2.1圓的方程課程標準學習目標本章以“圓”為載體，再次實踐和感悟運用解析幾何思想研究問題的一般思路．通過本章的學習，學生將在類比直線的研究方法的基礎上，進一步體會和掌握在平面直角坐標系中建立圓的方程，進而運用方程研究圓的幾何性質(zhì)及直線和圓、圓和圓的相互位置關系，體會數(shù)形結合的思想，逐步形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力．1、理解并掌握確定圓的幾何要素．2、理解并探求圓的標準方程和一般方程．3、理解并掌握圓的標準方程和一般方程的求法．4、理解并掌握點與圓的位置關系.知識點01圓的標準方程，其中為圓心，為半徑．知識點詮釋：（1）如果圓心在坐標原點，這時，圓的方程就是．有關圖形特征與方程的轉化：如：圓心在x軸上：b=0；圓與y軸相切時：；圓與x軸相切時：；與坐標軸相切時：；過原點：（2）圓的標準方程圓心為，半徑為，它顯現(xiàn)了圓的幾何特點．（3）標準方程的優(yōu)點在于明確指出了圓心和半徑．由圓的標準方程可知，確定一個圓的方程，只需要a、b、r這三個獨立參數(shù)，因此，求圓的標準方程常用定義法和待定系數(shù)法．【即學即練1】（2023·全國·高二專題練習）已知點，求(1)過點A，B且周長最小的圓的標準方程；(2)過點A，B且圓心在直線上的圓的標準方程.知識點02點和圓的位置關系如果圓的標準方程為，圓心為，半徑為，則有（1）若點在圓上（2）若點在圓外（3）若點在圓內(nèi)【即學即練2】（2023·高二課時練習）點與圓的位置關系是（）A．在圓外 B．在圓上C．在圓內(nèi) D．與a的值有關知識點03圓的一般方程當時，方程叫做圓的一般方程．為圓心，為半徑．知識點詮釋：由方程得（1）當時，方程只有實數(shù)解．它表示一個點．（2）當時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形．（3）當時，可以看出方程表示以為圓心，為半徑的圓．【即學即練3】（2023·河南周口·高二校考階段練習）在平面直角坐標系中，四點坐標分別為，若它們都在同一個圓周上，則a的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．知識點04軌跡方程求符合某種條件的動點的軌跡方程，實質(zhì)上就是利用題設中的幾何條件，通過“坐標法”將其轉化為關于變量之間的方程．1、當動點滿足的幾何條件易于“坐標化”時，常采用直接法；當動點滿足的條件符合某一基本曲線的定義（如圓）時，常采用定義法；當動點隨著另一個在已知曲線上的動點運動時，可采用代入法（或稱相關點法）．2、求軌跡方程時，一要區(qū)分“軌跡”與“軌跡方程”；二要注意檢驗，去掉不合題設條件的點或線等．3、求軌跡方程的步驟：（1）建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，用表示軌跡（曲線）上任一點的坐標；（2）列出關于的方程；（3）把方程化為最簡形式；（4）除去方程中的瑕點（即不符合題意的點）；（5）作答．【即學即練4】已知，，動點M滿足，則點M的軌跡方程是．題型一：圓的標準方程例1．（2023·全國·高二專題練習）已知圓與圓關于直線對稱，則圓的標準方程為（

）A． B．C． D．例2．（2023·甘肅臨夏·高二?？茧A段練習）已知圓C的圓心在y軸上，且經(jīng)過，兩點，求圓C的標準方程.例3．（2023·高二課時練習）求滿足下列條件的圓的標準方程：(1)經(jīng)過點，圓心為點；(2)經(jīng)過點，且圓心在y軸上.變式1．（2023·全國·高二專題練習）求經(jīng)過點和坐標原點，并且圓心在直線上的圓的方程．變式2．（2023·全國·高二專題練習）已知圓C的半徑為，圓心在直線上，且過點，求圓C的標準方程.變式3．（2023·高二單元測試）已知直線過點且與直線垂直，圓的圓心在直線上，且過，兩點．(1)求直線的方程；(2)求圓的標準方程．變式4．（2023·河北保定·高二?？计谥校┣鬂M足下列條件的圓的標準方程．(1)圓心在軸上，半徑為5，且過點；(2)圓心在直線上，且與直線相切于點；【方法技巧與總結】一般情況下，如果已知圓心或易于求出圓心，可用圓的標準方程來求解，用待定系數(shù)法，求出圓心坐標和半徑．確定圓的方程的主要方法是待定系數(shù)法，即列出關于a、b、r的方程組，求a、b、r或直接求出圓心和半徑r，一般步驟為：（1）根據(jù)題意，設所求的圓的標準方程為；（2）根據(jù)已知條件，建立關于a、b、r的方程組；（3）解方程組，求出a、b、r的值，并把它們代入所設的方程中去，就得到所求圓的方程．題型二：圓的一般方程例4．（2023·全國·高二專題練習）過坐標原點，且在x軸和y軸上的截距分別為2和3的圓的方程為（

）A． B．C． D．例5．（2023·天津和平·高二統(tǒng)考期末）三個頂點的坐標分別是，，，則外接圓的方程是（

）A． B．C． D．例6．（2023·全國·高二專題練習）已知圓經(jīng)過兩點，，且圓心在直線上，則圓的方程為（）A． B．C． D．變式5．（2023·全國·高二專題練習）與圓同圓心，且過點的圓的方程是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結】一般地，當給出了圓上的三點坐標，特別是當這三點的橫坐標和橫坐標之間、縱坐標和縱坐標之間均不相同時，選用圓的一般方程比選用圓的標準方程簡捷；而在其他情況下的首選應該是圓的標準方程，此時要注意從幾何角度來分析問題，以便找到與圓心和半徑相聯(lián)系的可用條件．題型三：點與圓的位置關系例7．（2023·全國·高二專題練習）若點在圓的內(nèi)部，則a的取值范圍是（）.A． B． C． D．例8．（2023·四川巴中·高二統(tǒng)考期末）點與圓的位置關系是（

）．A．點在圓上 B．點在圓內(nèi) C．點在圓外 D．不能確定例9．（2023·全國·高二專題練習）點與圓的位置關系是（

）A．在圓外 B．在圓內(nèi) C．在圓上 D．不確定【方法技巧與總結】點與圓的位置關系，從形的角度來看，設圓心為，半徑為，則點在圓內(nèi)；點在圓上；點在圓外．從數(shù)的角度來看，設圓的標準方程為，圓心為，半徑為，則點在圓上；點在圓外；點在圓內(nèi)．題型四：軌跡問題例10．（2023·江蘇南通·高二金沙中學?？茧A段練習）已知點和圓為圓上的動點.(1)求的中點的軌跡方程；(2)若，求線段中點的軌跡方程.例11．（2023·全國·高二專題練習）已知圓的圓心在軸上，并且過，兩點.(1)求圓的方程；(2)若為圓上任意一點，定點，點滿足，求點的軌跡方程.例12．（2023·高二課時練習）如圖，已知點A(-1，0)與點B(1，0)，C是圓x2+y2=1上異于A，B兩點的動點，連接BC并延長至D，使得|CD|=|BC|，求線段AC與OD的交點P的軌跡方程.變式6．（2023·全國·高二專題練習）在直角坐標系中，線段，且兩個端點、分別在軸和軸上滑動．求線段的中點的軌跡方程；變式7．（2023·高二課時練習）已知圓的方程是，則圓心的軌跡方程為.變式8．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，兩根桿分別繞著定點A和B（AB＝2a）在平面內(nèi)轉動，并且轉動時兩桿保持互相垂直，則桿的交點P的軌跡方程是.變式9．（2023·全國·高二專題練習）過點的直線與圓交于點B，則線段中點P的軌跡方程為.變式10．（2023·高二單元測試）在平面直角坐標系中，已知點，點在圓上運動，則線段AP的中點的軌跡方程是．變式11．（2023·全國·高二專題練習）點與兩個定點，的距離的比為，則點的軌跡方程為．變式12．（2023·全國·高二專題練習）為參數(shù)，圓的圓心的軌跡方程為．變式13．（2023·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）已知直線，，當任意的實數(shù)m變化時，直線與的交點的軌跡方程是．變式14．（2023·山東臨沂·高二統(tǒng)考期中）點為圓C：上一點，點B在圓C上運動，點M滿足．則點M的軌跡方程為．【方法技巧與總結】用直接法求曲線方程的步驟如下：（1）建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担帽硎拒壽E（曲線）上任一點的坐標；（2）列出關于的方程；（3）把方程化為最簡形式；（4）除去方程中的瑕點（即不符合題意的點）；（5）作答．題型五：二元二次曲線與圓的關系例13．（2023·高二課時練習）方程表示的圓過原點且圓心在直線上的條件是（

）A． B．C． D．例14．（2023·全國·高二專題練習）“”是“方程表示圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例15．（2023·全國·高二專題練習）方程表示圓，則實數(shù)a的可能取值為（

）A． B．2 C．0 D．變式15．（2023·陜西·高二?？茧A段練習）若方程表示圓，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式16．（2023·福建泉州·高二福建省南安市僑光中學?？茧A段練習）下列方程表示圓的是（

）A． B．C． D．變式17．（2023·全國·高二專題練習）已知表示的曲線是圓，則的值為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結】方程表示圓的充要條件是，故在解決圓的一般式方程的有關問題時，必須注意這一隱含條件．在圓的一般方程中，圓心為，半徑題型六：圓過定點例16．（2023·全國·高二專題練習）對任意實數(shù)，圓恒過定點，則定點坐標為．例17．（2023·全國·高二專題練習）若拋物線與坐標軸分別交于三個不同的點、、，則的外接圓恒過的定點坐標為例18．（2023·江蘇·高二?？茧A段練習）已知圓經(jīng)過，兩點.(1)當，并且是圓的直徑，求此時圓的標準方程；(2)如果是圓的直徑，證明：無論a取何正實數(shù)，圓恒經(jīng)過除外的另一個定點，求出這個定點坐標.變式18．（2023·高二課時練習）求證：對任意實數(shù)，動圓恒過兩定點.變式19．（2023·高二課時練習）已知點和以為圓心的圓.（1）求證：圓心在過點的定直線上，（2）當為何值時，以為直徑的圓過原點．變式20．（2023·遼寧大連·高二統(tǒng)考期中）對于任意實數(shù)，曲線恒過定點【方法技巧與總結】合并參數(shù)題型七：與圓有關的對稱問題例19．（2023·全國·高三專題練習）已知直線是圓的對稱軸，則的值為（

）A． B．C． D．例20．（2023·全國·高二專題練習）點M、N在圓上，且M、N兩點關于直線對稱，則圓C的半徑（

）A．最大值為 B．最小值為 C．最小值為 D．最大值為例21．（2023·全國·高二專題練習）已知圓關于直線為大于0的常數(shù)對稱，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．2變式21．（2023·全國·高三專題練習）已知圓關于直線對稱，則（

）A．0 B．1 C．2 D．4變式22．（2023·江蘇·高二專題練習）如果圓（）關于直線對稱，則有（

）．A．B．C．D．變式23．（2023·江蘇泰州·高二泰州市第二中學?？茧A段練習）若圓關于直線對稱，則直線l的斜率是（

）A．6 B． C． D．變式24．（2023·湖北荊門·高二荊門市東寶中學?？计谥校┮阎獔A：關于直線對稱的圓為圓：，則直線的方程為A． B． C． D．變式25．（2023·北京·高三北京交通大學附屬中學?？茧A段練習）已知、為圓上關于點對稱的兩點，則直線的方程為（

）．A． B． C． D．【方法技巧與總結】（1）圓的軸對稱性：圓關于直徑所在的直線對稱（2）圓關于點對稱：①求已知圓關于某點對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標準方程②兩圓關于某點對稱，則此點為兩圓圓心連線的中點（3）圓關于直線對稱：①求已知圓關于某條直線對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標準方程②兩圓關于某條直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線題型八：圓的實際應用例22．（2023·廣東廣州·高二廣州市第十六中學校考期中）如圖是一條過江行車隧道，橫截面是一圓拱形（圓拱形是取某一圓周的一部分構成巷道拱部的形狀），路面寬度米，拱高米．車輛只能在道路中心線一側行駛，一輛寬為米，高為米的貨車（可視為長方體）能否駛入這個隧道？請說明理由（參考數(shù)據(jù)：）．例23．（2023·全國·高二專題練習）如圖是一座類似于上海盧浦大橋的圓拱橋示意圖，該圓弧拱跨度為，圓拱的最高點離水面的高度為，橋面離水面的高度為.(1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求圓拱所在圓的方程；(2)求橋面在圓拱內(nèi)部分的長度.（結果精確到）例24．（2023·浙江湖州·高二統(tǒng)考期中）如圖，某海面有三個小島（小島可視為質(zhì)點，不計大?。瑣u在島正西方向距島千米處，島在島北偏西方向距島千米處．以為坐標原點，的正東方向為軸的正方向，千米為一個單位長度，建立平面直角坐標系．圓經(jīng)過,三點．(1)求圓的方程；(2)若圓區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一漁船在島的南偏東方向距島千米處，正沿著北偏西方向行駛，若不改變方向，試問該漁船是否有觸礁的危險？請說明理由．變式26．（2023·全國·高二專題練習）如圖是某圓拱形橋的示意圖，雨季時水面跨度AB為6米，拱高(圓拱最高點到水面的距離)為1米．旱季時水位下降了1米，則此時水面跨度增大到米．變式27．（2023·高二課時練習）如圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖.這個圖的圓拱跨度AB＝20m，拱高OP＝4m，建造時每間隔4m需要用一根支柱支撐，則支柱A2P2＝（參考數(shù)據(jù)：，，精確到）.變式28．（2023·浙江寧波·高二期末）如圖1，某圓拱形橋一孔圓拱的平面示意圖，已知圓拱跨度，拱高，建造時每間隔需要用一根支柱支撐，則支柱的高度等于m（精確到）．若建立如圖2所示的平面直角坐標系，則圓拱所在圓的標準方程是．（可用參考數(shù)據(jù)：．）【方法技巧與總結】解應用題的步驟(1)建模．(2)轉化為數(shù)學問題求解．(3)回歸實際問題，給出結論．一、單選題1．（2023·遼寧大連·高二大連八中?？计谥校按竽聼熤?，長河落日圓”體現(xiàn)了我國古代勞動人民對于圓的認知.已知，，則以為直徑的圓的方程為（

）A． B．C． D．2．（2023·江蘇宿遷·高二泗陽縣實驗高級中學校考階段練習）圓關于點對稱的圓的標準方程為（

）A． B．C． D．3．（2023·高二課時練習）若當方程所表示的圓取得最大面積時，則直線的傾斜角（

）A． B．C． D．4．（2023·全國·高二專題練習）已知半徑為3的圓的圓心與點關于直線對稱，則圓的標準方程為（

）A． B．C． D．5．（2023·安徽馬鞍山·高二校聯(lián)考期中）若直線：平分圓：的面積，則的最小值為（

）．A．8 B． C．4 D．66．（2023·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中）“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”是唐代詩人李頎《古從軍行》這首詩的開頭兩句．詩中隱含著一個數(shù)學問題——“將軍飲馬”：即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短?在平面直角坐標系中，設軍營所在區(qū)域為，若將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)域即回到軍營，那么“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A．10 B．9 C．8 D．77．（2023·甘肅·高二校聯(lián)考期中）點與圓上任一點連線的中點的軌跡方程是（

）.A． B．C． D．8．（2023·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系Oxy中，A為直線l：上在第一象限內(nèi)的點，，以AB為徑的圓C與直線交于另一點.若，則A點的橫坐標為（

）A． B．3 C．3或 D．2二、多選題9．（2023·江蘇鹽城·高二鹽城中學?？茧A段練習）已知動直線：和：，是兩直線的交點，、是兩直線和分別過的定點，下列說法正確的是（

）A．點的坐標為 B．C．的最大值為10 D．的軌跡方程為10．（2023·高二單元測試）設有一組圓：，下列命題正確的是（

）A．不論如何變化，圓心始終在一條直線上B．所有圓均不經(jīng)過點C．經(jīng)過點的圓有且只有一個D．所有圓的面積均為11．（2023·全國·高二專題練習）已知曲線（

）A．若，則C是圓B．若，，則C是圓C．若，，則C是直線D．若，，則C是直線12．（2023·全國·高二專題練習）已知圓關于直線對稱，則下列結論正確的是（