文檔來源網(wǎng)絡侵權(quán)聯(lián)系刪除PAGEPAGE1僅供參考專題16全等三角形的輔助線問題1．【截長補短】（2022·全國·八年級假期作業(yè)）如圖所示，在三角形ABC中，AB=AC，∠A=100°，作∠B的平分線與AC交于點E，求證：BC=AE+BE.2．【倍長中線】（2021·湖北襄陽·模擬預測）【問題提出】如圖①，在△ABC中，若AB=6，AC=4，求BC邊上的中線AD的取值范圍.（1）【問題解決】解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE=AD，再連接BC（或?qū)ⅰ鰽CD繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷，由此得出中線AD的取值范圍.（2）【應用】如圖②，在△ABC中，D為BC的中點，已知AB=5，AC=3，AD=2，求BC的長.（3）【拓展】如圖③，在△ABC中，∠A=90°，點D是邊BC的中點，點E在邊AB上，過點D作DF⊥DE交邊AC于點F，連接EF．已知BE=4，CF=5，求EF的長.3．【截長補短】（2023秋·山西朔州·八年級?？计谀?）問題背景：如圖①：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E、F分別是BC、CD上的點且∠EAF=60°．探究圖中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學探究此問題的方法是：延長FD到點G，使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應是___________；（2）探索延伸：如圖②，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E,F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=1（3）實際應用：如圖③，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進2小時后，甲、乙兩艦艇分別到達E,F處，此時在指揮中心觀測到兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．4．【作垂線】（2022秋·重慶江津·八年級統(tǒng)考期末）（1）問題：如圖①，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，P是BC上一點，PA=PD，AB+BP=BC．求證：∠APD=90°；（2）問題：如圖②，在三角形ABC中，∠B=∠C=45°，P是AC上一點，PE=PD，且∠EPD=90°．求AE+APPC5．【作平行線】（2022秋·八年級課時練習）已知點P是線段MN上一動點，分別以PM，PN為一邊，在MN的同側(cè)作△APM，△BPN，并連接BM，AN．（Ⅰ）如圖1，當PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°時，試猜想BM，AN之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明你的猜想；（Ⅱ）如圖2，當△APM，△BPN都是等邊三角形時，（Ⅰ）中BM，AN之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請證明你的結(jié)論；若不成立，試說明理由．（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，連接AB得到圖3，當PN＝2PM時，求∠PAB度數(shù)．6．【作垂線】（2022秋·浙江·八年級專題練習）如圖1，△ABC、△DCE均為等邊三角形，當B、C、E三點在同一條直線上時，連接BD、AE交于點F，易證：△ACE≌△BCD.聰明的小明將△DCE繞點C旋轉(zhuǎn)的過程中發(fā)現(xiàn)了一些不變的結(jié)論，讓我們一起開啟小明的探索之旅！【探究一】如圖2，當B、C、E三點不在同一條直線上時，小明發(fā)現(xiàn)∠BFE的大小沒有發(fā)生變化，請你幫他求出∠BFE的度數(shù)．【探究二】閱讀材料：在平時的練習中，我們曾探究得到這樣一個正確的結(jié)論：兩個全等三角形的對應邊上的高相等.例如：如圖3，如果△ABC≌△A’B’C’，AD、A’D’分別是△ABC、△A’B’C’的邊BC、B’C’上的高，那么容易證明AD=A’D’.小明帶著這樣的思考又有了新的發(fā)現(xiàn)：如圖4，若連接CF，則CF平分∠BFE，請你幫他說明理由．【探究三】在探究二的基礎(chǔ)上，小明又進一步研究發(fā)現(xiàn)，線段AF、BF、CF之間還存在一定的數(shù)量關(guān)系，請你寫出它們之間的關(guān)系，并說明理由．7．（2023春·全國·八年級專題練習）在△ABC中，AB=AC，點D是直線BC上一點（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE．（1）如圖，當點D在線段BC上，如果∠BAC=90°，則∠BCE=______度．（2）設(shè)∠BAC=α，∠BCE=β．①如圖，當點D在線段BC上移動時，α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論．②如圖，當點D在線段BC的反向延長線上移動時，α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．8．【截長補短】（2023秋·上海浦東新·八年級?？计谥校┰讦BC中，AC=BC，∠ACB=90°，點E在直線BC上（B，C除外），AE的垂線EF與AB的垂線BF交于點F，研究AE和EF（1）在探究AE，EF的關(guān)系時，運用“從特殊到一般”的數(shù)學思想，發(fā)現(xiàn)當點E是BC的中點時，只需要取AC邊的中點G（如圖），通過推理證明就可以得到AE=EF的數(shù)量關(guān)系，請你按照這種思路直接寫出AE和EF的數(shù)量關(guān)系：_____________________（2）當點E是線段BC上（B，C除外）任意一點（其它條件不變），上面得到的結(jié)論是否仍然成立呢？證明你的結(jié)論；（3）點E在線段BC的延長線上，上面得到的結(jié)論是否仍然成立呢？在下圖中畫出圖形，并證明你的結(jié)論.9．【截長補短】（2023春·全國·七年級專題練習）問題情境在等邊△ABC的兩邊AB，AC上分別有兩點M，N，點D為△ABC外一點，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．特例探究如圖1，當DM＝DN時，（1）∠MDB＝度；（2）MN與BM，NC之間的數(shù)量關(guān)系為；歸納證明（3）如圖2，當DM≠DN時，在NC的延長線上取點E，使CE＝BM，連接DE，猜想MN與BM，NC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．拓展應用（4）△AMN的周長與△ABC的周長的比為．10．【截長補短】（2022秋·八年級課時練習）（1）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC，CD上的點，且∠EAF=45°．直接寫出BE、DF、EF之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是BC，CD上的點，且∠EAF=12∠BAD（3）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，延長BC到點E，延長CD到點F，使得∠EAF=12∠BAD11．【作平行線】（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖所示：△ABC是等邊三角形，D、E分別是AB及AC延長線上的一點，且BD=CE，連接DE交BC于點M．求讓：MD=ME12．【作平行線】（2022秋·八年級課時練習）如圖，點P為等邊△ABC的邊AB上一點，Q為BC延長線上一點，AP=CQ，PQ交AC于D，(1)求證：DP=DQ；(2)過P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的長．13．【倍長中線】（2023春·全國·七年級專題練習）（1）如圖1，在ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC邊上的中線，延長AD到點E使DE＝AD，連接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三邊關(guān)系可得AD的取值范圍是；（2）如圖2，在ABC中，AD是BC邊上的中線，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且DE⊥DF，求證：BE＋CF＞EF；（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠A為鈍角，∠C為銳角，∠B＋∠ADC＝180°，DA＝DC，點E，F(xiàn)分別在BC，AB上，且∠EDF＝12∠ADC，連接EF，試探索線段AF，EF，CE14．【倍長中線】（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級階段練習）（1）如圖1，AD是△ABC的中線，延長AD至點E，使ED=AD，連接CE．①證明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，設(shè)AD＝x，可得x的取值范圍是_______；（2）如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：BE＋CF＞EF．15．【截長補短】（2022春·河南許昌·八年級許昌市第一中學?？计谥校┤鐖D，已知?ABCD，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且DF＝AD．(1)若∠C＝60°，AB＝2，求EC的長；(2)求證：AB＝DG+FC．16．【截長補短】（2022秋·全國·八年級專題練習）如圖，正方形ABCD中，E是BC的中點，EF⊥AE交∠DCE外角的平分線于F．

（1）求證：AE=EF；（2）如圖，當E是BC上任意一點，而其它條件不變，AE=EF是否仍然成立？若成立，請證明，若不成立，請說明理由．17．【角平分線】（2023春·全國·七年級專題練習）已知：如圖，AC∥BD，AE、BE分別平分∠CAB和∠ABD，點E在CD上．用等式表示線段AB、AC、BD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．18．【作垂線】（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，已知在四邊形ABCD中，BD是∠ABC的平分線，AD=CD．2求證：∠A+∠C=180°．19．【作垂線】（2022秋·新疆克孜勒蘇·八年級校考階段練習）如圖，△ABC是一個銳角三角形，分別以AB、AC為邊向外作等邊三角形△ABD、