第第頁(yè)數(shù)學(xué)人教A版（2023）必修第二冊(cè)8.6.3平面與平面垂直課件（共42張ppt）(共42張PPT)

8.6.3平面與平面垂直（1）

第八章立體幾何初步

引入

1.直線(xiàn)與平面垂直的定義

如果直線(xiàn)l與平面α內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都垂直，則稱(chēng)直線(xiàn)l和平面α互相垂直.

2.直線(xiàn)和平面垂直的判定定理

如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)垂直，那么該直線(xiàn)與此平面垂直.

垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行．

a⊥α

b⊥α

a//b

3.直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)定理

在平面幾何中，我們先定義了角的概念，利用角刻畫(huà)兩條相交直線(xiàn)的位置關(guān)系，進(jìn)而研究直線(xiàn)與直線(xiàn)互相垂直這種特殊情況.

引入

二面角

在日常生活中，有很多平面與平面相交的例子．

類(lèi)似地，我們需要先引進(jìn)二面角的概念，用以刻畫(huà)兩個(gè)相交平面的位置關(guān)系，進(jìn)而研究?jī)蓚€(gè)平面互相垂直.

探究新知

直線(xiàn)上的一點(diǎn)將直線(xiàn)分割成兩部分，每一部分都叫做射線(xiàn)．

射線(xiàn)

射線(xiàn)

半平面

半平面

1.二面角

①半平面：平面上的一條直線(xiàn)將平面分割成兩部分，每一部分叫半平面．

②二面角的定義：從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線(xiàn)叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.

l

A

B

β

α

．P

．Q

③二面角的記法：

記作二面角α-AB-β；

二面角P-AB-Q；

二面角α-l-β或P-l-Q．

棱

面

探究新知

④二面角的畫(huà)法

Ⅰ平臥式：

A

B

l

A

B

l

A

B

C

D

Ⅱ直立式：

A

B

A

B

l

探究新知

問(wèn)題1那么該如何定量地刻畫(huà)兩平面的位置關(guān)系呢？根據(jù)前面研究異面直線(xiàn)所成的角和直線(xiàn)與平面所成的角的經(jīng)驗(yàn)，我們可以

雖然都是平面與平面相交，但在直觀感覺(jué)上，兩平面的“開(kāi)合程度”并不一樣．比如日常生活中，常說(shuō)“把門(mén)開(kāi)大一些”，這說(shuō)明門(mén)與墻面所形成的角度有不同的狀態(tài)．

用一個(gè)平面角來(lái)度量二面

角的大?。@樣的平面角該如何建構(gòu)呢？

問(wèn)題3在二面角的棱上任取一點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線(xiàn)形成的角度是唯一確定的嗎？為什么？

探究新知

P

A

B

不能.因?yàn)榻堑拇笮?huì)由于所作射線(xiàn)的位置不一樣而不同，而度量一個(gè)量的基本要求是“唯一性”．

是唯一確定的．根據(jù)等角定理.

問(wèn)題2在二面角的棱上任取一點(diǎn)，從該點(diǎn)出發(fā)，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)任作一條射線(xiàn)，可得一個(gè)平面角，這樣的平面角能用來(lái)刻畫(huà)二面角的大小嗎？為什么？

O

A

B

探究新知

2.二面角的平面角

在二面角α-l-β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線(xiàn)OA和OB，則射線(xiàn)OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角.

問(wèn)題3在二面角的平面角的定義中O點(diǎn)是在棱上任取的，那么∠AOB的大小與點(diǎn)O在棱上的位置有關(guān)系嗎？無(wú)關(guān).根據(jù)等角定理.

二面角的大小可以用它的平面角來(lái)度量，二面角的平面角是多少度，就說(shuō)這個(gè)二面角是多少度.

注意：(1)大小與點(diǎn)O的位置無(wú)關(guān).

(2)二面角的平面角兩邊一定要垂直于棱.

問(wèn)題4二面角的平面角θ的取值范圍是什么？

探究新知

直二面角的定義：我們把平面角是直角的二面角叫做直二面角．

銳二面角

直二面角

鈍二面角

注意區(qū)分各種角的取值范圍：

異面直線(xiàn)所成角：___________，線(xiàn)面角：____________.

(0°,90°]

[0°,90°]

α(β)

l

A(B)

O

α

β

l

A

B

O

θ=0o

二面角的取值范圍：二面角的平面角θ的取值范圍為

θ=180o

0o≤θ≤180o．

探究新知

教室里的墻面所在平面與地面所在平面相交，它們所成的二面角是直二面角，我們常說(shuō)墻面直立于地面上.

問(wèn)題5教室相鄰的兩個(gè)墻面與地面可以構(gòu)成幾個(gè)二面角分別指出構(gòu)成這些二面角的面、棱、平面角及其度數(shù)．

二面角C-AO-B

二面角A-BO-C

二面角A-CO-B

探究新知

如圖畫(huà)兩個(gè)互相垂直的平面時(shí)，通常把表示平面的兩個(gè)平行四邊形的一組邊畫(huà)成垂直．

一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．平面α與β垂直，記作α⊥β．

3.兩平面垂直的定義

探究新知

在明確了兩個(gè)平面互相垂直的定義的基礎(chǔ)上，我們研究?jī)蓚€(gè)平面垂直的判定和性質(zhì).先研究平面與平面垂直的判定．

這種方法告訴我們，如果墻面經(jīng)過(guò)地面的垂線(xiàn)，那么墻面與地面垂直.

問(wèn)題6建筑工人在砌墻時(shí)，常用鉛錘來(lái)檢測(cè)所砌的墻面與地面是否垂直．如果系有鉛錘的細(xì)線(xiàn)緊貼墻面，就認(rèn)為墻面垂直于地面．這種方法說(shuō)明了什么道理？

類(lèi)似結(jié)論也可以在長(zhǎng)方體中發(fā)現(xiàn)．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'中，平面ADD'A'經(jīng)過(guò)平面ABCD的一條垂線(xiàn)AA'，此時(shí)，平面ADD'A'垂直于平面ABCD．

探究新知

如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面互相垂直.

這個(gè)定理說(shuō)明了，可以由直線(xiàn)與平面垂直證明平面與平面垂直.

4.平面與平面垂直的判定定理

線(xiàn)面垂直面面垂直

圖形語(yǔ)言：

符號(hào)語(yǔ)言：

β

a

A

α

例題講解

【例7】如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，求證平面A'BD⊥平面ACC'A'．

例題講解

【例8】如圖所示，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)．求證：平面PAC⊥平面PBC．

課堂練習(xí)

【練習(xí)】(1)在四面體A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能在圖中發(fā)現(xiàn)哪些平面互相垂直，為什么？

由AB⊥平面BCD可知：

平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD．

易證：CD⊥平面ABC，故：平面ACD⊥平面ABC．

教科書(shū)第158頁(yè)的例8以及練習(xí)的第3題中出現(xiàn)的四面體在中國(guó)古代被稱(chēng)為“鱉臑”，即四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐．“鱉臑”是用來(lái)展示空間垂直關(guān)系的經(jīng)典素材，值得我們關(guān)注．

探究新知

四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱(chēng)之為“鱉臑”；

將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)之為“陽(yáng)馬”；

底面是直角形的直三棱柱稱(chēng)之為“塹堵”．

塹堵

陽(yáng)馬

鱉臑

兩個(gè)塹堵組成一個(gè)長(zhǎng)方體

一個(gè)陽(yáng)馬和一個(gè)鱉臑組成一個(gè)塹堵

兩個(gè)鱉臑組成一個(gè)陽(yáng)馬

課堂練習(xí)

【練習(xí)】(1)在四面體A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能在圖中發(fā)現(xiàn)哪些平面互相垂直，為什么？

平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD．

平面ACD⊥平面ABC．

(2)已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，哪些平面互相垂直

平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAB⊥平面ABCD，

平面PBC⊥平面PAB，

平面PAB⊥平面PAD，

平面PDC⊥平面PAD，

課堂小結(jié)

1.知識(shí)點(diǎn)：

2.方法：轉(zhuǎn)化思想.

3.易錯(cuò)點(diǎn)：二面角的平面角的取值范圍與線(xiàn)與線(xiàn)，線(xiàn)與面所成交的范圍混淆.

平面與平面垂直的概念

平面與平面垂直的判定定理

二面角及其平面角的概念

布置作業(yè)

（1）教材P163:7,8

（2）手工作業(yè)：用硬紙板制作一個(gè)陽(yáng)馬和一個(gè)鱉臑.

8.6.3平面與平面垂直（2）

第八章立體幾何初步

引入

2、平面與平面垂直的定義

兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，這兩個(gè)平面互相垂直.

1、什么是二面角？怎么找到二面角的平面角？

從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．

引入

3、平面與平面垂直的判定定理

如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面互相垂直.

b

符號(hào)表示：

下面我們研究平面與平面垂直的性質(zhì)，也就是在兩個(gè)平面互相垂直的條件下，能推出哪些結(jié)論．

如果兩個(gè)平面互相垂直，根據(jù)已有的研究經(jīng)驗(yàn)，我們可以先研究其中一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)與另一個(gè)平面具有什么位置關(guān)系．

線(xiàn)面垂直面面垂直

引入

問(wèn)題1如圖，已知平面α⊥平面β，α∩β=a，則β內(nèi)異于a的直線(xiàn)b與a是什么位置關(guān)系？相應(yīng)地，b與α是什么位置關(guān)系？

因?yàn)閎與a在同一平面內(nèi)，故可能平行，也可能相交

b//a→b//α

b與a相交→b與α相交

問(wèn)題2教室內(nèi)的黑板所在的平面與地面所在的平面垂直,在黑板上任意畫(huà)一條直線(xiàn)與地面垂直嗎怎樣畫(huà)才能保證所畫(huà)直線(xiàn)與地面垂直

探究新知

兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線(xiàn)的直線(xiàn)與另一個(gè)平面垂直.

符號(hào)語(yǔ)言：

1.平面與平面垂直的性質(zhì)定理

面面垂直線(xiàn)面垂直

例題講解

例1定理辨析.

已知平面α⊥平面β，α∩β＝l下列命題.

（2）垂直于交線(xiàn)l的直線(xiàn)必垂直于平面β（）

（3）過(guò)平面α內(nèi)任意一點(diǎn)作交線(xiàn)的垂線(xiàn)，則此垂線(xiàn)必垂直于平面β（）

（1）平面α內(nèi)的任意一條直線(xiàn)必垂直于平面β（）

√

×

×

l

探究新知

問(wèn)題3設(shè)α⊥β，點(diǎn)P在平面α內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作平面β的垂線(xiàn)a,直線(xiàn)a與平面α具有什么位置關(guān)系

如下圖，過(guò)點(diǎn)P在α內(nèi)作直線(xiàn)b⊥c，則b⊥β.

因?yàn)檫^(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與β垂直，所以直線(xiàn)a與直線(xiàn)b重合，因此aα.

aα

例題講解

例2如圖，已知平面α⊥平面β，不在平面α內(nèi)的直線(xiàn)a⊥β，判斷a與α的位置關(guān)系．

解：在α內(nèi)作垂直于α與β的交線(xiàn)的直線(xiàn)b．

∵α⊥β

∴b⊥β

∵a⊥β

∴a∥b

∵a

∴a∥α，即直線(xiàn)a與平面α平行

例題講解

例3如圖，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．

求證：BC⊥平面PAB．

P

A

B

C

證明：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥PB，垂足為E．

∵平面PAB⊥平面PBC，

平面PAB∩平面PBC＝PB，

∴AE⊥平面PBC．

∵BC平面PBC，∴AE⊥BC．

又∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，

∴PA⊥BC．

又PA∩AE＝A，∴BC⊥平面PAB．

課堂練習(xí)

練習(xí)1如圖，四棱錐VABCD的底面是矩形，側(cè)面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.

求證：平面VBC⊥平面VAC.

課堂練習(xí)

練習(xí)2判斷下列結(jié)論

()

()

()

()

()

√

√

×

√

()

×

√

探究新知

直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直

直線(xiàn)與平面垂直

平面與平面垂直

判定

性質(zhì)

判定

定義

課堂練習(xí)

練習(xí)1如圖，四棱錐VABCD的底面是矩形，側(cè)面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.

求證：平面VBC⊥平面VAC.

課堂練習(xí)

練習(xí)2如圖，棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.

證明：平面AB1C⊥平面A1BC1.

課堂練習(xí)

練習(xí)3如圖，在四棱錐PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD.

求證：平面PDC⊥平面PAD.

課堂練習(xí)

練習(xí)3如圖所示，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，E為棱CC'中點(diǎn)，求二面角A'-BD-E的大?。?/p>

探究新知

求二面角的一般步驟：

1．作：在棱上選擇恰當(dāng)?shù)囊粋€(gè)點(diǎn)，在兩半平面內(nèi)分別作與棱垂直的射線(xiàn)，

兩射線(xiàn)組成的角，即為二面角的平面角；

2．證：證明(1)中所作出的角就是二面角的平面角；

（注：關(guān)鍵證明線(xiàn)線(xiàn)垂直）

3．求：通過(guò)解三角形，求出(1)中所作的角的大?。?/p>

課堂練習(xí)

練習(xí)4

探究新知

用三垂法作二面角的平面角的一般步驟