湖南省衡陽(yáng)市夏明翰中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（

）A． B． C．(－∞,－2] D．(－∞,－3]參考答案：D題意即為對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，從而求，的最小值，而，故，即．當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，方程在內(nèi)有根，故，所以，故選D．2.已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則z=的最大值為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】利用分式函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為直線的斜率，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【解答】解：由約束條件得到可行域如圖：則z==3﹣，則z的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)M（﹣1，﹣1）的斜率的最小值的相反數(shù)與3的和，由圖象可知區(qū)域邊界點(diǎn)A（1.5，2）連接的直線斜率最小為，所以z的最大值為3﹣=；故選：A．3.函數(shù)（）的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則的增區(qū)間（

）A．

B．C．

D．參考答案：C4.（5分）（2015?淄博一模）函數(shù)y=的圖象大致是（）A．B．C．D．參考答案：A【考點(diǎn)】：函數(shù)的圖象．【專(zhuān)題】：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】：由f（﹣x）==﹣f（x）知函數(shù)為奇函數(shù)，圖象應(yīng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，排除BC，再研究函數(shù)x﹣sinx單調(diào)性選出答案．解：f（﹣x）==﹣f（x），故函數(shù)為奇函數(shù)，圖象應(yīng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，排除BC，∵（x﹣sinx）′=1﹣cosx≥0，∴當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)x﹣sinx單調(diào)遞增，故單調(diào)遞減，D不符合，A符合，故選：A【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)于函數(shù)圖象的選擇題，可結(jié)合排除法與函數(shù)的性質(zhì)，靈活解題．5.已知非零向量、滿足，那么向量與向量的夾角為A．

B．

C．

D．參考答案：C略6.把曲線先沿x軸向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿y軸向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線方程是（

）A

B.

C.D.參考答案：C略7.已知集合，，若集合有且僅有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 A.

B.

C.

D.參考答案：B略8.將函數(shù)的圖象左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，所得圖象的函數(shù)解析式是A．

B．C．

D．參考答案：A9.在數(shù)列中，，則（

）A．

B．

C．0

D．參考答案：D10.不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)

B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C．[1,2]

D．(－∞，1]∪[2，＋∞)參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長(zhǎng)為的兩個(gè)全等的等腰直角三角形，則該幾何體的表面積是 。參考答案：12.已知函數(shù)（，）的圖象如圖所示，其中，，則函數(shù)

．參考答案：依題意，，解得：，故，將點(diǎn)A帶入，得：，解得：.故答案為：

13.若不等式恒成立，則a的取值范圍是__________．參考答案：14.已如x，y滿足且目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為7，則最小值為

．參考答案：215.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,且其側(cè)視圖是一個(gè)等邊三角形,則這個(gè)幾何的體積為_(kāi)______________。參考答案：16.已知（為虛數(shù)單位）是一元二次方程(均為實(shí)數(shù))的一個(gè)根，則=__________.參考答案：19略17.（5分）直線y=x被圓x2+（y﹣2）2=4截得的弦長(zhǎng)為．參考答案：【考點(diǎn)】：直線與圓相交的性質(zhì)．【專(zhuān)題】：直線與圓．【分析】：確定圓的圓心坐標(biāo)與半徑，求得圓心到直線y=x的距離，利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形，即可求得弦長(zhǎng)．解：圓x2+（y﹣2）2=4的圓心坐標(biāo)為（0，2），半徑為2∵圓心到直線y=x的距離為∴直線y=x被圓x2+（y﹣2）2=4截得的弦長(zhǎng)為2=故答案為：【點(diǎn)評(píng)】：本題考查直線與圓相交，考查圓的弦長(zhǎng)，解題的關(guān)鍵是求得圓心到直線y=x的距離，利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形求得弦長(zhǎng)．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）試問(wèn)過(guò)點(diǎn)可作多少條直線與曲線相切?請(qǐng)說(shuō)明理由參考答案：所以與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以過(guò)點(diǎn)可作2條直線與曲線相切。………12分19.在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足，

．

（I）求sinA

（II）求的面積．參考答案：解：解析：（Ⅰ）

又，，（II），所以，所以的面積為：略20.（14分）已知集合Rn={X|X=（x1，x2，…，xn），xi∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）．對(duì)于A=（a1，a2，…，an）∈Rn，B=（b1，b2，…，bn）∈Rn，定義A與B之間的距離為d（A，B）=|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…|an﹣bn|=．（Ⅰ）寫(xiě)出R2中的所有元素，并求兩元素間的距離的最大值；（Ⅱ）若集合M滿足：M?R3，且任意兩元素間的距離均為2，求集合M中元素個(gè)數(shù)的最大值并寫(xiě)出此時(shí)的集合M；（Ⅲ）設(shè)集合P?Rn，P中有m（m≥2）個(gè)元素，記P中所有兩元素間的距離的平均值為，證明．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義；集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）根據(jù)集合的定義，寫(xiě)出R2中的所有元素，并求兩元素間的距離的最大值；（Ⅱ）R3中含有8個(gè)元素，可將其看成正方體的8個(gè)頂點(diǎn)，已知集合M中的元素所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，應(yīng)該兩兩位于該正方體面對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)，即可求集合M中元素個(gè)數(shù)的最大值并寫(xiě)出此時(shí)的集合M；（Ⅲ），其中表示P中所有兩個(gè)元素間距離的總和，根據(jù)，即可證明結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）R2={（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}，A，B∈R2，d（A，B）max=2．（Ⅱ）R3中含有8個(gè)元素，可將其看成正方體的8個(gè)頂點(diǎn)，已知集合M中的元素所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，應(yīng)該兩兩位于該正方體面對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)，所以M={（0，0，0），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}或M={（0，0，1），（0，1，0），（1，0，0），（1，1，1）}，集合M中元素個(gè)數(shù)最大值為4．（Ⅲ），其中表示P中所有兩個(gè)元素間距離的總和．設(shè)P中所有元素的第i個(gè)位置的數(shù)字中共有ti個(gè)1，m﹣ti個(gè)0，則由于（i=1，2，…，n）所以從而【點(diǎn)評(píng)】本題考查新定義，考查函數(shù)的最值，考查集合知識(shí)，難度大．21.提高立交橋的車(chē)輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況。在一般情況下，立交橋上的車(chē)流速度（單位：千米/小時(shí)）是車(chē)流密度（單位：輛/千米）的函數(shù)。當(dāng)橋上的車(chē)流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車(chē)流速度為0；當(dāng)車(chē)流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí)，車(chē)流速度為60千米/小時(shí)，研究表明；當(dāng)時(shí)，車(chē)流速度是車(chē)流密度的一次函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的表達(dá)式；（Ⅱ）當(dāng)車(chē)流密度為多大時(shí)，車(chē)流量（單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀點(diǎn)的車(chē)輛數(shù)，單位：輛/每小時(shí)）可以達(dá)到最大，并求出最大值（精確到1輛/小時(shí)）．參考答案：解：（Ⅰ）由題意：當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，設(shè)再由已知得解得，所以故函數(shù)的表達(dá)式為

（Ⅱ）依題意并由（Ⅰ）可得當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，其最大值為當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在的最大值為綜上，當(dāng)當(dāng)時(shí)，在的最大值為即當(dāng)車(chē)流密度為100輛/千米時(shí)，車(chē)流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/小時(shí).略22.已知函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，其中．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，求的取值范圍；（3）試證明對(duì)，存在，使．參考答案：解：⑴

………………1分時(shí)，……3分，所以

……4分⑵函數(shù)是奇函數(shù)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減