第25講弦中點(diǎn)結(jié)論與端點(diǎn)弦結(jié)論弦中點(diǎn)結(jié)論所謂弦中點(diǎn)問(wèn)題就是直線(xiàn)和橢圓相交的弦的中點(diǎn)問(wèn)題,我們?cè)诮鉀Q這一類(lèi)問(wèn)題的時(shí)候,常用的方法是點(diǎn)差法,這是需要掌握的.但進(jìn)一步地推導(dǎo),我們可以得出一個(gè)關(guān)于弦中點(diǎn)的二級(jí)結(jié)論,即是的中點(diǎn)),我們?cè)诮庑☆}時(shí)可以直接用,而在解大題時(shí),則需要先證明了才能用,下面進(jìn)行一個(gè)具體的推導(dǎo)：推導(dǎo):以橢圓方程為例,設(shè)直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn),是的中點(diǎn),則用平方差公式進(jìn)行分解,則可得到兩個(gè)量之間的聯(lián)系,.直線(xiàn)的斜率的中點(diǎn)的坐標(biāo)為對(duì)于雙曲線(xiàn)來(lái)說(shuō),也是類(lèi)似的推導(dǎo)方式,可得.用弦中點(diǎn)結(jié)論求離心率【例1】已知橢圓,點(diǎn)為左焦點(diǎn),點(diǎn)為下頂點(diǎn),平行于的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn),且的中點(diǎn)為點(diǎn),則橢圓的離心率為()A. B. C. D. 【解析】(1)一般方法:設(shè)點(diǎn),點(diǎn),又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為點(diǎn),則.∵在橢圓上,∴.兩式相減得.∴.∴,平方可得,∴,故選A.(2)弦中點(diǎn)結(jié)論法:∵.帶入弦中點(diǎn)結(jié)論【例2】已知橢圓的方程為),斜率為的直線(xiàn)與橢圓相交于,兩點(diǎn),且線(xiàn)段的中點(diǎn)為點(diǎn),則該橢圓的離心率為()A. B. C. D. 【解析】(1)一般方法設(shè)，則兩式作差得,又,線(xiàn)段的中點(diǎn)為,即∴該橢圓的離心率為.故選C.(2)弦中點(diǎn)結(jié)論法∵,帶入弦中點(diǎn)結(jié)論用弦中點(diǎn)結(jié)論求方程【例1】直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn),且線(xiàn)段的中點(diǎn)為,求直線(xiàn)的方程.【解析】點(diǎn)差法設(shè)點(diǎn),點(diǎn).∵是上的點(diǎn)，聯(lián)立,作差得,而線(xiàn)段的中點(diǎn)為,∴.從而直線(xiàn)斜率.直線(xiàn)的方程為,即.用弦中點(diǎn)結(jié)論法驗(yàn)證答案.∵,帶入弦中點(diǎn)結(jié)論.直線(xiàn)的方程為,即.【例2】已知橢圓,點(diǎn)是橢圓上的兩個(gè)點(diǎn),點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn),求.【解析】法一:方程聯(lián)立法當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí),線(xiàn)段的中點(diǎn)在軸上,不符合題意.故可設(shè)直線(xiàn)的方程為,并設(shè).聯(lián)立方程,消去得,.由點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)知,,∴,解得.∴.∴.法二:點(diǎn)差法當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí),線(xiàn)段的中點(diǎn)在軸上,不符合題意.設(shè)點(diǎn),點(diǎn).將其代入橢圓方程得，由點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)知,,直線(xiàn)斜率為,直線(xiàn)方程為.聯(lián)立,消去得,用弦中點(diǎn)結(jié)論法驗(yàn)證答案.∵,帶入弦中點(diǎn)結(jié)論.∴直線(xiàn)方程為,和橢圓方程聯(lián)立即可求出弦長(zhǎng).端點(diǎn)弦結(jié)論我們把橢圓上的點(diǎn)到端點(diǎn)的弦，稱(chēng)之為端點(diǎn)弦，我們?cè)诮忸}的時(shí)候，經(jīng)常會(huì)碰到圓錐曲線(xiàn)上的點(diǎn)到兩個(gè)端點(diǎn)斜率乘積的問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題可歸結(jié)為端點(diǎn)弦問(wèn)題．如，橢圓上任一點(diǎn)到兩頂點(diǎn)(同一軸上的)連線(xiàn)的斜率乘積為定值：．一、橢圓的端點(diǎn)弦結(jié)論結(jié)論一：橢圓長(zhǎng)軸左、右兩頂點(diǎn)分別為．橢圓上不同于點(diǎn)的任一動(dòng)點(diǎn)，則．證明：∵點(diǎn)在橢圓上，∴，則．∴(定值)．同理可證橢圓短軸兩頂點(diǎn)分別為．橢圓上不同于的一動(dòng)點(diǎn)．同理可證橢圓：長(zhǎng)軸兩頂點(diǎn)為．橢圓上不同于的任一動(dòng)點(diǎn)，．同理可證橢圓：短軸兩頂點(diǎn)為．橢圓上不同于的任一動(dòng)點(diǎn)，則為定值．二、雙曲線(xiàn)的端點(diǎn)弦結(jié)論結(jié)論二：雙曲線(xiàn)兩頂點(diǎn)分別為，雙曲線(xiàn)上不同于上一動(dòng)點(diǎn)，則．證明：∵點(diǎn)在雙曲線(xiàn)1上，得，則．∴(定值)．同理可證雙曲線(xiàn)：上一動(dòng)，點(diǎn)，兩頂點(diǎn)分別為，．．我們把思路反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的連線(xiàn)的斜率乘積為定值，那么這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是什么呢?很顯然是一個(gè)橢圓或者雙曲線(xiàn)，這就是圓錐曲線(xiàn)的第三定義，總結(jié)起來(lái)為：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的連線(xiàn)的斜率之積為不等于0和的常數(shù)的軌跡為橢圓(不含兩定點(diǎn))或者是雙曲線(xiàn)(不含兩定點(diǎn))．當(dāng)斜率乘積為負(fù)分?jǐn)?shù)時(shí)為橢圓(不含兩定點(diǎn))，當(dāng)斜率積為正數(shù)時(shí)為雙曲線(xiàn)(不含兩定點(diǎn))．特殊地，當(dāng)斜率乘積為1時(shí)是等軸雙曲線(xiàn)．第三定義求軌跡方程問(wèn)題【例1】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)的斜率分別為，且，記點(diǎn)的軌跡為，求的方程．【解析】設(shè)點(diǎn)，則，．整理得．∵斜率存在，∴，∴的方程：． 端點(diǎn)弦結(jié)論應(yīng)用【例1】若分別是橢圓1長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)斜率為，且，求直線(xiàn)斜率的取值范圍．【解析】由題意得點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)，則．∴．∵在橢圓上，∴，∴，∴．∵，∴，即．用端點(diǎn)弦結(jié)論驗(yàn)證答案：由端點(diǎn)弦結(jié)論得，∴．∵，∴，即．【例2】如下圖所示，若分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足．連接，交橢圓于點(diǎn)，試問(wèn)軸上是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)直線(xiàn)的交點(diǎn)．若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】由?圓方程得，可設(shè)．，∴直線(xiàn)方程為：．聯(lián)立．由韋達(dá)定理可知．代入直線(xiàn)可得