1/51/5中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯"2009年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案一、選擇題(共5小題，每小題7分，共35分.以下每道小題均給出了代號(hào)為A,B,C,D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分)TOC\o"1-5"\h\z.已知非零實(shí)數(shù)”，〃滿足|2〃-4|+|"2|+5(〃-3紡2+4=2”,則a+匕等于( ).(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2【答】C.解：由題設(shè)知”三3,所以，題設(shè)的等式為|"2|+J(a-3)打=0,于是a=3,b——2， 而。+Z?=1.(第2題).如圖，菱形的邊長(zhǎng)為〃，點(diǎn)。是對(duì)角線AC上的一點(diǎn),且。4=〃，OB=OC=OD=1,則〃等于( (第2題)(A) (B)2^11 (C)1 (D)22 2【答】A.解：因?yàn)椤?0。sAABC,所以='0,即ABAC1a—— ?aa+1所以,由a>0,解得〃=匕2叵.2.將一枚六個(gè)面編號(hào)分別為1,2,3,4,5,6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲兩次，記第一次擲出的點(diǎn)數(shù)為〃,第二次擲出的點(diǎn)數(shù)為。，則使關(guān)于x,y的方程組ax+by=3,x+2y=2只有正數(shù)解的概率為()(A)-112【答】D.

(B)I

coA18

13(D)—36解：當(dāng)2a-8=0時(shí)，方程組無解.6-2bX- )當(dāng)2a-當(dāng)2a-時(shí)，方程組的解為《2。—3y~ ?2a-b[6-2b八[2a-。>0,2a-b<0, >0,由已知，得2"b 即va〉—5 ^4<3Q<一?2a—3八22 >0,2a-bb<3,b>3.由〃，8的實(shí)際意義為1,2,3,4,5,6,可得Ia—2,3,4,5,6,,,,. 了.、日_[〃=1, ,1了.、日, 共有5X2=10種情況；或，「〃共3種情況.[b=1,2, [b=4,5,6,13又?jǐn)S兩次骰子出現(xiàn)的基本事件共6X6=36種情況，故所求的概率為36.如圖1所示，在直角梯形中，AB//DC,4=90。.動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)B出發(fā)，沿梯形的邊由B一。一。一A運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的路程為1,^入與尸的面積為y.把y看作，的函數(shù)，函數(shù)的圖像如圖2所示，則△ABC的面積為().圖1(第4題)圖2(A)10 (B)16 (C)圖1(第4題)圖2【答】B.

解：根據(jù)圖像可得6。=，CD=,DA=,進(jìn)而求得A8=,故1S心「二—x8x4二△ABC25.關(guān)于x,y的方程工2+q+2y2=29的整數(shù)解（x,y）的組數(shù)為（ ）.（A）2組（B）3組（C）4組（D）無窮多組【答】C.解：可將原方程視為關(guān)于％的二次方程，將其變形為%2+jx+(2y-29)=0.由于該方程有整數(shù)根，則判別式ANO,且是完全平方數(shù).解得 1^^16.57.于是7014916A11610988534由A=#4(劣2-29)=-yl+妾D6顯然，只有刀=16時(shí)，A=4是完全平方數(shù)，符合要求.TOC\o"1-5"\h\z當(dāng)y=4時(shí)，原方程為+4x+3=0,止匕時(shí)x=—l,x=—3；1 2當(dāng)y=—4時(shí)，原方程為一4%+3=0,止匕時(shí)x=l,x=3.3 4所以，原方程的整數(shù)解為X=1,<3y=-4;I3x=3,< 4yX=1,<3y=-4;I3x=3,< 4y=-4.k4<1 12J=4; h=4;L1 L2二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6.一個(gè)自行車輪胎，若把它安裝在前輪，則自行車行駛5000km后報(bào)廢;若把它安裝在后輪，則自行車行駛3000km后報(bào)廢，行駛一定路程后可以交換前、后輪胎.如果交換前、后輪胎，要使一輛自行車的一對(duì)新輪胎同時(shí)報(bào)廢，那么這輛車將能行駛km.# 15分又0＜。＜2009，所以。=0,1,…,10.因此,滿足條件的所有可能的正整數(shù)〃的和為11+192(1+24——卜10)=10571. 20分.如圖，給定銳角三角形A8C,3GCA,a。，BE是它的兩條高，過點(diǎn)。作△ABC的外接圓的切線/,過點(diǎn)。，石分別作/的垂線，垂足分別為凡G.試比較線段。廠和EG的大小，并證明你的結(jié)論.解法1：結(jié)論是。方=￡G.下面給出證明. （?第34題）因?yàn)?bCD=/EA5,所以RtsRtAEAB.于是可得df=be--.AB同理可得CF同理可得EG=AD-——AB10分又因?yàn)閠an/AC6二ADBECDCE，所以有,DF=EG.?又因?yàn)閠an/AC6二ADBECDCE，所以有,DF=EG.?20分解法2：結(jié)論是。方=￡G.下面給出證明.連接。石，ZADB=ZAEB=90°,所以A,B,D,E于是可得d5分四點(diǎn)共圓，故/CED四點(diǎn)共圓，故/CED=ZABC.(第13A題)10分又I是。。的過點(diǎn)C的切線，所以ZACG=ZABC. 15分所以，/CED=/ACG,于是DE〃FG,故=EG.20分.n個(gè)正整數(shù)〃，a,a滿足如下條件：1=〃<a<???<〃=2009；TOC\o"1-5"\h\z12 n 12 n且“，a,…,〃中任意〃一1個(gè)不同的數(shù)的算術(shù)平均數(shù)都是正整數(shù).求〃的最大值.1 2 n解：設(shè)“，”，…，〃中去掉〃后剩下的〃一1個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)為正整數(shù)匕，1 2 n i i.nnr(a+〃+???十〃)—〃i=1,2,…,n.即b——i s ? i-.i n-1于是，對(duì)于任意的都有a-ab—b二7 、ijn—1從而 n-1Q—a） 5分Ji由于b-b=幺工=當(dāng)是正整數(shù)，故1 ? n-1 n-1n-13x25.1 10分由于 a-1=（〃-a）+（〃-a）h F（a-a）n nn-1 n-1 n-1 2 1三（幾—1）+（川一1）+???+（幾—1）=（72—1）2,所以，(所以，(H—1