微分方程

習(xí)題課

第1頁基本概念一階方程

類型1.直接積分法2.可分離變量3.齊次方程4.可化為齊次方程5.全微分方程6.線性方程7.伯努利方程可降階方程線性方程解結(jié)構(gòu)定理1;定理2定理3;定理4歐拉方程二階常系數(shù)線性方程解結(jié)構(gòu)特征方程根及其對(duì)應(yīng)項(xiàng)f(x)形式及其特解形式高階方程待定系數(shù)法特征方程法一、主要內(nèi)容第2頁微分方程解題思緒一階方程高階方程分離變量法全微分方程常數(shù)變易法特征方程法待定系數(shù)法非全微分方程非變量可分離冪級(jí)數(shù)解法降階作變換作變換積分因子第3頁1、基本概念微分方程凡含有未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)或微分方程叫微分方程．微分方程階微分方程中出現(xiàn)未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)階數(shù)稱為微分方程階．微分方程解代入微分方程能使方程成為恒等式函數(shù)稱為微分方程解．第4頁通解假如微分方程解中含有任意常數(shù)，而且任意常數(shù)個(gè)數(shù)與微分方程階數(shù)相同，這么解叫做微分方程通解．特解

確定了通解中任意常數(shù)以后得到解，叫做微分方程特解．初始條件用來確定任意常數(shù)條件.初值問題求微分方程滿足初始條件解問題，叫初值問題．第5頁(1)可分離變量微分方程解法分離變量法2、一階微分方程解法(2)齊次方程解法作變量代換第6頁第7頁齊次方程．（其中h和k是待定常數(shù)）不然為非齊次方程．(3)可化為齊次方程解法化為齊次方程．第8頁第9頁(4)一階線性微分方程上方程稱為齊次．上方程稱為非齊次.齊次方程通解為（使用分離變量法）解法第10頁非齊次微分方程通解為（常數(shù)變易法）(5)伯努利(Bernoulli)方程方程為線性微分方程.

方程為非線性微分方程.第11頁解法需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程．其中形如(6)全微分方程第12頁注意：解法應(yīng)用曲線積分與路徑無關(guān).用直接湊全微分方法.通解為第13頁(7)可化為全微分方程形如第14頁

公式法:

觀察法:熟記常見函數(shù)全微分表示式，經(jīng)過觀察直接找出積分因子．第15頁常見全微分表示式可選取積分因子第16頁第17頁3、可降階高階微分方程解法解法特點(diǎn)型接連積分n次，得通解．型解法代入原方程,得第18頁特點(diǎn)型解法代入原方程,得４、線性微分方程解結(jié)構(gòu)（1）二階齊次方程解結(jié)構(gòu):第19頁（2）二階非齊次線性方程解結(jié)構(gòu):第20頁第21頁試驗(yàn)證有基本解組并求方程通解。第22頁５、二階常系數(shù)齊次線性方程解法n階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程解法由常系數(shù)齊次線性方程特征方程根確定其通解方法稱為特征方程法.第23頁特征方程為第24頁特征方程為特征方程根通解中對(duì)應(yīng)項(xiàng)推廣：

階常系數(shù)齊次線性方程解法第25頁６、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法二階常系數(shù)非齊次線性方程解法

待定系數(shù)法.第26頁第27頁7、歐拉方程歐拉方程是特殊變系數(shù)方程，經(jīng)過變量代換可化為常系數(shù)微分方程.方程(其中形如叫歐拉方程.為常數(shù))，第28頁第29頁當(dāng)微分方程解不能用初等函數(shù)或其積分表示時(shí),慣用冪級(jí)數(shù)解法.8、冪級(jí)數(shù)解法求方程經(jīng)過(0,0)第三次近似解

注意：解存在唯一性定理?xiàng)l件及意義第30頁二、經(jīng)典例題例1解原方程可化為第31頁代入原方程得分離變量?jī)蛇叿e分所求通解為第32頁例2解原式可化為原式變?yōu)閷?duì)應(yīng)齊方通解為一階線性非齊方程伯努利方程第33頁代入非齊方程得原方程通解為利用常數(shù)變易法第34頁例3解方程為全微分方程.第35頁(1)利用原函數(shù)法求解:故方程通解為第36頁(2)利用分項(xiàng)組正當(dāng)求解:原方程重新組合為故方程通解為第37頁(3)利用曲線積分求解:故方程通解為第38頁例4解非全微分方程.利用積分因子法:原方程重新組合為第39頁故方程通解為第40頁例5解代入方程，得故方程通解為第41頁例6解特征方程特征根對(duì)應(yīng)齊次方程通解為設(shè)原方程特解為第42頁原方程一個(gè)特解為故原方程通解為第43頁由解得所以原方程滿足初始條件特解為第44頁例７解特征方程特征根對(duì)應(yīng)齊方通解為設(shè)原方程特解為第45頁由解得第46頁故原方程通解為由即第47頁例８解（１）由題設(shè)可得：解此方程組，得第48頁（２）原方程為由解結(jié)構(gòu)定理得方程通解為