高等院校非數(shù)學類本科數(shù)學課程——一元微積分學大學數(shù)學（一）第三十三講一元微積分應用(六)

——微積分在物理中應用第1頁第六章一元微積分應用本章學習要求：熟練掌握求函數(shù)極值、最大最小值、判斷函數(shù)單調(diào)性、判斷函數(shù)凸凹性以及求函數(shù)拐點方法。能利用函數(shù)單調(diào)性、凸凹性證實不等式。掌握建立與導數(shù)和微分相關數(shù)學模型方法。能熟練求解相關改變率和最大、最小值應用問題。知道平面曲線弧微分、曲率和曲率半徑概念，并能計算平面曲線弧微分、曲率、曲率半徑和曲率中心。掌握建立與定積分相關數(shù)學模型方法。熟練掌握“微分元素法”，能熟練利用定積分表示和計算一些幾何量與物理量：平面圖形面積、旋轉曲面?zhèn)让娣e、平行截面面積為已知幾何體體積、平面曲線弧長、變力作功、液體壓力等。能利用定積分定義式計算一些極限。第2頁第六章一元微積分應用第八節(jié)微積分在物理學中應用一、變力沿直線作功二、液體靜壓力三、引力請點擊第3頁一、變力沿直線作功第4頁第5頁例1解第6頁第7頁第8頁例2解第9頁第10頁二、液體靜壓力第11頁例3解2m2x2－x第12頁第13頁如圖建立坐標系坐標為x處液體深度為xx+dxab

邊長為a,b矩形薄板，與液面成角斜沉于液體中，長邊平行于液面而位于深h處，設a>b液體比重為，求板一側所受壓力。例4解第14頁得液體側壓力計算公式將以上幾例解法普通化第15頁由萬有引力定律：兩個質(zhì)量分別為相距為r質(zhì)點間引力若要計算一細長桿對一質(zhì)點引力，此時因為細桿上各點與質(zhì)點距離是改變，所以不能直接利用上述公式計算。

設有一長為l質(zhì)量為M均勻細桿，另有一質(zhì)量為m質(zhì)點和桿在一條直線上，它到桿近端距離為a，求細桿對質(zhì)點引力。三、引力例5第16頁取x為積分變量該小段細桿質(zhì)量為若把問題改為求細桿對位于它一端垂線上距桿a處質(zhì)量為m質(zhì)點引力。0l·ma第17頁如圖建立坐標系解第18頁尤其是怎樣在詳細問題中取“微元”——微功、微壓力、微引力等。這對于從形式到內(nèi)容真正地把握公式是非常必要，相反假如僅滿足于套用公式處理一些簡單問題而不求甚解，那么碰到一些稍有靈活性問題，便可能束手無策，不知怎樣下手。關于定積分在物理方面應用，除了應熟記各個公式結果外，還須了解其推導過程第19頁關于定積分應用說明三點：1。選擇適當坐標系2。善于依據(jù)問題性質(zhì)和要求結構積分元素，主要是選擇好參數(shù)，并能正確地確定出積分限，3。詳細計算定積分時，要尤其注意和充分而且慎重應用對稱性及等量關系以簡化定積分計算，對此，熟悉區(qū)域或曲線形狀，對于處理問題是十分有益。第20頁

發(fā)射火箭需要計算克服地球引力所作功，設火箭質(zhì)量為m，問將火箭垂直地向上發(fā)射到離地面高H時，需作多少功。并由此計算初速度最少為多少時，方可使火箭脫離地球引力范圍.例6xoRR+H第21頁取ox軸豎直向上xoRR+H地球半徑設為R質(zhì)量為M，由萬有引力定律，即x=R時火箭所受引力就是火箭重力mg火箭所受地球引力隨火箭發(fā)射高度x而改變當火箭在地面上代入上式為了發(fā)射火箭，必須克服地球引力，克服地球引力外力F與f大小相等解第22頁下面用微元法來求變力所作功。取x為積分變量所須作功為了使火箭脫離地球引力范圍，也就是說要把火箭發(fā)射到無窮遠處第23頁則動能為所以要使火箭脫離地球引力范圍，須有代入上式得