動力學(xué)臨界問題的類型與處理方法O、問題的緣起高中物理中的動力學(xué)臨界問題是一類較難的題目，本文嘗試從牛頓第二定律的等號的含義的挖掘出發(fā)，提出這類問題的產(chǎn)生原因、基本類型和基本解決方法。一、動力學(xué)臨界問題的本質(zhì)一一供需匹配問題牛頓第二定律￡F=ma，等式的左邊是其他物體提供給物體的力（供），右邊是物體以加速度a運(yùn)動時(shí)所需要的力（需），因此￡F=ma實(shí)際上是供需匹配的方程。當(dāng)某些外界條件變化時(shí)，a可能變化，因此物體所需要的力可能發(fā)生變化，這就存在供需匹配問題。動力學(xué)臨界問題，本質(zhì)上講，就是供需匹配問題：①供需相匹配（等號成立），則可維持兩物體間的某種關(guān)聯(lián)（如相對靜止、距離不變等）；②若供需不匹配（等號不成立），則兩物體間的該種關(guān)聯(lián)被破壞（如兩物體相對滑動、距離增大或者減小等）。二、動力學(xué)臨界問題的類型依據(jù)其他物體提供給物體的力的特點(diǎn)，可將動力學(xué)臨界問題分為兩大類型：供可變型和供不可變型。1、供可變型其他物體提供的力可以在一定范圍內(nèi)變化；若所需要的力在該范圍內(nèi)，則能夠維持物體間的某種關(guān)聯(lián)，若所需要的力超出該范圍，則物體間的該種關(guān)聯(lián)被破壞。具有這種特點(diǎn)的力，主要是兩大類：靜摩擦力和彈力。具體分析如下：（1）靜摩擦力：-FWF<F^，F(xiàn)=NFfmffmfm 0N若：所需FfWFm，則兩物體相對靜止，若：所需Ff>Fm，則兩物體相對滑動。⑵彈力：F加，0WFTWFtm①支持力/壓力FN:所需FN三0，則兩物體相互接觸，所需FN<0，則兩物體相互分離。②繩中張力FT:所需FT滿足0WFTWFTm，則繩子繃直，兩物體維持某間距，所需FT<0，則繩子松弛，兩物體間距減小，靠近，所需FT>FTm，則繩子繃斷，兩物體間距增大，分開。2、供不可變型特定位置處，其他物體提供的力是一個(gè)確定的值；若需要的力等于該值，則能夠維持物體間的相對位置，若需要的力不等于該值，則兩物體接近或者遠(yuǎn)離。具有這種特點(diǎn)的力有萬有引力、庫侖力、彈簧彈力等。其中萬有引力作用下人造衛(wèi)星的變軌問題就屬于這類問題的典型，下文重點(diǎn)是供可變型，所以將此問題的處理方法單獨(dú)在此處說明，下文不再贅述。如右圖所示，人造衛(wèi)星在離地心廠處的A點(diǎn)以某速度。發(fā)射，若發(fā)射速度合適（為v），衛(wèi)星在該處所受萬有引力恰好等于其在該圓周軌道上做圓周運(yùn)動所需要的向心力，則衛(wèi)星就能在該軌道上做圓周運(yùn)動，有GM解得上做圓周運(yùn)動，有GM解得v,―即有:TOC\o"1-5"\h\z:GM一—一，， ,v2 Mm i』，，一 ,若：v=v=1——，所需要的向心力m—=G ，供求平衡，衛(wèi)星將做圓周運(yùn)動，Arr r r2.. GM v2 Mm,若：v>v= ，所需要的向心力m1>G ，供不應(yīng)求，衛(wèi)星將做離心運(yùn)動，Arr r r2.. GM一—一，， ,v2 Mm 1』，， ,若：v<v= ，所需要的向心力mi<G——，供過于求，衛(wèi)星將做近心運(yùn)動。A r r r2三、動力學(xué)臨界問題處理的基本方法動力學(xué)臨界問題的處理方法有兩種：1、物理分析法第一步：極端分析法一一找到臨界點(diǎn)第二步：分析臨界條件—一受力轉(zhuǎn)變條件如：F=Fm，F(xiàn)N=0，F(xiàn)t=0，F(xiàn)t=Ftm2、數(shù)學(xué)解析法第一步：假設(shè)法—一假設(shè)物體間的該關(guān)聯(lián)正常第二步：動力學(xué)方程（或平衡方程）+受力范圍條件如：下,m<FWfFnNO, 0WFT<Ftm不過，在此處要做一個(gè)說明：物理分析法對學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)或者物理實(shí)驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)有較強(qiáng)的依賴性，而數(shù)學(xué)解析法則對學(xué)生的數(shù)學(xué)能力—-解不等式組—-有較高的要求，因此，兩種方法各有優(yōu)劣，不同學(xué)生、不同問題，方法的選擇就會不同?！纠?】（靜摩擦力類）如圖所示，質(zhì)量M=8kg小車放在光滑的水平面上，在小車上面靜止放置一質(zhì)量m=2kg的小物塊，物塊與小車間的動摩擦因數(shù)〃=0.2?，F(xiàn)在小車右端施加一水平拉力F，要使物塊保持與小車相對靜止.則拉力F不能超過多少？g取10m/s2.【解析】方法一：物理分析法 氯告 第一步：極端分析法一一找到臨界點(diǎn) ?0 Q ~~'F根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，我們知道，拉力F很小時(shí)，m將隨M一起 向右加速運(yùn)動，拉力F很大時(shí)，m將相對M向后滑動。因此，拉力F從很小逐漸增大時(shí)，必定有一個(gè)時(shí)候（F取某個(gè)值F0），此時(shí)，m就要相對M向后滑動但還沒有相對滑動。這個(gè)狀態(tài)即為本問題的臨界點(diǎn)。第二步：分析臨界條件——受力轉(zhuǎn)變條件在拉力F很小時(shí)，m之所以能夠隨M一起向右加速運(yùn)動，是因?yàn)镸對m的靜摩擦力足以維持兩物體相對靜止—-給m提供隨M一起向右加速運(yùn)動的加速度一一這個(gè)加速度隨整體加速度增大而增大；當(dāng)達(dá)到臨界點(diǎn)時(shí)，整體加速度達(dá)到了一個(gè)臨界值，此時(shí)，是最大靜摩擦力給m提供加速度；若整體加速度再增大，靜摩擦力將不足以提供足夠大的加速度—-不能滿足需要，于是就會發(fā)生相對滑動。即：最大靜摩擦力給m提供加速度，是本問題的臨界受力轉(zhuǎn)變條件。小物塊：Mmg=ma0整體：F=（M+m）a0 0聯(lián)立解得：F=（M+m）用=20N0即：拉力F不能超過20N。方法二：數(shù)學(xué)解析法第一步：假設(shè)法——假設(shè)物體間的該關(guān)聯(lián)正常設(shè)m隨M一起向右加速運(yùn)動，加速度為a.第二步：動力學(xué)方程（或平衡方程）受力范圍條件小物塊：F=maf靜整體：F=（M+m）a

其中：F^^^mg/靜聯(lián)立解得F<20N【總結(jié)】本問題中研究對象的選取是關(guān)鍵——在本題中，對才有供需匹配的問題——對來說，拉力需要多大，就可以施加多大，因此，應(yīng)先選為研究對象來分析臨界受力轉(zhuǎn)變條件。若本題拉力施加在上，則應(yīng)先選為研究對象來分析臨界受力轉(zhuǎn)變條件?！纠?】（靜摩擦力類）如圖所示，質(zhì)量m=1kg的物塊放在傾角為0的斜面上，斜面體質(zhì)量M=2kg,斜面與物塊間的動摩擦因數(shù)〃=0.2,地面光滑，0=37°.現(xiàn)對斜面體施加一水平推力F,要使物體m相對斜面靜止，力F應(yīng)為多大？（設(shè)物體與斜面的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g取10m/s2）【解析】方法一：物理分析法第一步：極端分析法一一找到臨界點(diǎn)推力F很小時(shí)，由于本題中日<tan37。，物體m就會相對斜面下滑，推力F很大時(shí)，物體m就會相對斜面上滑，因此，本題有兩個(gè)臨界點(diǎn)：推力F較小且大小合適時(shí)，物體就要相對斜面向下滑而沒有下滑；推力F較大且大小合適時(shí)，物體就要相對斜面向上滑而沒有上滑。第二步：分析臨界條件——受力轉(zhuǎn)變條件推力F大小合適時(shí)，物體m之所以能夠相對斜面靜止，是因?yàn)槟軌蛱峁┑撵o摩擦力足以維持物體m相對斜面靜止;當(dāng)推力F較小且大小合適時(shí)，物體就要相對斜面向下滑而沒有下滑，此時(shí)是沿斜面向上的最大靜摩擦力維持物體m相對斜面靜止，設(shè)此時(shí)推力為F1，此時(shí)物塊受力如圖甲.對m有：%方向：FN1sin0—rFN1cos0=ma1 ①y方向：FN1cos0+rFN1sin0—mg=0 ②解①②兩式得：a1=4.78m/s2對整體有：F1=（M+m）a1,所以F1=14.34N.當(dāng)推力F較大且大小合適時(shí)，物體就要相對斜面向上滑而沒有上滑，此時(shí)是沿斜面向下的最大靜摩擦力維持物體m相對斜面靜止，設(shè)此時(shí)推力為F2,此時(shí)物塊受力如圖乙.對m有：％方向：FN2sin0+rFN2cos0=ma2 ③y方向：FN2cos0—rFN2sin0—mg=0 ④解③④兩式得：a2=11.2m/s2對整體有：F2=（M+m）a2，所以F2=33.6N.F的范圍為：14.34N<F<33.6N.方法二：數(shù)學(xué)解析法第一步：假設(shè)法——假設(shè)物體間的該關(guān)聯(lián)正常設(shè)m隨M一起向左加速運(yùn)動，加速度為a.此時(shí)物塊受力如圖丙.第二步：動力學(xué)方程（或平衡方程）受力范圍條件對m有：TOC\o"1-5"\h\z%方向：FNsin0—Ffcos0=ma ⑤y方向：FNcos0+Ffsin0—mg=0 ⑥由于推力F較小時(shí)，物體m有相對斜面下滑的趨勢（摩擦力沿斜面向上），推力F較大時(shí)，物體m有相對斜面上滑的趨勢（摩擦力沿斜面向下），則有：-RFNWfrFN ⑦解⑤⑥⑦三式，得F的范圍為：14.34N<F<33.6N.

【總結(jié)】物理分析法對學(xué)生分析能力要求較高，但是其分析出來的結(jié)果很直觀；數(shù)學(xué)解析法盡管分析過程簡單些，但計(jì)算上講麻煩一點(diǎn)，而且算出來的結(jié)果直觀性較差?！纠?】（彈力類——FN）試分析在豎直平面內(nèi)的圓周軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動時(shí)，小球通過最高點(diǎn)的條件?！窘馕觥糠椒ㄒ唬何锢矸治龇═OC\o"1-5"\h\z第一步：極端分析法——找到臨界點(diǎn) .——根據(jù)實(shí)驗(yàn)，我們知道，小球在最低點(diǎn)初速度較大時(shí)，小球可以在圓周軌道內(nèi)側(cè)做完整圓周運(yùn)動，小球在最低點(diǎn)初速度較小時(shí)，小球在到達(dá)最高點(diǎn)前就已脫離軌道做了斜拋運(yùn)動。因此，必定有一種情況，小球在 /"'最低點(diǎn)初速度合適時(shí)，小球剛好能夠通過圓周最高點(diǎn)，由能量守恒可知， 0J-此時(shí)小球在最高點(diǎn)速度是確定的某個(gè)值。第二步：分析臨界條件——受力轉(zhuǎn)變條件小球速度較大時(shí)，小球在最高點(diǎn)會緊壓軌道；小球速度較小，小球到最高點(diǎn)前就脫離軌道后與軌道分開；因此，小球剛好通過最高點(diǎn)時(shí)，就是剛好到達(dá)最高點(diǎn)且不壓軌道時(shí)—一即FN=0.此時(shí)V2 ,——對小球： mg=m— 解得v=工gRR即小球通過最高點(diǎn)的條件是：小球在最高點(diǎn)的速度V之族方法二：數(shù)學(xué)解析法第一步：假設(shè)法——假設(shè)物體間的該關(guān)聯(lián)正常其受力如圖所示。設(shè)小球能夠通過最高點(diǎn)，并設(shè)此時(shí)小球通過最高點(diǎn)的速度為V，第二步：動力學(xué)方程（或平衡方程）受力范圍條件其受力如圖所示。L v2對小球，有： mg+F=mnR其中F.只可能向下、不可能向上，即：F>0N N聯(lián)立，解得V>gRR【總結(jié)】如下圖甲、乙兩種情況中，F(xiàn)T、Fn均只能豎直向下，因此小球能夠通過最高點(diǎn)的條件均是v>RRR；如圖丙的情況，輕桿對小球的彈力既可向下也可向上，因此速度既可大于vRR，也可小于JRR，即小球能夠通過最高點(diǎn)的條件是v>0。圖甲 圖乙【例4】（彈力類——FN）如右圖所示，在傾角為e的光滑斜面上端固定一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧，彈簧下端連有一質(zhì)量為m的小球，小球被一垂直于斜面的擋板A擋住，此時(shí)彈簧沒有形變，若手持擋板A以加速度a（a<gsin3）沿斜面勻加速下滑，求：從擋板開始運(yùn)動到小球與擋板分離所經(jīng)歷的時(shí)間?！窘馕觥糠椒ㄒ唬何锢矸治龇ǖ谝徊剑簶O端分析法一一找到臨界點(diǎn)擋板A下滑過程中，最開始一段時(shí)間，小球和擋板一直緊壓在一起，具有相同的加速度；當(dāng)擋板A下滑太遠(yuǎn)時(shí)，小球和擋板就分開了。因此，必定有一個(gè)臨界點(diǎn)一一小球就要離開擋板但還沒有離開。第二步：分析臨界條件——受力轉(zhuǎn)變條件門曙

離開。第二步：分析臨界條件——受力轉(zhuǎn)變條件門曙開始時(shí)小球和擋板一直緊壓在一起，兩者之間有壓力；當(dāng)小球和擋板就分開后，兩者之間沒有壓力—一因此，小球就要離開擋板時(shí)，小球和擋板間的壓力為F=0.此時(shí)，對小球，有： mgsin0—kx=ma即小球做勻加速運(yùn)動發(fā)生的位移為x=m3?—a)時(shí)小球與擋板分離。k由運(yùn)動學(xué)公式X=1at2得從擋板開始運(yùn)動到小球與擋板分離所經(jīng)歷的時(shí)間為t=,：2m(gsin0-a)ka’方法二：數(shù)學(xué)解析法第一步：假設(shè)法——假設(shè)物體間的該關(guān)聯(lián)正常TOC\o"1-5"\h\z設(shè)小球尚未與擋板分離，則其受力如圖所示。 FNF /N^1第二步：動力學(xué)方程(或平衡方程)受力范圍條件 ＞彈一/此時(shí)，對小球，有： mgsin0-FN-kx=ma其中：FN-0e,、m(g, _m(gsin0—a) lf\o"CurrentDocument"聯(lián)立解得：xW~~- "gk即小球做勻加速運(yùn)動發(fā)生的位移為x=m(gs?一a)時(shí)小球與擋板分離。k由運(yùn)動學(xué)公式x=1at2得從擋板開始運(yùn)動到小球與擋板分離所經(jīng)歷的時(shí)間為t=_；2m(gsin0-a)\ika【總結(jié)】分離類問題，分離條件均是相互接觸的兩個(gè)物體間壓力FN=0時(shí)。不過要注意的是，分離之前直到分離瞬間，相互接觸的兩個(gè)物體在垂直接觸面方向始終具有速度和相同加速度。很多學(xué)生以為小球加速度為零時(shí)分離，從而出錯(cuò)。【例5】(彈力類——NT)如圖所示，繩AC、BC一端拴在豎直桿上，另一端拴著一個(gè)質(zhì)量為m的小球，其中AC桿長度為/.當(dāng)豎直桿以某一角速度①轉(zhuǎn)動時(shí)，繩AC、BC均處于繃直狀態(tài)，此時(shí)AC繩與豎直方向夾角為30°,BC繩與豎直方向夾角為45°。試求①的取值范圍。已知重力加速度為g.【解析】方法一：物理分析法第一步：極端分析法——找到臨界點(diǎn)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，我們知道，當(dāng)只有AC繩時(shí)，轉(zhuǎn)動桿的角速度①越大，AC繩偏離豎直方向的夾角就越大。因此，在本題中，若桿轉(zhuǎn)動的角速度①太小，AC繩偏離豎直方向的夾角太小，BC繩就會松弛；若桿轉(zhuǎn)動的角速度①太大，BC繩偏離豎直方向的夾角太大，AC繩就會松弛；桿轉(zhuǎn)動的角速度①合適時(shí)，繩AC、BC均處于繃直狀態(tài)。即存在兩個(gè)臨界點(diǎn)一一桿轉(zhuǎn)動的角速度①較小，BC繩剛好松弛；桿轉(zhuǎn)動的角速度①較大，AC繩剛好松弛一一這兩種情況下，AC繩、BC繩與豎直方向夾角分別為30°和45°不變。第二步：分析臨界條件——受力轉(zhuǎn)變條件桿轉(zhuǎn)動的角速度①較小，BC繩剛好松弛，此時(shí)BC繩中的張力為零，只有AC繩中有張力FT1,設(shè)此時(shí)的角速度為①1,則有豎直方向：FT1cos30°—mg=0水平方向：FT1sin30°=m①12r其中r=lsin30°,12,/3g聯(lián)立解得3JT

桿轉(zhuǎn)動的角速度⑴較大，AC繩剛好松弛，此時(shí)AC繩中的張力為零，只有AC繩中有張力FT2,設(shè)此時(shí)的角速度為刃2,則有豎直方向：FT2cos45°—mg=0水平方向：FT2sin45°=m822r其中r=lsin30°聯(lián)立解得3—一2\l則當(dāng)桿轉(zhuǎn)動角速度滿足I：2逑<3<.當(dāng)時(shí)，繩AC、BC均處于繃直狀態(tài)。3l l方法二：數(shù)學(xué)解析法第一步：假設(shè)法——假設(shè)物體間的該關(guān)聯(lián)正常設(shè)豎直桿以某一角速度①轉(zhuǎn)動時(shí)，繩AC、BC均處于繃直狀態(tài)，此時(shí)AC繩中張力為FT1,BC繩中張力為FT2。。第二步：動力學(xué)方程（或平衡方程）受力范圍條件由牛頓第二定律，有豎直方向：FT1cos30°+FT2cos45°—mg=0水平方向：FT1sin30°+FT2sin45°=mm1r由于繩AC、BC均處于繃直狀態(tài)，因此有 FT1三0,FT2三0聯(lián)立解得：｛與g<3<泮33l ll【總結(jié)】對大多數(shù)學(xué)生來說，物理分析法分析這個(gè)問題要簡單直接一些；數(shù)學(xué)解