第八章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析章末復習課回顧本章學習過程,建構“基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗”之間的聯(lián)系.要點訓練一一元線性回歸分析在學習時,重點把握線性回歸模型的思想方法.解題時注意以下幾點:(1)正確運用b,a的計算公式并準確計算,是求經(jīng)驗回歸方程的關鍵.充分利用經(jīng)驗回歸直線y=bx+a必過樣本點的中心(x,y)進行求值.(2)可以通過殘差圖來刻畫擬合效果,也可以用決定系數(shù)R2來反映回歸模型的擬合效果,R2越大,表示殘差平方和越小,即模型的擬合效果越好.1.假定小麥基本苗數(shù)x與成熟期有效穗數(shù)y之間存在相關關系,今測得5組數(shù)據(jù)如下表.x15.025.830.036.644.4y39.442.942.943.149.2(1)以x為自變量,y為因變量,作出散點圖;(2)求y與x之間的經(jīng)驗回歸方程,對于苗數(shù)56.7求有效穗數(shù);(3)計算各組殘差,并計算殘差平方和.解:(1)散點圖如圖所示.(2)由散點圖知,這兩個變量有比較好的線性相關關系,因此可以用經(jīng)驗回歸方程刻畫它們之間的關系.設經(jīng)驗回歸方程為y=bx+a,則x=30.36,y=43.5,∑i=15xi2=5101.56,∑iy2=1892.25,x2=921.7296,∑i=15xiy所以b≈0.29,a=y-bx≈43.5-0.29×30.36≈34.70故所求的經(jīng)驗回歸方程為y=34.70+0.29x.當x=56.7時,y=34.70+0.29×56.7=51.143.所以有效穗數(shù)約為51.143.(3)由ei=yi-yi得e1=0.35,e2=0.718,e3=-0.5,e4=-2殘差平方和:∑i=15e2.為了迎接男籃世界杯,某協(xié)會組織了一次“手工制作助威旗”活動,將男籃世界杯的標志以手工刺繡的方式繡到紅色的三角形的旗子上面.在10次制作中測得助威旗數(shù)x(單位:個)與加工時間y(單位:h)的數(shù)據(jù)如下表.x102030405060708090100y626875818995102108115122(1)x與y是否具有線性相關關系?(2)如果x與y具有線性相關關系,求出y關于x的經(jīng)驗回歸方程,并根據(jù)經(jīng)驗回歸方程,預測加工2010個助威旗需多少天(精確到1).注:每天工作8h.參考數(shù)據(jù):x=55,y=91.7,∑i=110∑i=110xiyi=55950,38500-10×55287777-10解:(1)作散點圖如圖所示.從圖中可以看出,各點都散布在一條直線附近,即y與x線性相關.(2)由所給數(shù)據(jù)求得b=∑i=110(=55950-10×所以a=y-bx≈91.7-0.668×55=54.所以y關于x的經(jīng)驗回歸方程為y=54.96+0.668x,當x=2010時,y=54.96+0.668×2010=1397.64,所以1397.64÷8=174.705≈175,所以加工2010個助威旗約需175天.要點訓練二獨立性檢驗獨立性檢驗是判斷兩個分類變量之間是否有關聯(lián)的一種方法.在判斷兩個分類變量之間是否有關聯(lián)時,作出等高堆積條形圖只能近似地判斷兩個分類變量是否有關聯(lián),而獨立性檢驗可以精確地得到可靠的結論.1.通過隨機詢問100名不同性別的大學生是否愛好某項運動,得到列聯(lián)表如下:單位:名愛好某項運動性別合計男女愛好3555不愛好30合計100(1)補全2×2列聯(lián)表與等高堆積條形圖,并判斷愛好該項運動與性別是否有關聯(lián).(2)根據(jù)小概率值α=0.005的獨立性檢驗,能否認為愛好該項運動與性別有關聯(lián)?解:(1)補全2×2列聯(lián)表如下:單位:名愛好某項運動性別合計男女愛好352055不愛好153045合計5050100補全等高堆積條形圖如圖所示.由圖可知愛好該項運動與性別有關聯(lián).(2)零假設為H0:愛好該項運動與性別無關聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算可得χ2=100×(35×30-15×20)根據(jù)小概率值α=0.005的獨立性檢驗,我們推斷H0不成立,即認為愛好該項運動與性別有關聯(lián),此推斷犯錯誤的概率不超過0.005.2.某食品廠為了檢查甲、乙兩條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨機在這兩條流水線各抽取40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位:g),質(zhì)量值落在區(qū)間(495,510]上的產(chǎn)品為合格品,否則為不合格品.表1是甲流水線樣本頻數(shù)分布表,乙流水線樣本的頻率分布直方圖如圖所示.表1產(chǎn)品質(zhì)量/g頻數(shù)(490,495]6(495,500]8(500,505]14(505,510]8(510,515]4(1)根據(jù)表1中數(shù)據(jù)作出甲流水線樣本的頻率分布直方圖.(2)若以頻率作為概率,試估計從乙流水線任取一件產(chǎn)品,該產(chǎn)品恰好是合格品的概率.(3)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成表2,根據(jù)小概率值α=0.1的χ2獨立性檢驗,能否認為產(chǎn)品的質(zhì)量與兩條自動包裝流水線的選擇有關聯(lián)?表2單位:件質(zhì)量流水線合計甲流水線乙流水線合格品不合格品合計附:α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解:(1)根據(jù)所給的每一組的頻數(shù)和樣本量得出每一組的頻率,作出甲流水線樣本的頻率分布直方圖如圖所示.(2)由題圖知,乙樣本中合格品數(shù)為(0.06+0.09+0.03)×5×40=36,故合格品的頻率為3640=0.據(jù)此可估計從乙流水線任取一件產(chǎn)品,該產(chǎn)品恰是合格品的概率為0.9.(3)補全列聯(lián)表如下:單位:件質(zhì)量流水線合計甲流水線乙流水線合格品303666不合格品10414合計404080零假設為H0:產(chǎn)品的質(zhì)量與兩條自動包裝流水線的選擇無關聯(lián).根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),計算可得χ2=80×(30×4-36×10)根據(jù)小概率值α=0.1的獨立性檢驗,推斷H0不成立,即認為產(chǎn)品的質(zhì)量與兩條自動包裝流水線的選擇有關聯(lián),此推斷犯錯誤的概率不超過0.1.要點訓練三兩個變量相關關系的判斷分析判斷兩個變量相關關系常用的方法:(1)散點圖法:把樣本數(shù)據(jù)表示的點在平面直角坐標系中標出,得到散點圖,由散點圖的形狀分析.(2)樣本相關系數(shù)法:利用r進行檢驗,在確認具有線性相關關系后,再求經(jīng)驗回歸方程.1.某地10戶家庭的年收入x(單位:萬元)和年飲食支出y(單位:萬元)的統(tǒng)計資料如下表:x24466677810y0.91.41.62.02.11.91.82.12.22.3根據(jù)表中數(shù)據(jù),確定家庭的年收入和年飲食支出是否具有相關關系.解:由題意作散點圖如圖所示.從圖中可以看出,年收入和年飲食支出有比較好的線性相關關系.2.一散點圖如圖所示.由散點圖看出,可用線性回歸模型擬合y與t的關系,請用樣本相關系數(shù)加以說明.參考數(shù)據(jù):∑i=17yi=9.32,∑i=17tiyi=40.17,∑i=1解:由題圖中數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)得,t=4,∑i=17(ti-t)2=28,∑∑i=17(ti-t)(yi-y)=∑i=17tiyi-t∑i=1r≈2.890.因為y與t的樣本相關系數(shù)近似為0.99,所以y與t的線性相關程度很強,從而可用線性回歸模型擬合y與t的關系.要點訓練四非線性回歸分析非線性回歸分析問題的處理方法:(1)描點,選模.畫出已知數(shù)據(jù)的散點圖,把它與已經(jīng)學過的各種函數(shù)(冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等)的圖象作比較,挑選一種圖象跟這些散點擬合最好的函數(shù).(2)解模.先對變量進行適當?shù)刈儞Q,再利用線性回歸模型來解模.(3)比較檢驗.通過回歸分析比較所建模型的優(yōu)劣.1.在某化學實驗中,測得的6對數(shù)據(jù)如下表所示,其中x(單位:min)表示化學反應進行的時間,y(單位:mg)表示未轉(zhuǎn)化物質(zhì)的質(zhì)量.x123456y39.832.225.420.316.213.3(1)設y與x之間具有關系y=cdx,試根據(jù)測量數(shù)據(jù)估計c和d的值(精確到0.001);(2)化學反應進行到10min時,估計未轉(zhuǎn)化物質(zhì)的質(zhì)量(精確到0.1).解:(1)在y=cdx兩邊取自然對數(shù),令lny=z,lnc=a,lnd=b,則z=a+bx.由已知數(shù)據(jù),得下表.x/min123456y/mg39.832.225.420.316.213.3z=lny3.6843.4723.2353.0112.7852.588由公式得a≈3.9057,b≈-0.2219,則經(jīng)驗回歸方程為z=3.9057-0.2219x.而lnc=3.9057,lnd=-0.2219,故c≈49.685,d≈0.801,所以c,d的估計值分別為49.685和0.801.(2)當x=10時,結合(1)可得y≈5.4.故估計未轉(zhuǎn)化物質(zhì)的質(zhì)量為5.4mg.2.在一次抽樣調(diào)查中測得樣本的5個樣本點,數(shù)據(jù)如下表:x0.250.5124y1612521試建立y與x之間的經(jīng)驗回歸方程.解:由已知數(shù)據(jù)表作出散點圖如圖所示.由圖可知變量y與x近似地滿足y=bx+a(b令t=1x,則y=bt+由y與x的數(shù)據(jù)表可得y與t的數(shù)據(jù)表:t4210.50.25y1612521作出y與t的散點圖如圖所示.由圖可知y與t具有線性相關關系.易知t=1.55,y=7.2,∑i=15tiyi=94.25,∑b=∑i=15tiyia=y-bt≈7.2-4.1344×1.55≈0.所以y=4.1344t+0.8.所以y與x的經(jīng)驗回歸方程是y=4.1344x+0要點訓練五建模思想(1)解決函數(shù)應用題的關鍵在于理解題意,并準確建立數(shù)學模型.因此,一方面要加強對常見函數(shù)模型的理解,弄清其產(chǎn)生的實際背景,把數(shù)學問題生活化;另一方面,要不斷拓寬自己的知識面,提高生活閱歷,培養(yǎng)實際問題數(shù)學化的意識和能力.常見的解決方法:①關系分析法:通過尋找實際問題中的關鍵詞和關鍵量之間的數(shù)量關系來建立函數(shù)模型.②列表分析法:通過列表的方法探求函數(shù)模型.③圖象分析法:通過對圖象中的數(shù)量關系進行分析來建立函數(shù)模型.(2)對于只是給出幾組對應值,而變量關系不確定的應用題,求解函數(shù)模型的一般步驟如下:①作散點圖;②選擇函數(shù)模型;③用待定系數(shù)法求函數(shù)模型;④檢驗,若符合實際,則可用此函數(shù)模型解決問題,否則重復步驟②~④.1.(2020·全國Ⅰ卷)某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位:℃)的關系,在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗,由實驗數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散點圖:由此散點圖,在10℃至40℃之間,下面四個經(jīng)驗回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的經(jīng)驗回歸方程類型的是()A.y=a+bx B.y=a+bx2C.y=a+bex D.y=a+blnx解析:由散點圖可知,在10℃至40℃之間,發(fā)芽率y和溫度x所對應的點(x,y)在一段對數(shù)型函數(shù)的圖象附近,結合選項可知,y=a+blnx可作為發(fā)芽率y和溫度x的經(jīng)驗回歸方程類型.故選D.答案:D2.我國新能源產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展,以下是近幾年某新能源產(chǎn)品的年銷售量數(shù)據(jù):年份20172018201920202021年份代碼12345新能源產(chǎn)品年銷量/萬個1.66.217.733.155.6(1)請畫出上表中年份代碼x與年銷量y的數(shù)據(jù)對應的散點圖,并根據(jù)散點圖判斷:y=ax+b與y=cx2+d中哪一個更適宜作為年銷量y關于年份代碼x的經(jīng)驗回歸方程類型.(2)根據(jù)(1)的判斷結果及表中數(shù)據(jù),建立y關于x的經(jīng)驗回歸方程,并預測2022年該新能源產(chǎn)品的年銷量.參考公式:b=∑i=1n(ti-t參考數(shù)據(jù):x=3,y=22.84,t=11,∑i=15(xi-x)2=10,∑i=15(t∑i=15(xi-x)(yi-y)=134.9,∑i=15(ti-t)(yi-y)=849.解:(1)作散點圖如圖所示.根據(jù)散點圖,可知y=cx2+d更適宜作為年銷量y關于年份代碼x的經(jīng)驗回歸方程類型.(2)令t=x2,則y=ct+d.依題意,知y=22.84,t=11,c=∑i=15(ti-t)(yi-y)∑i=1所以y=2.27t-2.13,所以y關于x的經(jīng)驗回歸方程為y=2.27x2-2.13.當x=6時,y=2.27×62-2.13=79.59,故預測2021年該新能源產(chǎn)品的年銷量為79.59萬個.統(tǒng)計與概率的綜合問題(2020·新高考山東卷改編·12分)為加強環(huán)境保護,治理空氣污染,環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進行調(diào)研,隨機抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位:μg/m3),得下表:單位:μg/m3PM2.5SO2[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710(1)估計事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75μg/m3,且SO2濃度不超過150μg/m3”的概率;(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù),完成下面的2×2列聯(lián)表:單位:μg/m3PM2.5SO2合計[0,150](150,475][0,75](75,115]合計(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,依據(jù)小概率值α=0.01的獨立性檢驗,能否認為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關聯(lián)?附:χ2=n(α0.050.010.001xα3.8416.63510.828解:(1)由表格可知,該市100天中,空氣中PM2.5濃度不超過75μg/m3,且SO2濃度不超過150μg/m3的天數(shù)為32+6+18+