2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3,請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的

1.集合A={HV=@中所含元素為

A.0,1B.-l,1

C.-1,0D.1

2.半徑為R的半圓卷成一個(gè)圓錐，則它的體積是（）

A.旦兀NB.—TTR3

248

。辱N

4x—4x^1

3.設(shè)函數(shù)/(x)="2.4；+打>1'g（x）=bg2X,則函數(shù)依）=/3一g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

A.4B.3

C.2D.1

4.函數(shù)y=Asin（s+0）+%[4>0,@>0,|。|<d的圖象如圖所示，則函數(shù)y的表達(dá)式是（）

2x-\———1

3J

C.y=—sin2x——+1D.y=sin2x———1

2I3；I3j

5.若用二分法逐次計(jì)算函數(shù)/（x）=lnx+x在區(qū)間［0.5,1］內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)附近的函數(shù)值，所得數(shù)據(jù)如下:

X0.510.750.6250.5625

.f(x)-0.19310.4620.155-0.013

則方程lnx+x=O的一個(gè)近似根（精度為0.1）為（）

A.0.56B.0.57

C.0.65D,0.8

6,邊長(zhǎng)為。的正四面體的表面積是

A63R百3

A.——aB.——a

412

C.—a2D.0/

4

7.已知2"=5"=W，則，+?=(

)

ab

A.yB.l

C.V2D.2

8.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難人微，數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事休.在數(shù)學(xué)的學(xué)

Y

習(xí)和研究中，有時(shí)可憑借函數(shù)的解析式琢磨函數(shù)圖像的特征.如函數(shù)》=一三，的圖像大致為（）

X-1

9,下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在區(qū)間［-1,1］上是增函數(shù)的是（）

A.y=TB.y=x3

,1

C.y=x-D.y=——

x

10.設(shè)一個(gè)半徑為r的球的球心為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)0,球面上有兩個(gè)點(diǎn)4B,其坐標(biāo)分別為(1,2,2),(2,

-2,1),貝！J()

A.|AB|<rB.|Afi|=r

C.\AB\=yf2rD.\AB\<y/2r

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

11.函數(shù)y=2川,xe[0,+8)的反函數(shù)為

TT

12.已知函數(shù)/(x)=sin3x+§)3>0)在區(qū)間[0,九]上恰有8個(gè)最大值，則①的取值范圍是

13.已知y=log”(1一公)在(L2)上單調(diào)遞增，則。的范圍是

「COS(TI-6)COS(2K-6)

14.若sin^=求口「./兀+.3兀力的值_______

3cos^[sin(—―6)—1]COS(K+，)sin(—+6)—sin(—+6)

15.已知正四棱錐的高為4,側(cè)棱長(zhǎng)為30,則該棱錐的側(cè)面積為.

16.若一個(gè)集合是另一個(gè)集合的子集，則稱兩個(gè)集合構(gòu)成“鯨吞”；對(duì)于集合4={-1,2},B={x\ax2=2,a>0},

若這兩個(gè)集合構(gòu)成“鯨吞”，則。的取值為

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.設(shè)矩形ABCD的周長(zhǎng)為2(),其中AB>AD,如圖所示，把它沿對(duì)角線AC對(duì)折后，A3交。。于點(diǎn)P.設(shè)

ADx,DP=y.

(1)將y表示成x的函數(shù)，并求定義域；

(2)求ZW*面積的最大值.

18.已知二次函數(shù)/(x)滿足條件/(0)=0和/(x+2)-/(%)=4%,

(1)求f(x)；

(2)求/(團(tuán)在區(qū)間區(qū),。+2](awR)上的最小值g(。)

19.已知直線/的傾斜角為135°且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P。/).

(1)求直線/的方程；

(2)求點(diǎn)4(3,4)關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)4的坐標(biāo).

JI

20.已知tan(aH—)——2.

4

(1)求tana的值；

377

(2)求cos(a-=)[sinQr+a)—2cos(萬(wàn)一￡月的值.

21.已知tan(兀-0)=2,0e[^,7r

(1)求sin6,cos。的值;

4cos(工7t-6]-sin]河+6

(2)求22的值

3sin(乃一。)+5cos(27-0)

參考答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的

1、A

【解析】4={為歸2=可，解了2=%，得％=0,x2-1

={0,1}

故選A

2,C

【解析】求出扇形的弧長(zhǎng)，然后求出圓錐的底面周長(zhǎng)，轉(zhuǎn)化為底面半徑，求出圓錐的高，然后求出體積.

【詳解】設(shè)底面半徑為r,則2〃r=乃R,所以r=鳥(niǎo).

2

所以圓錐高IR2—戶=&R.

2

所以體積V=x〃=xR=7rR3.

3312J224

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的性質(zhì)及體積，圓錐問(wèn)題抓住兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：（1）圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的扇形弧長(zhǎng)等于底面周長(zhǎng)；（2）

圓錐底面半徑r、高山母線/組成直角三角形，滿足勾股定理，本題考查這兩種關(guān)系的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題.

3、B

【解析】

函數(shù)〃（司=〃力-8（月的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)/（力的圖象和函數(shù)8（司的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，分別畫(huà)出函數(shù)

4x-4,x<l

〃x)=<的圖象和函數(shù)g（x）=log?x的圖象，如圖，由圖知，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是3,函數(shù)

x2-4x+3,x>\

h（x）=f（x）-g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是3,故選B.

【方法點(diǎn)睛】已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法：（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)

于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；（3）

數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.一是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函

數(shù)丁=8（%），丁=〃。）的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，二是轉(zhuǎn)化

為y=a,y=g（x）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.

4、A

7T

【解析】由函數(shù)的最大、最小值，算出A和Z,根據(jù)函數(shù)圖像算出周期，利用周期公式算出w.再由當(dāng)x=一時(shí)函數(shù)

12

有最大值，建立關(guān)于的等式解出9,即可得到函數(shù)）'的表達(dá)式.

【詳解】?.?函數(shù)的最大值為：，最小值為-

22

2^

—=兀，得卬=2.

w

可得函數(shù)的表達(dá)式為y=|sin(2x+⑼+1,

45

?.?當(dāng)x=一時(shí)，函數(shù)有最大值不，

122

???|=翅2卡+“>1,得礴+(p=1,

可得”+0=—+2叔T(A￡Z),結(jié)合[例<一，

622

取攵=0得9=(，

函數(shù))'的表達(dá)式是/=[$垣(2兀+。)+1.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題給出正弦型三角函數(shù)的圖象，求它的解析式.著重考查了三角函數(shù)的周期公式、三角函數(shù)的圖象的變換與

解析式的求法等知識(shí)屬于中檔題.

5、B

【解析】利用零點(diǎn)存在性定理和精確度要求即可得解.

【詳解】由表格知在區(qū)間(0.5625,0.625)兩端點(diǎn)處的函數(shù)值符號(hào)相反，且區(qū)間長(zhǎng)度不超過(guò)0.1,符合精度要求，

因此，近似值可取此區(qū)間上任一數(shù)

故選：B

6、D

【解析】?.?邊長(zhǎng)為a的正四面體的表面為4個(gè)邊長(zhǎng)為a正三角形，

二表面積為：4x—xaxa=a2,

22

故選D

7、D

【解析】根據(jù)指數(shù)和對(duì)數(shù)的關(guān)系，將指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，再根據(jù)換底公式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得;

【詳解】解：2"=5"=JI6,，。=匕8?Ji6,b=iog5Vio,

，=l°g麗2=昂=2或，>隧標(biāo)5=昂=2但5

.'.-+-=21g2+21g5=21gl0=2

ab

故選：D

8、B

【解析】根據(jù)題意求出函數(shù)的定義域并判斷出函數(shù)的奇偶性，再代入特殊值點(diǎn)即可判斷答案.

1

【詳解】由題意，函數(shù)定義域?yàn)閧x|x，±l},/(—x)=r—/(x),于是排除AD,又于--<0,

XT—3

所以C錯(cuò)誤，B正確.

故選：B.

9、B

【解析】利用函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)分別對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷即可得解.

【詳解】對(duì)于A,函數(shù)y=2、圖象總在x軸上方，不是奇函數(shù)，A不滿足；

對(duì)于B,函數(shù)y=d在R上遞增，且(_》)3=一無(wú)3,該函數(shù)是奇函數(shù)，B滿足；

對(duì)于C,函數(shù)y=V是偶函數(shù)，C不滿足；

對(duì)于D,函數(shù)>=-一定義域是非零實(shí)數(shù)集，而0e[—1,1],D不滿足.

故選：B

10、C

【解析】由已知求得球的半徑，再由空間中兩點(diǎn)間的距離公式求得MM，則答案可求

【詳解】?.?由已知可得，=JV+22+22=3,

而IAB|=J(l—2>+(2+2)2+(2-1)2=3M，

：.\AB\^y[2r

故選C

【點(diǎn)睛】本題考查空間中兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

11、^=log2x-l(x>2)

【解析】先求出函數(shù)的值域有.v22,再得出x=log2y-l,(y?2),從而求得反函數(shù).

【詳解】由y=2'W,xe[0,+8),可得)后2

由y=2?i,貝ijx=log2y-1,

所以y=log2X—l(x22)

故答案為：y=log2x-l(x＞2).

,cr,85/97、

12^｛OJ\一＜co＜一｝

66

【解析】將xe[O,句代入函數(shù)解析式，求出+?的取值范圍，根據(jù)正弦取8次最大值，求出勿的取值范圍

兀兀兀I兀、

【詳解】因?yàn)閤e[O,不],0＞0,所以+—,co7v+-，又函數(shù)/(x)=sin[(yx+§J(ty＞0)在區(qū)間[0,句上

JIJIJI8597

恰有8個(gè)最大值，所以2+14萬(wàn)4啰〃+二＜々+16%,得｛⑶絲4口＜、｝

23266

【點(diǎn)睛】三角函數(shù)最值問(wèn)題要注意整體代換思想的體現(xiàn)，由的取值范圍推斷y=Asin(0x+⑼的取值范圍

13、0＜。4-

2

【解析】令g(x)=l-"，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分論討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性，列出關(guān)于。的不等式組，求解即可.

【詳解】令g(x)=l-辦

當(dāng)。＞1時(shí)，由題意知g(x)=l-辦在(1,2)上單調(diào)遞增且y=l一辦＞0對(duì)任意的XG(1,2)

a＞1

恒成立，貝!]＜一。＞0,無(wú)解；

g(l)=l-a＞0

當(dāng)0＜。＜1時(shí)，由題意知g(x)=l-④在(1,2)上單調(diào)遞減且y=l一依〉0對(duì)任意的xe(l,2)恒成立，貝！]

0＜6!＜1

＜-?＜0,解得0＜aJ.

2

g⑵=1—2a20

故答案為：。〈44萬(wàn)

【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，同增異減，求解時(shí)注意對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.

14、6

【解析】先通過(guò)誘導(dǎo)公式對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后通分，進(jìn)而通過(guò)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系將原式轉(zhuǎn)化為只含sin6的式

子，最后得到答案.

-COS0cosJ11

【詳解】原式=H--------------------------1--------

cos。(一cosB-l)-cos0-cos0+cos0cos0+1l-cos。

l-cos6+l+cos622

(1+cos9)(1-cos9)1-cos20sin209

r-2=2

因?yàn)閟ine=9,所以肅萬(wàn)=1二.

33

COS(7l-ff)COS(2TI-0)

1=o

所以3兀------------------------兀3兀

〃入cos仇sin(與一6)—1]cos(7T+6>)sin(~+0)-sin(y+0)

故答案為:6.

15、4Vn

【解析】由高和側(cè)棱求側(cè)棱在底面射影長(zhǎng)，得底面邊長(zhǎng)，從而可求得斜高，可得側(cè)面積

【詳解】如圖，正四棱錐P-ABC。，P。是高，M是8c中點(diǎn)，則PM是斜高，

由已知R9=4,PC=3貶，則0C=1(30)2-42=近，

ABCO是正方形，?\BC=2,OM=T,PM=^^十仔=后，

側(cè)面積S?=-x(4x2)x5/17-4717

2

故答案為：4后

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求正棱錐的側(cè)面積.在正棱錐計(jì)算中，解題關(guān)鍵是掌握四個(gè)直角三角形：如解析中圖

中△SOC,Z\SOM,Z\SMC,Z\OCM,正棱錐的幾乎所有量在這四個(gè)直角三角形中都有反應(yīng)

16、0

【解析】根據(jù)題中定義，結(jié)合子集的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】當(dāng)。=0時(shí)，B=0,顯然符合題意;

當(dāng)。*()時(shí)，顯然集合8中元素是兩個(gè)互為相反數(shù)的實(shí)數(shù)，而集合A中的兩個(gè)元素不互為相反數(shù)，所以集合3、A之

間不存在子集關(guān)系，不符合題意，

故答案為：0

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)y=10一——,%e(O,5)；(2)75-5072

10-x

【解析】(1)由題意得A3=CZ)=10-X,則CP=10-x-y,根據(jù),可得DP=BP=y,所以

y+x2=(10-x-y)2,化簡(jiǎn)整理，即可求得y與x的關(guān)系，根據(jù)即可求得x的范圍，即可得答案；

(2)由(1)可得y=10--"一，xe(0,5),則的面積S=，沖=5(x—10)+1+75,根據(jù)x的范圍，

10-x2x-10

結(jié)合基本不等式，即可求得答案.

【詳解】(1)由題意得：AB=CD^10-x,則CP=10-x-y,

因?yàn)樵赗tAADP和Rt&BP中，ZAPD=CPB,AD=BC,

所以AADPMRJCBP,即。P==

所以在RSC5P中，y2+x2=(10-x-y)2,

所以yW=100+x2+y2-20x-20y+2xy,

化簡(jiǎn)可得y=10-

10-x

因?yàn)樗詌()—x>x>0,解得0cxv5,

所以y=10-一”一，XG(0,5)；

10-x

(2)由(1)可得y=10——竺一，xe(0,5),

10-x

所以ZMOP面積§=■!■孫=,邛(10--^-)=5x-^-=5(x-10)+^-+75,

2210—x10—xx—10

因?yàn)楣ぁ?0,5),所以1—10<0,

所以5(x—10)+=-[5(10—x)+<-2J5(10-x)?=—500,

x-1010—xAl10—x

250

當(dāng)且僅當(dāng)5(10—x)：；7—,即％=10-5/時(shí)等號(hào)成立，

10-x

此時(shí)面積S=-[5(10-x)+用，+75K75-5072,

10-x

即AADF面積最大值為75-5072

【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件，表示出各個(gè)邊長(zhǎng)，根據(jù)三角形全等，結(jié)合勾股定理，進(jìn)行求解，易錯(cuò)點(diǎn)為：利用基

本不等式求解時(shí)，需滿足“①正”，“②定”，“③相等”，注意檢驗(yàn)取等條件是否成立，考查分析理解，計(jì)算化簡(jiǎn)的能力,

屬中檔題.

u~+2a,a4—1

18^(1)f(x)=x2-2x；(2)§(?)=<-l,-l<a<l.

a2-2a,a>1

【解析】⑴由二次函數(shù)/(O)=0可設(shè)/(x)=ar2+bx,(aw0)，再利用f(x+2)-f(x)=4x進(jìn)行化簡(jiǎn)分析即可.

(2)由(1)可知/。)=--2》,對(duì)稱軸為％=1,通過(guò)討論。的范圍，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值.

【詳解】⑴由二次函數(shù)/(0)=0可設(shè)/(》)=以2+bx,(aW0),

因?yàn)?(x+2)-/(x)=4x,故a［(x+2)2-巧+。］(》+2)7］=4*，

即a(4x+4)+?=4x,即4czx+4a+2/?=4x,

故4a=4,4a+2/?=0,即a=1,/?=—2,

故f(x)=x2-2x；

(2)函數(shù)/(外=/—2x的對(duì)稱軸為x=l,

則當(dāng)a+2Wl,即aW—1時(shí)，/(x)在La,a+2］單調(diào)遞減，.?./(x)min=/(a+2)=/+2a；

當(dāng)a<l<a+2,即一l<a<l時(shí)，/(x)inin=/(1)=-1；

當(dāng)aNl時(shí)，在［a,a+2］單調(diào)遞增，/(XL=/(。)="2-2〃，

ci~+2a,a4—1

g(a)=?-1,-1<a<1.

a2-2a,a>1

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的解析式求解以及二次函數(shù)最值的問(wèn)題等，屬于中等題型.

19、(1)x+y—2=0；(2)A'(—2,—1)

【解析】(1)由題意得直線/的斜率為Z=tanl35°=-1,

.?.直線/的方程為y-l=-(x—1),

即x+y-2=0.

(2)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,b),

Z?-4

x(T)=T

由題意得a—/3

a+3b+4

------+-2=0,