(gè)三角形全等，記為時(shí)呂&；3)由三個(gè)三角形全等，推出3)由三個(gè)三角形全等，推出/PDA=ZBD呂*PDG⑷由4D44DSDC二沁推出陽丄麗比，記為巳*(結(jié)論)這個(gè)證明步驟用符號(hào)表示就是喘（已知）3牟3爲(wèi)二理=■耐（結(jié)論）.這是一例典型的綜合法證明.例3.例3.求證：分析：由于本題所給的條件較少，且不等式中項(xiàng)都是根式的形式，因而用綜合法證明比較困難.這時(shí)，可從結(jié)論出發(fā)，逐步反推，尋找使命題成立的充分條件；此外，若注意到此外，若注意到因?yàn)橐驗(yàn)橐部捎镁C合法證明.證明：方法一：分析法要證需—成立,只需證明需+亦刁弋亦二二+尸仮王場(chǎng)，兩邊平方得龍說—孑+ -3)<2a-3+2j@-2)(&-1)所以只需證明屎匚泵do心,兩邊平方得圧一力3-3a+2,?°?原不等式得證.方法二：綜合法、［茂—2— —3=—』 ,所以所以Jc3_2+y/d~3

所以所以即原不等式成立.評(píng)注：當(dāng)條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接，證明中需要用哪些知識(shí)不太明確時(shí)，往往采用從結(jié)論出發(fā)，結(jié)合已知條件，逐步反推，尋找使當(dāng)前命題成立的充分條件的方法.例4.若tan(e+=2tan例4.若tan(e+=2tan化求證：3sm0=sm(2or+Q分析：比較已知條件和結(jié)論，可知已知是切函數(shù)，結(jié)論是弦函數(shù)，已知含有角4+Q與①,結(jié)論中含有角?與2氐+Q，所以可從已知出發(fā)，采用切化弦，統(tǒng)一函數(shù)名稱；從結(jié)論出發(fā)，統(tǒng)一角，即把Q與加+Q分別寫成i+Q-論+i+X的形式.sin(o;+2sma證明：由曲證明：由曲(e+Q=2tan化，得+Qcosa:，*)即￡in(氐+/J)cosa:=2cos(or+/J)smor.*)另一方面，要證珈“叭加+Q,即證一閃二阮訕血+國+創(chuàng)，即、正3[￡iti〔e+燒cosor-cos(or+/J)sin氐]=sm(or+/J)cosor+cos(^+/J)sma化簡(jiǎn)，sm(or+cosa=2cos(or+Qsma化簡(jiǎn)，?.?上式與(*)式相同.所以，命題成立.評(píng)注：在證明過程中，若使用綜合法出現(xiàn)困難時(shí)，應(yīng)及時(shí)調(diào)整思路，分析一下要證明結(jié)論成立需要怎樣的充分條件是明智之舉.這種思想可形象地描述為：發(fā)展條件，轉(zhuǎn)化結(jié)論，尋找聯(lián)系.例5?設(shè)二次函數(shù)“)w+加+訛“中的—心r均為奇數(shù),求證：方程了w=°無整數(shù)根.分析：由于要證明的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰所以可考慮用反證法.對(duì)于本題可通過奇偶數(shù)分析得出結(jié)論.證明：假設(shè)方程^w=0有整數(shù)根"則血+恥+*0成立，+b）+c=0所以 .因?yàn)椤銥槠鏀?shù)，所以冷3+坊也為奇數(shù)，且衛(wèi)與處+b都必須為奇數(shù).因?yàn)橐阎獔R、為奇數(shù)，又"為奇數(shù),所以如丘為偶數(shù)，這與如為奇數(shù)矛盾,所以假設(shè)不成立，原命題成立.評(píng)注：反證法適宜證明“存在性”、“唯一性”，帶有“至少有一個(gè)”或“至多有一個(gè)”等字樣的數(shù)學(xué)問題.本周練習(xí)1.要證明V3+V7＜2^5可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是（ ）A.綜合法 B.分析法 C.反證法 D.歸納法2?設(shè)心空g，，石+血’停，則少的大小關(guān)系是（）A.4B B.山乞占 C.A＞呂 D.山"/W=3?已知函數(shù)衛(wèi)』E（0,+oo）則AB，C是大小關(guān)系為（A./W=3?已知函數(shù)衛(wèi)』E（0,+oo）則AB，C是大小關(guān)系為（A.A<B<CB.A<C<BC.B<C<AD.C<B<A4?住X+2x+l=0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是（）A.B.C.A.B.C.6?已知"都是正數(shù)，6?已知"都是正數(shù)，"ER，且卄"I,求證：用+紉冬宓+如2疋＞—7?用反證法證明：如果 2，那么X+2"1工°參考答案1.答案:B2.解:假設(shè)A~B,即拓+亦乞拓忑.■,■總上E(O,+m)?a+2-Jab+i<a-\-b■'■2^-°，顯然不成立，??答案:c3.解：■.■a>O,b>0;/(x)= 在(0,+m)又丁函數(shù) 宀丿 是減函數(shù),.衛(wèi)蘭E蘭U??答案：A4.解：—(1)當(dāng)盤=°時(shí)， 2,符合題意；

-<0（2）當(dāng)時(shí)，要使方程有一正一負(fù)根，只需住，即a<0-<04-4a>0?要使方程有兩個(gè)負(fù)根，只需綜上可知，圧乞1?答案：C5.證明：因?yàn)樯?護(hù)一（/護(hù)+◎絡(luò)*）=J（和-護(hù)）+臚（護(hù)-刊（左-護(hù)）（』-/）Ja2+b2）（a2-b2）2又因?yàn)?gt;0^>0且"止即/+護(hù)>^b2+^6.證明：要證原式成立，則只需要證明用+"工卞+加汕+代即只需要證明S—dF+QW"必稅即證明班1一小“+b（1-b）尹王2abxy因?yàn)?=】，所以*式