第4章 頻率域濾波

——圖像的頻域分析頻率域濾波頻率域平滑（低通）濾波器頻率域銳化（高通）濾波器4.1 背景知識圖像的變換域分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：將空域中的信號（圖像）變換到另外一個域（頻域），即使用該域中的一組單位正交基函數(shù)（相同基函數(shù)內(nèi)積為1，不同基函數(shù)的內(nèi)積為0）的線性組合來表示任意函數(shù)使用這組基函數(shù)的線性組合得到任意函數(shù)f，每個基函數(shù)的系數(shù)就是f與該基函數(shù)的內(nèi)積圖像變換的目的使圖像處理問題簡化；有利于圖像特征提取；有助于從概念上增強對圖像信息的理解；圖像變換通常是一種二維正交變換。一般要求：1.正交變換必須是可逆的；2.正變換和反變換的算法不能太復(fù)雜；3.正交變換的特點是在變換域中圖像能量將集中分布在低頻率成分上，邊緣、線狀信息反映在高頻率成分上，有利于圖像處理因此正交變換廣泛應(yīng)用在圖像增強、圖像恢復(fù)、特征提取、圖像壓縮編碼和形狀分析等方面4.2傅里葉變換(一種正交變換)從純粹的數(shù)學(xué)意義上看，傅立葉變換是將一個函數(shù)轉(zhuǎn)換為一系列周期函數(shù)（正、余弦函數(shù)）來處理的。從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域為什么要在頻率域研究圖像?

可以利用頻率成分和圖像外表之間的對應(yīng)關(guān)系。一些在空間域表述困難的增強任務(wù)，在頻率域中變得非常普通

濾波在頻率域更為直觀，它可以解釋空間域濾波的某些性質(zhì)

給出一個問題，尋找某個濾波器解決該問題，頻率域處理對于試驗、迅速而全面地控制濾波器參數(shù)是一個理想工具

一旦找到一個特殊應(yīng)用的濾波器，通常在空間域用硬件實現(xiàn)圖像的頻率指什么？圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標(biāo)，是灰度在平面空間上的梯度。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區(qū)域，對應(yīng)的頻率值很低；而對于地表屬性變換劇烈的邊緣區(qū)域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區(qū)域，對應(yīng)的頻率值較高。

傅里葉變換及其反變換傅里葉變換的性質(zhì)快速傅里葉變換（FFT）一維傅里葉變換對

一維連續(xù)函數(shù)的傅里葉變換對定義為離散形式（DFT）：傅里葉變換傅里葉變換的極坐標(biāo)表示

幅度或頻率譜為

相角或相位譜為功率譜（譜密度）為

4.5.5 二維傅里葉變換對

二維離散函數(shù)的傅里葉變換對DFT定義為：注：u和v是圖像的頻率變量，x和y是圖像的空域變量這說明：在原點的傅里葉變換和圖像的平均灰度成正比直流份量4.6 二維離散傅里葉變換的性質(zhì)4.6.1 空間域抽樣間隔和頻域間隔之間的關(guān)系：4.6.2傅里葉變換對的平移和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)特性：

得到

引入極坐標(biāo)原圖像及其傅里葉變換旋轉(zhuǎn)后圖像及其傅里葉變換4.6 二維離散傅里葉變換的性質(zhì)4.6.3 周期性：

F

u,v

F

u

M,v

F

u,v

N

F

u

M,v

N

f

x,y

f

x

M,y

f

x,y

N

f

x

M,y

N

上述公式表明盡管F(u,v)對無窮多個u和v的值重復(fù)出現(xiàn)，但只需根據(jù)在任一個周期里的N個值就可以從F(u,v)得到f(x,y)只需一個周期里的變換就可將F(u,v)在頻域里完全確定同樣的結(jié)論對f(x,y)在空域也成立說明：（4.6－8）將F(u,v)的原點(0,0)變換到頻率坐標(biāo)下的(M/2，N/2)，它是M×N區(qū)域的中心（M、N為偶數(shù)）。這樣，在區(qū)域[0,M-1]([0,N-1])內(nèi)就包含了數(shù)據(jù)的一個完整周期。（見圖4.23(c)、(d)）的原點變換： 4.6 二維離散傅里葉變換的性質(zhì)說明：上式將F(u)的原點變換到(M/2)處。這樣，在區(qū)間[0,M-1]內(nèi)就包含了數(shù)據(jù)的一個完整周期。（見圖4.23(a)、(b)）4.6 二維離散傅里葉變換的性質(zhì)4.6.4 對稱性：共軛對稱性

共軛對稱（實部相等,虛部互為相反數(shù)）的，即

傅里葉變換的頻率譜是關(guān)于原點偶對稱的 如果f(x,y)是實函數(shù)，它的傅里葉變換是復(fù)習(xí)：當(dāng)兩個復(fù)數(shù)實部相等,虛部互為相反數(shù)時,這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).4.6 二維離散傅里葉變換的性質(zhì) 其他性質(zhì)：尺度變換（縮放）及線性性a)ImageA;

b)ImageB;c)0.25*A+0.75*Ba)spectrumA;b)spectrumB;c)0.25*A+0.75*B4.6 二維離散傅里葉變換的性質(zhì)4.6.5 二維傅里葉譜和相角：

幅度或頻率譜為

相角或相位譜為功率譜為

二維傅里葉變換的極坐標(biāo)表示4.6 二維離散傅里葉變換的性質(zhì)4.6.6 二維卷積定理：

大小為M×N的兩個函數(shù)f(x,y)和h(x,y)的離散（循環(huán)）卷積卷積定理計算空間循環(huán)卷積時，要對圖像補0以使進行卷積運算的兩圖像尺寸相同。4.6 二維離散傅里葉變換的性質(zhì) 二維相關(guān)定理：

大小為M×N的兩個函數(shù)f(x,y)和h(x,y)的相關(guān)系數(shù)：相關(guān)定理

自相關(guān)理論注：復(fù)數(shù)和它的復(fù)共軛的乘積是復(fù)數(shù)模的平方

卷積和相關(guān)性理論總結(jié)卷積是空間域過濾和頻率域過濾之間的紐帶相關(guān)的重要應(yīng)用在于匹配：確定是否有感興趣的物體區(qū)域例f(x,y)是原始圖像，h(x,y)作為感興趣的物體或區(qū)域（模板）如果匹配，兩個函數(shù)的相關(guān)值會在h找到f中相應(yīng)點的位置上達到最大相關(guān)性匹配舉例延拓圖像f(x,y)延拓圖像h(x,y)通過相關(guān)，圖像最大值的水平灰度剖面圖兩個大小不等的圖像作循環(huán)卷積或相關(guān)運算時，需先將兩圖像進行周期延拓后再運算！例：f(x,y):A×Bh(x,y):C×D 延拓周期：x方向：P=A+C-1y方向：Q=B+D-1

頻域計算卷積的框圖

頻域計算相關(guān)的框圖4.11二維DFT的實現(xiàn)4.11.1二維DFT的可分離性：沿著f(x,y)的一行所進行的傅里葉變換。

先通過沿輸入圖像的每一行計算一維變換再沿中間結(jié)果的每一列計算一維變換可以改變上述順序，即先列后行上述相似的過程也可以計算二維傅里葉反變換4.11二維DFT的實現(xiàn)4.11.2用DFT計算IDFT：圖像傅立葉變換的物理意義傅立葉變換以前，圖像（未壓縮的位圖）是由對在連續(xù)空間（現(xiàn)實空間）上的采樣得到一系列點的集合，我們習(xí)慣用一個二維矩陣表示空間上各點，則圖像可由z=f(x,y)來表示。由于空間是三維的，圖像是二維的，因此空間中物體在另一個維度上的關(guān)系就由梯度來表示，這樣我們可以通過觀察圖像得知物體在三維空間中的對應(yīng)關(guān)系。為什么要提及梯度？因為實際上對圖像進行二維傅立葉變換得到頻譜圖|F(u,v)|～(u,v)，就是圖像梯度的分布圖，當(dāng)然頻譜圖上的各點與圖像上各點并不存在一一對應(yīng)的關(guān)系，即使在不移頻的情況下也是沒有。傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點，實際上圖像上某一點灰度值與鄰域點差異的強弱，即梯度的大小，也叫該點(u,v)的頻率的大?。梢赃@么理解，圖像中的低頻部分指低梯度的點，高頻部分相反）。一般來講，梯度大則該點的亮度強，否則該點亮度弱。這樣通過觀察傅立葉變換后的頻譜圖，也叫功率圖就可分析原始圖像中灰度的變化情況。例4.2從譜圖像