動(dòng)力系統(tǒng)中李雅普奢長指數(shù)的malab分析

1lyapunom指數(shù)12和3132lyapovch指數(shù)是衡量系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的重要量化指標(biāo)，它表示系統(tǒng)在相室中相鄰軌道之間的收斂和發(fā)散的平均指數(shù)率。對(duì)于系統(tǒng)是否存在動(dòng)力學(xué)混沌,可以從最大Lyapunov指數(shù)是否大于零非常直觀的判斷出來:一個(gè)正的Lyapunov指數(shù),意味著在系統(tǒng)相空間中,無論初始兩條軌線的間距多么小,其差別都會(huì)隨著時(shí)間的演化而成指數(shù)率的增加以致達(dá)到無法預(yù)測,這就是混沌現(xiàn)象?？紤]一個(gè)n個(gè)變量的動(dòng)力系統(tǒng)。選一個(gè)點(diǎn),并取一個(gè)中心在該點(diǎn)的一個(gè)小的n維的球,隨著時(shí)間的增加,球?qū)⒆冃纬蔀橐粋€(gè)近似的橢球;在球的初始直徑趨向于零的極限情況下,映像保持與橢球相同的時(shí)間將趨向于無窮大。在一次迭代中(對(duì)于映射來說)或一個(gè)時(shí)間單位中(對(duì)于流來說)橢球的軸長增加的倍數(shù)的長期平均值,稱為Lyapunov數(shù),其對(duì)數(shù)稱為Lyapunov指數(shù)。也就是說,如果最后橢球的一個(gè)軸按eλt迅速地增加或減少,那么,相應(yīng)的Lyapunov指數(shù)就是λ。通常Lyapunov指數(shù)從大到小排列,即λ1≥…≥λn。如果要Lyapunov指數(shù)具有該系統(tǒng)的特征,那么應(yīng)該避開對(duì)原點(diǎn)的某些選擇。這些點(diǎn)包括不穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)和在不穩(wěn)定周期解上的點(diǎn)。如果有幾個(gè)吸引子,那么分離的吸引域就可以有分離的Lyapunov指數(shù)集。對(duì)于Hamilton系統(tǒng),其混沌海和周期解有不同的Lyapunov指數(shù)。Lyapunov指數(shù)的和表征了橢球體積的增長率或減小率,對(duì)Hamilton系統(tǒng),Lyapunov指數(shù)的和為零;對(duì)耗散系統(tǒng),Lyapunov指數(shù)的和為負(fù)。如果耗散系統(tǒng)的吸引子是一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),那么所有的Lyapunov指數(shù)通常是負(fù)的。如果是一個(gè)簡單的m維流形(m=1或m=2分別為一個(gè)曲線或一個(gè)面),那么,前m個(gè)Lyapunov指數(shù)是零,其余的Lyapunov指數(shù)為負(fù)。不管系統(tǒng)是不是耗散的,只要λ1>0就會(huì)出現(xiàn)混沌?？紤]一個(gè)包含吸引子的n維盒子。前k個(gè)Lyapunov指數(shù)的和λ1+…+λk表征了體積的增長率或減小率(k=1或k=2分別表征長度或面積的增長率或減小率),這里的體積是指一個(gè)無窮小的橢球在盒子的k維表面上的投影。因此,如果λ1>0則一個(gè)有限小的橢球在盒子的一個(gè)邊緣上的投影將不斷增長,直到這一已經(jīng)嚴(yán)重變形的橢球上的幾個(gè)點(diǎn)投影到同一點(diǎn)時(shí),也即直到投影自身重疊時(shí)為止。此外,如果還有λ1+λ2<0,那么在一個(gè)兩維面上的投影將縮小,這時(shí),吸引子可以視為是曲線的一個(gè)子集組成的,而沒有面出現(xiàn)。不管是否有λ2>0只要λ1+λ2>0和λ1+λ2+λ3<0,則在一個(gè)二維面上的投影的面積將連續(xù)地增長一直到折疊發(fā)生為止。而在一個(gè)三維面上投影的體積將連續(xù)地縮小,并且吸引子可以視為是由曲面的一個(gè)子集組成的。更一般地說,如果λ1+…+λk>0,但λ1+…+λk+1<0,那么吸引子應(yīng)由k維流形的一個(gè)子集組成。利用相關(guān)的Lyapunov指數(shù),J.Kaplan和J.Yorke給出了一個(gè)吸引子的分?jǐn)?shù)維公式。設(shè)λ1+…+λk≥0和λ1+…+λk+1<0,這意味著λk+1<0,則分?jǐn)?shù)維公式是d=k+(λ1+…+λk)/|λk+1|(1)對(duì)一些簡單的系統(tǒng),可以證明d與容量維數(shù)相等,對(duì)比較復(fù)雜的系統(tǒng),它沒有嚴(yán)格的公式,但上述公式中的d可看作是維數(shù)的一個(gè)可供選擇的定義。2基于力學(xué)性能的案例中,有以下四種定義一:稱λ(x0)=ˉlimn→∞1nln|dfn(x0)dx|(2)λ(x0)=limˉˉˉˉˉn→∞1nln∣∣dfn(x0)dx∣∣(2)為一維離散映射xn+1=f(xn)(3)的Lyapunov指數(shù),其中f∈C1[α,β],x0是初值。由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t,λ(x0)=ˉlimn→∞1nn-1∑i=0ln|f′(xi)|(4)其中x1=f(x0),xi=f(xi-1)。定義二:考慮一個(gè)由N個(gè)一階自治微分方程組描述的運(yùn)動(dòng):˙x=F(x)x∈RΝ(5)初始條件x(0)=x0。則式(5)的解x(t)=Ttx0(6)式(5)的線性化方程δ˙x=?F?x(Τtx0)δx(7)式(7)的解δx(t)=Utx0δx0(8)其中方程(7)的基本矩陣Utx0滿足Ut+sx0=UtΤsx0。Usx0(9)計(jì)算下列的量λ(ek,x0)=limt→∞1tln∥Utx0e1∧Utx0e2∧?∧Utx0ek∥∥e1∧e2∧?∧ek∥(k=1,2,?,Ν)(10)式中∧表示矢積。ek是k維子空間在x0的切空間Ex0,{ei}(i=1,2,…,k)是ek的一組基。式(10)稱為k維Lyapunov指數(shù)。有下列特點(diǎn)①一維Lyapunov指數(shù)λ(e1,x0),即(λi)1≤i≤N,假定λ1≥λ2≥…≥λN。②k維Lyapunov指數(shù)λ(ek,x0),以N=3為例說明如下λ(e1,x0)∈{λ1,λ2,λ3}λ(e2,x0)∈{λ1+λ2,λ2+λ3,λ3+λ1}λ(e3,x)∈{λ1+λ2+λ3}③基{ei}(i=1,2,…,N)的選擇是在切空間中隨機(jī)地選取的,初始條件x0也是在曲線上隨機(jī)地選取的,可見Lyapunov指數(shù)是長期平均的結(jié)果,與{ei}和x0的選擇無關(guān)。3維主要情形下的lyapunom指數(shù)2,3對(duì)于一維(單變量)情形,吸引子只可能是不動(dòng)點(diǎn)(穩(wěn)定定態(tài))。此時(shí)λ是負(fù)的。對(duì)于二維情形,吸引子或者是不動(dòng)點(diǎn)或者是極限環(huán)。對(duì)于不動(dòng)點(diǎn),任意方向的δxi,都要收縮,故這時(shí)兩個(gè)Lyapunov指數(shù)都應(yīng)該是負(fù)的,即對(duì)于不動(dòng)點(diǎn),(λ1,λ2)=(-,-)。至于極限環(huán),如果取δxi始終是垂直于環(huán)線的方向,它一定要收縮,此時(shí)λ<0;當(dāng)取δxi沿軌道切線方向,它既不增大也不縮小,可以想像,這時(shí)λ=0。事實(shí)上,所有不終止于定點(diǎn)而又有界的軌道(或吸引子)都至少有一個(gè)Lyapunov指數(shù)等于零,它表示沿軌線的切線方向既無擴(kuò)展又無收縮的趨勢。所以極限環(huán)的Lyapunov指數(shù)是(λ1,λ2)=(0,-)。在三維情形下有(λ1,λ2,λ3)=(-,-,-):穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn);(λ1,λ2,λ3)=(0,-,-):極限環(huán);(λ1,λ2,λ3)=(0,0,-):二維環(huán)面;(λ1,λ2,λ3)=(+,+,0):不穩(wěn)極限環(huán);(λ1,λ2,λ3)=(+,0,0):不穩(wěn)二維環(huán)面;(λ1,λ2,λ3)=(+,0,-):奇怪吸引子。4例子4.1lyapunom指數(shù)1xn+1=a(1-xn)xn(11)其中,xn∈,a∈。Lyapunov指數(shù)經(jīng)過零的情形有四種:在跨臨界分岔點(diǎn)(a=1),由負(fù)值接近零再變?yōu)樨?fù)值;在倍周期分岔點(diǎn):由負(fù)值接近零再變?yōu)樨?fù)值;在切分岔處,由正值接近零再變?yōu)樨?fù)值;在倍周期分岔序列的極限點(diǎn),由負(fù)值接近零再變?yōu)檎?。因此Lyapunov指數(shù)為零的點(diǎn)必為分叉點(diǎn)。分岔點(diǎn)即原周期解的失穩(wěn)點(diǎn),并在該點(diǎn)產(chǎn)生新的不同周期的周期解。見圖1。求解Logistic映射Lyapunov指數(shù)的Matlab程序如下:4.2參數(shù)a對(duì)henon映射的影響T:xn+1=1-ax2n+ynyn+1=bxn(12)其中,xn∈,yn∈Jacobie矩陣j=(-2axn1b0)(13)Jacobie行列式|J|=-b(14)當(dāng)b=±1時(shí),Henon映射是保守的;當(dāng)b∈(-∞,-1)∪(1,+∞)時(shí),Henon映射是發(fā)散的;b∈[-1,+1]時(shí),Henon映射是耗散的。圖2(a)是Henon映射隨參數(shù)a變化的分岔圖(a∈[0,1.4],b=0.3)?？梢钥闯?Henon映射同樣具有一維映射的非線性特征隨參數(shù)a呈現(xiàn)倍周期分岔進(jìn)入混沌。圖2(b)是Henon映射的二個(gè)Lyapunov指數(shù)λ1,λ2隨參數(shù)a的變化。4.3隨參數(shù)的r變化分岔圖{˙x=σ(y-x)˙y=x(r-z)-y˙z=xy-bz(15)圖3(a)是Lorenz方程隨參數(shù)r變化的分岔圖(σ=10,b=8/3,r∈)。我們?nèi)∠到y(tǒng)相圖落在z平面上的投影與x=y相交的部分,可以看出,Lorenz方程隨參數(shù)r呈現(xiàn)逆向倍周期分岔,第一次倍周期分岔發(fā)生r≈310在處。圖3(b)是Lorenz方程的三個(gè)Lyapunov指數(shù)λ1,λ2,λ3隨參數(shù)r的變化。5lyapunov指數(shù)ls應(yīng)當(dāng)指出,雖然Lyapunov指數(shù)與Lyapunov矩陣本征值都是把方程線性化后才得到的,但兩者卻有重要的區(qū)別。Lyapunov矩陣本征值由相空間局部的性質(zhì)決定的,其值一般是復(fù)數(shù);Lyapunov指數(shù)雖也是線性方程導(dǎo)出的,表面上它似乎也是局部量,但是從它的定義式可知,它是沿軌道長期平均的結(jié)果,即已計(jì)入軌道上所有各點(diǎn)的局部影響,因此它實(shí)質(zhì)上是一整體量,而且從其定義也可知其值總是實(shí)數(shù)。Lyapunov指數(shù)與吸引子有如下關(guān)系:1)任何吸引子,