第11講求值問題（1）在立體幾何中,通常會(huì)涉及求角度和距離的問題.對(duì)于求角度問題,如果學(xué)過空間向量可以快速地解決這類問題,這里講的求角度問題是按照一般的方法求解的,不涉及空間向量,所以可以把它作為一個(gè)思維拓展來學(xué)習(xí).求體積求體積時(shí)我們需要找合理的高和底面,帶入體積公式,當(dāng)然有時(shí)候我們無法直接求解,需要進(jìn)行一些轉(zhuǎn)換,通常有四種解法:直接轉(zhuǎn)化法、頂點(diǎn)轉(zhuǎn)移法、割補(bǔ)法和同底縮放法.具體看下面例題,要在解題過程中慢慢總結(jié)出自己的方法.方法一:直接轉(zhuǎn)化法直接轉(zhuǎn)化法:證明或者找到一組線面垂直關(guān)系,選擇線面垂直的線作為高,線面垂直的面作為底,帶入錐體體積公式求解.【例1】如下圖所示,在四棱錐中,底面為正方形,平面平面,點(diǎn)為的中點(diǎn).(1)求證:平面.(2)求四棱錐的體積.【解析】(1)證明為的中點(diǎn),,平面平面,平面平面,平面.(2),..【例2】如下圖所示,在三棱錐中,平面平面為等邊三角形,且,點(diǎn),點(diǎn)分別為的中點(diǎn).(1)求證:平面平面.(2)求三棱錐的體積.【解析】(1)證明：為的中點(diǎn),.平面平面,平面平面,平面,平面.平面,平面平面.(2)且,點(diǎn).為的中點(diǎn),.又平面,.【例3】如右圖所示,在四棱錐的底面四邊形中,,在中,,平面平面.(1)證明:平面.(2)若為線段的中點(diǎn),求三棱錐的體積.【解析】(1)證明如右圖所示,取的中點(diǎn),連接.在中,,則為等邊三角形.點(diǎn)為的中點(diǎn),.平面平面,平面平面平面,平面.平面.,平面.在四邊形中,且四邊形為平行四邊形.平面.(2)由(1)題知,四邊形為平行四邊形.,四邊形為正方形,.是邊長(zhǎng)4為等邊三角形.平面到平面的距離.平面,平面平面.兩點(diǎn)到平面的距離相等,均為.又為線段的中點(diǎn),到平面的距離.由(1)題知,平面,又平面.方法二:頂點(diǎn)轉(zhuǎn)移法頂點(diǎn)轉(zhuǎn)移法:第一步:找線面平行或面面平行.在求錐體體積時(shí),找到與底面平行的直線或者平面,該直線或者平面包含著頂點(diǎn).第二步:頂點(diǎn)轉(zhuǎn)移.利用線面平行或者面面平行距離相等的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)頂點(diǎn)轉(zhuǎn)移,從而得到可直接求解的高線.第三步:帶入體積公式.求出底面積,求出高線,代入體積公式,即可求出錐體體積.【例1】如下圖所示,在六面體中,四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形,,平面平面.求三棱錐的體積.【解析】平面平面,平面.點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離..如下圖所示,取的中點(diǎn),連接.,平面平面,平面.棱錐的高.,.方法三:割補(bǔ)法割補(bǔ)法:若所求幾何體的體積不容易直接求解出來,就通過切割組合的方式,先分別求出標(biāo)準(zhǔn)幾何體體積,然后再通過組合切割的方式求解.【例1】如下圖所示,四棱錐中,底面,點(diǎn),點(diǎn)分別為的中點(diǎn),.求三棱錐的體積.【解析】點(diǎn)為的中點(diǎn),.又,.,,.【例2】如下圖所示,已知四邊形和均為平行四邊形,點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰好為點(diǎn),以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)的中點(diǎn)為點(diǎn)的中點(diǎn)為點(diǎn),且.(1)求證:平面平面.(2)求幾何體的體積?！窘馕觥?1)證明點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰好為點(diǎn)平面.又∵平面,∴平面平面.又∵以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)點(diǎn).,點(diǎn)為正方形.∵平面平面,∴平面.∵平面,又∵,∴.∵的中點(diǎn)為,∵.∵平面平面,平面.∵平面,∴平又平面.(2)連接(圖略),由(1)題知,平面.又∵,∴平面.又∵,∴平面.∴.∴幾何體的體積為4.【例3】如下圖所示,四棱錐的側(cè)面是正三角形,,且,點(diǎn)是的中點(diǎn).(1)求證:平面.(2)若平面平面,且,求多面體的體積.【解析】(1)證明：如下圖所示,取的中點(diǎn)