數(shù)列通項(xiàng)公式的求法之不動(dòng)點(diǎn)法一、 內(nèi)容分析本節(jié)課是高三年級(jí)針對(duì)數(shù)列求通項(xiàng)公式的復(fù)習(xí)課，主要講解運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)法靈活求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，縱觀每年高考試題，無(wú)論在選擇題還是大題中數(shù)列求通項(xiàng)公式都是必考內(nèi)容，所占的分值也很高，所以熟練掌握求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法是非常重要的。二、 學(xué)情分析上一節(jié)課學(xué)生已經(jīng)系統(tǒng)的學(xué)習(xí)數(shù)列求通項(xiàng)公式的七種方式（公式法、疊加法、疊乘法、待定系數(shù)法、迭代法、對(duì)數(shù)變換法、數(shù)學(xué)歸納法、換元法）通過(guò)學(xué)習(xí)這些方法，大部分學(xué)生能夠求解常規(guī)數(shù)列的通項(xiàng)公式，但是對(duì)于復(fù)雜一點(diǎn)的數(shù)列的求解還是存在一定困難，所以本節(jié)課更深入地講解運(yùn)用不定點(diǎn)法求解數(shù)列通項(xiàng)公式，讓學(xué)生更加深入、系統(tǒng)地掌握求解數(shù)列通項(xiàng)公式的方法和技巧。三、 教學(xué)目標(biāo)1、 知識(shí)與技能（1） 知道什么是不動(dòng)點(diǎn)；（2） 掌握運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)求解數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法；（3） 明白運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)法求解數(shù)列通項(xiàng)公式的條件。2、 過(guò)程和方法（1） 通過(guò)分析類比，引入不動(dòng)點(diǎn)的概念及運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)法如何構(gòu)造數(shù)列;（2） 通過(guò)教師的演算分析，運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)法構(gòu)造數(shù)列的一般步驟；（3） 通過(guò)使學(xué)生合作思考，以不斷嘗試錯(cuò)誤的方式自己歸納總結(jié)運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)法求解的限制條件。3、 情感態(tài)度和價(jià)值觀通過(guò)本節(jié)課的學(xué)生使學(xué)生感受運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)法求解數(shù)列通項(xiàng)公式的便捷性和靈活性，同時(shí)在歸納分析的過(guò)程中使學(xué)生形成化歸、類比的數(shù)學(xué)意識(shí)，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S習(xí)慣。四、 教學(xué)重難點(diǎn)1、 教學(xué)重點(diǎn)（1） 明白什么是不動(dòng)點(diǎn)；（2） 熟練掌握不動(dòng)點(diǎn)法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式及使用條件。2、 教學(xué)難點(diǎn)（1） 靈活運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)法快速求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2） 針對(duì)不同的數(shù)列靈活選擇其求解方法。五、 教學(xué)策略與方法分析類比法、嘗試錯(cuò)誤法、歸納總結(jié)法、合作探究法、講解演算法六、 教學(xué)過(guò)程教學(xué)時(shí)間教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖（一）分析類比，講授新課大家首先回顧一下上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了求解數(shù)列通項(xiàng)公式的七種方法，分別是哪些？回答：公式法、疊加法、疊乘法、待定系數(shù)法、迭代學(xué)生思考在之前已學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)類比

法、對(duì)數(shù)變換法、數(shù)學(xué)歸納法、換兀法。然而這些方法并不能求解所有的數(shù)列，有的數(shù)列上述7種方法便無(wú)能為力了。大家首先來(lái)看看這個(gè)思考題：%思考題：求下列遞推式的通項(xiàng)公式｛a」，其中a1=31、L=3aniT2、a=%”1—4a-2a-2 n2a-13、上=二+24、a=7a二a-1a-15 n2a+3觀察第1題，我們可以看出是數(shù)列|官11以3為[a—2Jn公比的等比數(shù)列。運(yùn)用上節(jié)課所學(xué)知識(shí)我們可以快速算出該數(shù)列的通項(xiàng)公式：土^1=2?3n-1從而得出：a—2a=]23(n=1,2,3, )，大豕嘗試做做第2題。事實(shí)上匕z!=3%^1中，把a(bǔ)看作已知數(shù)，a—2a—2 n—1把a(bǔ)n當(dāng)作未知數(shù)將a從上式中解出/曰 5a—4^|^得 a n—1n—1恰好與第2題的遞推公式相同。教師總結(jié)：第1、2題其實(shí)是同式子的不同變形。再看看第3、4題。、，，一一， ?一.一?2 ,，、， 1 ,觀察第3題，我們可以看出是以為公差， 為5 a-1首項(xiàng)的等差數(shù)列。然而，第3題通過(guò)變換也可以得出第4題的式子?；卮穑汗椒?、疊加法、疊乘法、待定系數(shù)法、迭代法、對(duì)數(shù)變換法、數(shù)學(xué)歸納法、換元法師生共同求解。學(xué)生計(jì)算練習(xí)。學(xué)生回答分析讓學(xué)生明白要解決這樣的問(wèn)題無(wú)法用以前學(xué)習(xí)的知識(shí)，必須尋求新的方法，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲，同時(shí)為引入新課作鋪墊。(二)什么是不動(dòng)點(diǎn)那么我們?nèi)绾尾拍軐⒌?題的式子變成第1題的形式，也就是對(duì)于形如a=aan1+b的遞推公式求通nca+d項(xiàng)公式需要我們先構(gòu)造成等比數(shù)列或等差數(shù)列，再利用等比數(shù)列或等差數(shù)列的相關(guān)定義及公式進(jìn)行求解?，F(xiàn)在我們將介紹一種構(gòu)造等比數(shù)列和等差數(shù)列學(xué)生認(rèn)真聽課在前面的鋪墊下，以定義的形式直接說(shuō)明，并以具體的實(shí)例輔助練習(xí)，讓

的新方法----不動(dòng)點(diǎn)法不動(dòng)點(diǎn)定義：被函數(shù)y=f(x)映射到其自身的一個(gè)點(diǎn)；即函數(shù)上x=y的點(diǎn)，可由x=f(x)解出。例如：求廣(x)=竺二4的不動(dòng)點(diǎn)。2x-1教師講解求解過(guò)程。學(xué)生認(rèn)真聽課、積極演算學(xué)生更清晰的掌握不動(dòng)點(diǎn)的算法。(三)巧用不動(dòng)點(diǎn)求解數(shù)列的通項(xiàng)公式那么如何利用不動(dòng)點(diǎn)法來(lái)求數(shù)列的通項(xiàng)公式呢？講解運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)法求解形如a=籍1+"的nca+d通項(xiàng)公式的步驟。令f(x)=竺蘭=x，并解出方程的根cx+d即為不動(dòng)點(diǎn)X1=p，x2=p2；構(gòu)造數(shù)列a、當(dāng)p豐p時(shí)，a-—I——可以構(gòu)造為如下1 2 nca+dn-1形式：aa+ba-p ca+d 1a—p aa,,]+bn ca+d 2n—1化解后得一個(gè)等比數(shù)列|n?|的遞推公I(xiàn)a—pJn 2式：a-pk。-pa—p a—pn2 n—1 2由此可求出a—pa—p—n1=1kn—1a—pa—pn 2 1 2最后解出a”即求得a”的通項(xiàng)公式。認(rèn)真聽講學(xué)生獨(dú)立練習(xí)題目考慮到課堂時(shí)間緊湊，這里對(duì)于該算法的證明省略，直接深入淺出的簡(jiǎn)單介紹運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)求解數(shù)列通項(xiàng)公式的步驟。掌握在不同情況下的求解方法。通過(guò)練習(xí)題目既鍛煉學(xué)生舉

…一- 5a—4例1、已知：a=2n1——i,a=3,求數(shù)列｛。｝的通項(xiàng)公式。nb、當(dāng)p=p=p時(shí)，a=―n-i可以構(gòu)造為如12 nca+d下形式：a-p=a"b-pn ca+d求倒數(shù)化解后得一個(gè)等差數(shù)列| 1的遞推〔a-pJn公式：117 = +ha-pa-p由此可求出-^―=—^+(n-1)ha-pa-p最后解出a.即求得a.的通項(xiàng)公式。例2、已知：a= ，a=3，n2a+3 1求｛a｝通項(xiàng)公式。n^認(rèn)真聽講學(xué)生練習(xí)，并學(xué)會(huì)舉一反三一反三的能力，又及時(shí)鞏固所學(xué)知識(shí)。(四)嘗試練習(xí)，分析限制條件思考題：求下列遞推式的通項(xiàng)公式｛a｝n1、 a=2n-1——1(a=1或a=2)n-12、a= ———(a=1)n2a+31n-1教師總結(jié)：當(dāng)a1=f(a1)時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列，此時(shí)不宜使用該方法。學(xué)生嘗試用所學(xué)的知識(shí)小組合作的方式完成題目。并討論總結(jié)不動(dòng)點(diǎn)法求解的條件。層層遞進(jìn)，通過(guò)讓學(xué)生思考課后練習(xí)，發(fā)現(xiàn)不動(dòng)點(diǎn)法使用的條件，并通過(guò)討論練習(xí)，更能加深學(xué)生的記憶，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立解決問(wèn)題的能

力。（五）課堂小結(jié)運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)法求數(shù)列的通項(xiàng)公式的限制條件是：a1。f（a1）步驟：（1） 求不動(dòng)點(diǎn)（2） 構(gòu)造數(shù)列3、當(dāng)p。p時(shí)a=―I可以構(gòu)造為：1 2 nca+daa+ba