三、冪級數性質1加減法設f(x)=和g(x)=收斂半徑分別各為R1>0和R2>0

,則=f(x)

g(x).收斂半徑R

min{R1,R2}.2設冪級數收斂半徑R>0,則在收斂區(qū)間(

R,R)內,其和函數S(x)是連續(xù)函數.若級數在端點收斂,則S(x)在端點單側連續(xù).第1頁3冪級數和函數S(x)在收斂區(qū)間(

R,R)內可導,并能夠逐項求導任意次,且求導后級數收斂半徑不變.即

f

(x)=x

(R,R)

4冪級數和函數S(x)在收斂區(qū)間(

R,R)內可積,并可逐項求積分,且積分后級數收斂半徑不變.x

(R,R)

即n=1

(anxn)

第2頁注

:慣用已知和函數冪級數(1)(

1<x<1)(2)(3)(4)(5)第3頁二、麥克勞林(Maclaurin)公式三、泰勒級數一、泰勒公式建立§7.6泰勒(Taylor)公式與泰勒級數第4頁4一次多項式在微分應用中有近似計算公式:若f

(x0)存在,則在x0點附近有f(x)=f(x0)+f(x0)(x

x0)f(x)

f(x0)+f(x0)(x

x0)+o(x

x0)需要處理問題怎樣提升精度?怎樣預計誤差?不足:1.準確度不高;2.誤差不能定量預計.希望:在x0點附近,用適當高次多項式Pn(x)=a0+a1(x

x0)+a2(x

x0)2+···+an(x

x0)n

f(x)

一、泰勒公式第5頁猜測2若有相同切線3若彎曲方向相同近似程度越來越好

n次多項式系數確實定

1若在x0點相交Pn(x0)=f(x0)Pn

(x0)=f

(x0)Pn

(x0)=f

(x0)

y=f(x)假設Pn(k)(x0)=f(k)(x0)y=Pn(x)xoyx0第6頁即有Pn(x)=a0+a1(x

x0)+a2(x

x0)2+···+an(x

x0)n假設Pn(k)(x0)=f(k)(x0)Pn(n)(x)=n!anPn

(x)=a1+2a2(x

x0)+3a3(x

x0)2+···+nan(x

x0)n

1Pn

(x)=2a2+32a2(x

x0)+···+n(n1)an(x

x0)n2

a0=

f(x0),2a2=f

(x0),n!an=f(n)(x0),

k=0,1,2,3,···,n令x

=x0得a1=f

(x0),

a0=

f(x0),a1=f

(x0),第7頁k=0,1,2,3,···,n代入Pn(x)中得Pn(x)=f(x0)+f(x0)(x

x0)+(x

x0)2+···+(x

x0)nPn(x)=a0+a1(x

x0)+a2(x

x0)2+···+an(x

x0)n稱為函數f(x)在x0處泰勒多項式.k=0,1,2,3,···,n稱為泰勒系數f(x)=Pn(x)+o(x

x0)n.第8頁其中定理1(泰勒中值定理)若函數f(x)在x0點某鄰域UR(x0)內含有直到n+1階連續(xù)導數,則當x取UR(x0)內任何值時,f(x)可按(x

x0)方冪展開為f(x)=f(x0)+f(x0)(x

x0)+(

在x0與x之間)+Rn(x)公式(1)稱為函數f(x)在x0處泰勒公式.(1)

Rn(x)稱為拉格朗日(Lagrange)余項.泰勒系數k=0,1,2,

···,n是唯一.第9頁設f(x)=f(x0)+f(x0)(x

x0)+k

證因為f(x)在UR(x0)內含有n+1階連續(xù)導數,作輔助函數

(t)=f(x)[f(t)+f(t)(x

t)+

(x)=0=(x0),不妨設x0<x,則

(t)在[x0,x]連續(xù),在(x0,x)可導,羅爾定理知,最少存在一點

(x0,x),使

(

)=0,第10頁因

(t)=

f

(t)

(t)=f(x)f(t)f(t)(x

t)

[f

(t)(x

t)

f(t)]

所以

(x0,x),故解得k=f(n+1)(

),x0>x時同理可證,第11頁其中f(x)=f(0)+f(0)x+1

當x0=0時,(

在0與x之間)或令

=

x,0<

<1,則+Rn(x).稱為函數f(x)麥克勞林(Maclaurin)公式.2

f(x)f(x0)+f(x0)(x

x0)+其誤差為:Rn(x)第12頁解例1*

求f(x)=ex在x=0n階泰勒公式.因為f(n)(x)=ex,n=1,2,3,

所以f(n)(0)=e0=1,n=1,2,3,

于是f(x)=ex在x=0n階泰勒公式為:其中0<

<1.第13頁定義假如函數f(x)在x0某鄰域內是存在任意階導數,則冪級數稱為函數f(x)在x0處泰勒級數.=f(x0)+f(x0)(x

x0)二、泰勒級數稱為函數f(x)麥克勞林級數.問題:泰勒級數在收斂區(qū)間是否收斂于f(x)?不一定.第14頁解例2*

求f(x)=sinx

在x=0泰勒級數.當n=2k時,

f(2k)(0)=sin(k

)=0,k=0,1,2,,當n=2k+1時,

f(2k+1)(0)=sin(k

+

)=

(1)k,得因=0,于是R=+,定理2

f(x)在x0點泰勒級數在UR

(x0)內收斂于f(x)

在UR

(x0)內,Rn(x)0.第15頁=0,所以sinx

=

0

其中收斂區(qū)間為:(,+).

x

(,+).即第16頁麥克勞林多項式迫近sinxy=sinxy=x第17頁§7.7初等函數冪級數展開式一、直接法(泰勒級數法)二、間接法三、常見函數冪級數展開式第18頁步驟:(1)求f(n)(x),n=0,1,2,

(4)討論?并求出其收斂區(qū)間.(3)寫出冪級數利用泰勒公式或麥克勞林公式將f(x)展開為冪級數若為0,則冪級數在此收斂區(qū)間內等于函數

f(x);若不為0,則冪級數即使收斂,但它和不是f(x).一、直接法(泰勒級數法)(2)計算an=

f(n)(x0),

n=0,1,2,

第19頁解例1

將f(x)=ex在展開成x冪級數.因f(n)(x)=ex,n=1,2,3,,

f(n)(0)=e0=1,于是f(x)=ex在x=0麥克勞林級數為:其中0<

<1=0,所以ex=1+x+<x<+.收斂區(qū)間為:(,+)第20頁二項展開式++nxn1+xn(1+x)n=1+nx+(1+x)

=1+x+?第21頁解例2

將f(x)=(1+x

)

展開成x冪級數.n=0,1,2,,

f(n)(0)=

(

1)(

2)(

n+1)=1,得[(1+x)

](n)

=

(

1)(

2)(

n+1)(1+x)(n)

,注意:當x=

1時,級數收斂性與

取值相關.

1,收斂區(qū)間為:(1,1).

1<

<0,收斂區(qū)間為:(