11空間幾何體的結構教案11空間幾何體的結構

教案

必修二1.1空間幾何體的結構（教案）

一、目標認知

學習目標：

1．學問與技能

(1)通過實物操作，增加直觀感知.

(2)能依據(jù)幾何結構特征對空間物體進行分類.

(3)會用語言概述棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、棱臺、圓臺、球的結構特征.

(4)會表示有關于幾何體以及柱、錐、臺的分類.

2．過程與方法

(1)通過直觀感受空間物體，從實物中概括出柱、錐、臺、球的幾何結構特征.

(2)觀看、爭論、歸納、概括所學的學問.

3．情感態(tài)度與價值觀

(1)感受空間幾何體存在于現(xiàn)實生活四周，增加學習的樂觀性，同時提高觀看力量.

(2)培育空間想象力量和抽象括力量.

重點：

通過空間實物及模型，概括出柱、錐、臺、球的結構特征

難點：

對柱、錐、臺、球結構特征的概括和理解.

二、學問要點梳理

學問點一：棱柱的結構特征

1、定義：一般地，有兩個面相互平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都相互平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱．在棱柱中，兩個相互平行的面叫做棱柱的底面，簡稱底；其余各面叫做棱柱的側面；相鄰側面的公共邊叫做棱柱的側棱．側面與底的公共頂點叫做棱柱的頂點．棱柱中不在同一平面上的兩個頂點的連線叫做棱柱的對角線．過不相鄰的兩條側棱所形成的面叫做棱柱的對角面．

2、棱柱的分類：底面是三角形、四邊形、五邊形、……的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……

3、棱柱的表示方法：

①用表示底面的各頂點的字母表示棱柱，如下圖，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分別表示為

、、；

②用棱柱的對角線表示棱柱，如上圖，四棱柱可以表示為棱柱或棱柱等；五棱

柱可表示為棱柱、棱柱等；六棱柱可表示為棱柱、棱柱、棱柱等．

4、棱柱的性質(zhì)：棱柱的側棱相互平行.

學問點二：棱錐的結構特征

1、定義：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐．這個多邊形面叫做棱錐的底面．有公共頂點的各個三角形叫做棱錐的側面．各側面的公共頂點叫做棱錐的頂點．相鄰側面的公共邊叫做棱錐的側棱；

2、棱錐的分類：按底面多邊形的邊數(shù)，可以分為三棱錐、四棱錐、五棱錐……；

3、棱錐的表示方法：用表示頂點和底面的字母表示，如四棱錐；

學問點三：圓柱的結構特征

1、定義：以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱．旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸．垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的底面．平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側面．無論旋轉(zhuǎn)到什么位置不垂直于軸的邊都叫做圓柱的母線．

2、圓柱的表示方法：用表示它的軸的字母表示，如圓柱

學問點四：圓錐的結構特征

1、定義：以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋

轉(zhuǎn)而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐．旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸．

垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的底面．不垂直于軸的邊旋

轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的側面．無論旋轉(zhuǎn)到什么位置不垂直于軸的邊都叫做圓錐的母

線．

2、圓錐的表示方法：用表示它的軸的字母表示，如圓錐．

學問點五：棱臺和圓臺的結構特征

１、定義：用一個平行于棱錐(圓錐)底面的平面去截棱錐(圓錐)，底面和截面之間的部分叫做棱臺(圓臺)；原棱錐(圓錐)的底面和截面分別叫做棱臺(圓臺)的下底面

和上底面；原棱錐(圓錐)的側面被截去后剩余的曲面叫做棱臺(圓臺)的側面；

原棱錐的側棱被平面截去后剩余的部分叫做棱臺的側棱；原圓錐的母線被平面

截去后剩余的部分叫做圓臺的母線；棱臺的側面與底面的公共頂點叫做棱臺的

頂點；圓臺可以看做由直角梯形繞直角邊旋轉(zhuǎn)而成，因此旋轉(zhuǎn)的軸叫做圓臺的

軸.

2、棱臺的表示方法：用各頂點表示，如四棱臺

；

3、圓臺的表示方法：用表示軸的字母表示，如圓臺

；

注：圓臺可以看做由圓錐截得，也可以看做是由直角梯形繞其直角邊旋轉(zhuǎn)而成.

學問點六：球的結構特征

1、定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一

周形成的幾何體叫做球體，簡稱球.半圓的半徑叫做球的半徑.半圓的圓心叫做

球心.半圓的直徑叫做球的直徑.

2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O.

學問點七：特別的棱柱、棱錐、棱臺

特別的棱柱：側棱不垂直于底面的棱柱稱為斜棱柱；垂直

于底面的棱柱稱為直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的

直棱柱叫做長方體；棱長都相等的長方體叫做正方體；

特別的棱錐：假如棱錐的底面是正多邊形，且各側面是全

等的等腰三角形，那么這樣的棱錐稱為正棱錐；側棱長等于底面邊長的正三棱錐又稱為正四周體；

特別的棱臺：由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺；

注：簡潔幾何體的分類如下表：

學問點八：簡潔組合體的結構特征

1、組合體的基本形式：①由簡潔幾何體拼接而成的簡潔組合體；②由簡潔幾何體截去或挖去一部分而成的幾何體；

2、常見的組合體有三種：①多面體與多面體的組合；②多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合；③旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合.

學問點九：中心投影與平行投影

1、投影、投影線和投影面：由于光的照耀，在不透亮?????物體后面的屏幕上會留下這個物體的影子，這種現(xiàn)象叫做投影，其中光線叫做投影線，屏幕叫做投影面.

2、中心投影：把光由一點向外散射形成的投影叫做中心投影.

3、中心投影的性質(zhì)：①中心投影的投影線交于一點；②點光源距離物體越近，投影形成的影子越大.

4、平行投影：把一束平行光線照耀下形成的投影叫做平行投影，投影線正對著投影面時叫做正投影，否則叫做斜投影.

5、平行投影的性質(zhì)：平行投影的投影線相互平行.

學問點十：常見幾何體的三視圖：

1、圓柱的正視圖和側視圖是全等的矩形，俯視圖為圓；

2、圓錐的正視圖和側視圖是三角形，俯視圖為圓和圓心；

3、圓臺的正視圖和側視圖都是等腰梯形，俯視圖為兩個同心圓；

4、球的三視圖都是圓.

注：

1、三視圖的排列方法是側視圖在正視圖的右邊；俯視圖在正視圖的下面；

2、一個幾何體的側視圖和正視圖高度一樣，俯視圖和正視圖的長度一樣，側視圖和俯

視圖的寬度一樣，即：長對正，高平齊，寬相等.

三、規(guī)律方法指導：

1．依據(jù)幾何體特征的描述推斷幾何體外形

(1)依據(jù)幾何體的結構特點推斷幾何體的類型，首先要嫻熟把握各類幾何體的概念，把握好各類幾何體的性質(zhì)，其次要有肯定的空間想象力量．

(2)圓柱、圓錐、圓臺可以看做是分別以矩形的一邊、直角三角形的始終角邊、直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面所圍成的幾何體．其軸截面分別是矩形、等腰三角形、等腰梯形，這些軸截面集中反映了旋轉(zhuǎn)體的各主要元素，處理旋轉(zhuǎn)體的有關問題一般要作出軸截面．2．幾何體中的計算問題

幾何體的有關計算中要留意下列方法與技巧：

(1)在正棱錐中，要把握正棱錐的高、側面、等腰三角形中的斜高及高與側棱所構成的兩個直角三角形，有關證明及運算往往與兩者相關．

(2)正四棱臺中要把握其對角面與側面兩個等腰梯形中關于上、下底及梯形高的計算，有關問題往往要轉(zhuǎn)化到這兩個等腰梯形中．另外要能夠?qū)⒄睦馀_、正三棱臺中的高與其斜高、側棱在合適的平面圖形中聯(lián)系起來．

(3)討論圓柱、圓錐、圓臺等問題的主要方法是討論它們的軸截面，這是由于在軸截面中，易找到所需有關元素之間的位置、數(shù)量關系．

(4)圓柱、圓錐、圓臺的側面綻開是把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題處理的重要手段之一．

(5)圓臺問題有時需要還原為圓錐問題來解決．

(6)關于球的問題中的計算，常作球的一個大圓，化"球"為"圓"，應用平面幾何的有關學問解決；關于球與多面體的切接問題，要恰當?shù)剡x取截面，化"空間"為平面．

經(jīng)典例題透析：

類型一：概念推斷

1、假如兩個面相互平行，其余各面均為四邊形的幾何體肯定是棱

柱．這種說法是否正確？假如正確說明理由；假如不正確，舉出反例．

思路點撥：推斷一個幾何體是哪幾種幾何體，肯定要緊扣住柱、錐、

臺、球的結構特征，留意定義中的特別字眼.棱柱的結構特征有三方面：有兩

個面相互平行；其余各面是平行四邊形；這些平行四邊形中，相鄰兩個面的

公共邊都相互平行.當一個幾何體同時滿意這三方面的結構特征時，這個幾何

體才是棱柱.

解析：不正確．如圖所示的幾何體是由兩個底面相等的四棱柱組合而成，它有兩個面相互平行，其余各面都是平行四邊形，但是明顯它不是棱柱．

舉一反三：

假如一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體肯定是棱錐．這種說法是否正確？假如正確說明理由；假如不正確，舉出反例．

解析：不正確．如圖所示的幾何體由兩個底面相等的四棱錐組合而成，它有一個面是四邊形，其余各面都