集合及其表示方法一、元素與集合的概念及表示1、元素：一般地，把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，元素常用小寫的拉丁字母a，b，c，…表示．2、集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡(jiǎn)稱為集)，集合通常用大寫的拉丁字母A，B，C，…表示．二、元素的特性1、確定性給定的集合，它的元素必須是確定的．也就是說(shuō)，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了．簡(jiǎn)記為“確定性”．注意：如果元素的界限不明確，即不能構(gòu)成集合。例如著名的科學(xué)家；比較高的人等2、互異性一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的．也就是說(shuō)，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的．簡(jiǎn)記為“互異性”．利用集合中元素的特異性求參數(shù)：（1）集合問題的核心即研究集合中的元素，在解決這類問題時(shí)，要明確集合中的元素是什么；（2）構(gòu)成集合的元素必須是確定的(確定性)，且是互不相同的(互異性)，書寫時(shí)可以不考慮先后順序(無(wú)序性)．（3）利用集合元素的特性求參數(shù)問題時(shí)，先利用確定性解出字母所有可能值，再根據(jù)互異性對(duì)集合中元素進(jìn)行檢驗(yàn)，要注意分類討論思想的應(yīng)用．3、無(wú)序性：給定集合中的元素是不分先后，沒有順序的．簡(jiǎn)記為“無(wú)序性”．三、元素與集合的關(guān)系1、屬于與不屬于概念：（1）屬于：如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于集合A，記作a∈A．（2）不屬于：如果a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于集合A，記作a?A．2、元素與集合關(guān)系的判斷方法：（1）直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可．（2）推理法：對(duì)于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時(shí)應(yīng)首先明確已知集合中的元素具有什么特征．四、常用的數(shù)集及其記法名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集記法或五、列舉法把集合的所有元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“{}”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法．注意：(1)元素與元素之間必須用“，”隔開．(2)集合中的元素必須是明確的．(3)集合中的元素不能重復(fù)．(4)集合中的元素可以是任何事物．六、描述法1、定義：一般地，設(shè)A表示一個(gè)集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法．有時(shí)也用冒號(hào)或分號(hào)代替豎線．2、用描述法表示集合（1）首先應(yīng)弄清楚集合的屬性，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他的類型．一般地，數(shù)集用一個(gè)字母代表其元素，而點(diǎn)集則用一個(gè)有序數(shù)對(duì)來(lái)表示．（2）若描述部分出現(xiàn)元素記號(hào)以外的字母，要對(duì)新字母說(shuō)明其含義或取值范圍．（3）多層描述時(shí)，應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確使用“且”和“或”，所有描述的內(nèi)容都要寫在集合內(nèi)．題型一判斷元素是否構(gòu)成集合【例1】（2023秋·四川成都·高一?？奸_學(xué)考試）下列各組對(duì)象不能構(gòu)成集合的是（）A．上課遲到的學(xué)生B．2023年高考數(shù)學(xué)難題C．所有有理數(shù)D．小于的正整數(shù)【答案】B【解析】根據(jù)集合中元素的確定性可知，“2023年高考數(shù)學(xué)難題”中的“難題”沒有評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，不具備確定性，因此不能構(gòu)成集合.故選：B【變式11】（2022秋·福建泉州·高一月考）下列各組對(duì)象不能構(gòu)成集合的是（）A．中國(guó)所有直轄市B．某校高三的聰明學(xué)生C．2020年參加強(qiáng)基計(jì)劃招生的高校D．中國(guó)的四大發(fā)明【答案】B【解析】根據(jù)集合的定義及集合中元素的特征，可得：A中，中國(guó)所有直轄市是確定的，所以可以構(gòu)成一個(gè)集合；B中，某校高三的聰明學(xué)生是不確定的，所以不能構(gòu)成一個(gè)集合；C中，2020年參加強(qiáng)基計(jì)劃招生的高校時(shí)確定的，所以可以構(gòu)成一個(gè)集合；D中，中國(guó)的四大發(fā)明時(shí)確定的，所以可以構(gòu)成一個(gè)集合.故選：B.【變式12】（2022秋·河南信陽(yáng)·高一校考期中）考察下列每組對(duì)象，能構(gòu)成集合的是（）①中國(guó)各地的美麗鄉(xiāng)村；②直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)；③不小于的自然數(shù)；④截止到年月日，參與“一帶一路”的國(guó)家．A．③④B．②③④C．②③D．②④【答案】B【解析】對(duì)于①，“美麗”標(biāo)準(zhǔn)不明確，不符合集合中元素的確定性，①中對(duì)象不能構(gòu)成集合；對(duì)于②③④，每組對(duì)象的標(biāo)準(zhǔn)明確，都符合集合中元素的確定性，②③④中對(duì)象可以構(gòu)成集合.故選：B.【變式13】（2022秋·陜西咸陽(yáng)·高一月考）（多選）下列選項(xiàng)中能構(gòu)成集合的是（）A．高一年級(jí)跑得快的同學(xué)B．中國(guó)的大河C．3的倍數(shù)D．大于6的有理數(shù)【答案】CD【解析】集合的元素要滿足“確定性”，所以AB選項(xiàng)不符合，CD選項(xiàng)符合.故選：CD題型二判斷元素與集合的關(guān)系【例2】（2023春·福建·高一永定第一中學(xué)?？奸_學(xué)考）給出下列6個(gè)關(guān)系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A．4B．2C．3D．5【答案】A【解析】為無(wú)理數(shù)，有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)，所以，所以①正確；是無(wú)理數(shù)，所以，所以②錯(cuò)誤；不是正整數(shù)，所以，所以③正確；，所以④正確；是無(wú)理數(shù)，所以，所以⑤正確；，所以⑥錯(cuò)誤.故選:A.【變式21】（2022秋·甘肅·高一?？计谥校ǘ噙x）已知集合，則有（）A．B．C．D．【答案】AB【解析】，所以，，，.故選：AB.【變式22】（2023秋·山東臨沂·高一?？奸_學(xué)考試）已知集合，下列說(shuō)法正確的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得或，則集合，所以，，，.故選：B.【變式23】（2022秋·遼寧營(yíng)口·高一校考階段練習(xí)）（多選）已知x，y，z為非零實(shí)數(shù)，代數(shù)式的值組成的集合是M，則下列判斷正確的是（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)中有兩個(gè)大于0，另一個(gè)小于0時(shí)，，當(dāng)中有兩個(gè)小于0，另一個(gè)大于0時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以代數(shù)式的值組成的集合是，故B錯(cuò)誤.故選：ACD.【變式24】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知集合，，．若，，．則下面結(jié)論中一定正確的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意，設(shè)，，下面的均為整數(shù)，則，，，不是偶數(shù)時(shí)，，，故選：B．題型三利用集合元素的互異性求參數(shù)【例3】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）數(shù)集中的x不能取的數(shù)值的集合是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由解得；由解得．∴x不能取的值的集合為．故選：C．【變式31】（2023秋·山東臨沂·高一?？奸_學(xué)考試）集合，若，則【答案】【解析】因?yàn)?，所以，若，則可得或2，當(dāng)時(shí)，，不滿足互異性，舍去，當(dāng)時(shí)，，滿足題意;若，則，此時(shí)，不滿足互異性，舍去；綜上故答案為：【變式32】（2022秋·重慶萬(wàn)州·高一?？计谥校┮阎?，且，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】1或2【解析】因?yàn)榧?，且，所以或，解得或，?dāng)，集合，滿足題意；當(dāng)，集合，滿足題意；故答案為：1或2【變式33】（2022秋·河南南陽(yáng)·高一校聯(lián)考期中）已知集合，，若，，則______.【答案】【解析】因?yàn)?，所以或或，解得或或，因?yàn)椋曰蚧?，解得或或，又因?yàn)?，所以或，?故答案為：題型四根據(jù)集合中元素個(gè)數(shù)求參數(shù)【例4】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）由，，3組成的一個(gè)集合A，若A中元素個(gè)數(shù)不是2，則實(shí)數(shù)a的取值可以是（）A．B．1C．D．2【答案】D【解析】由題意由，，3組成的一個(gè)集合A，A中元素個(gè)數(shù)不是2，因?yàn)闊o(wú)解，故由，，3組成的集合A的元素個(gè)數(shù)為3，故，即，即a可取2，即A，B，C錯(cuò)誤，D正確，故選：D【變式41】（2022秋·北京·高一月考）已知集合是單元素集，用列舉法表示的取值集合___________.【答案】【解析】由題意，集合是單元素集，即方程有唯一解，，當(dāng)時(shí)，原式等于，符合題意；當(dāng)時(shí)，原式等于，符合題意；當(dāng)時(shí)，方程轉(zhuǎn)化為有唯一解，，得，所以的取值集合為.故答案為：【變式42】（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·高一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校月考）集合為單元素集合，則______.【答案】或【解析】因?yàn)榧蠟閱卧丶?，所以有且只有一個(gè)解，當(dāng)，即時(shí)，方程可化為，解得，滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)，方程的解為，滿足題意；綜上：或.故答案為：或.【變式43】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合中的元素滿足：，且，又集合中恰有三個(gè)元素，則整數(shù)，集合中的元素是．【答案】63，4，5【解析】由題意知，又，，且集合P中恰有三個(gè)元素，所以，此時(shí)集合P中的元素是3，4，5．故答案為：6；3，4，5.題型五用列舉法表示集合【例5】（2022秋·山西運(yùn)城·高一?？迹┘?，用列舉法表示為（）A．1B．2C．D．【答案】C【解析】故選：C【變式51】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）集合用列舉法可表示為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意可得，∴，即用列舉法為.故選：B【變式52】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）集合中的元素為．【答案】【解析】∴該集合中的元素為．故答案為：【變式53】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）用列舉法表示下列集合．（1）不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合A；（2）小于8的質(zhì)數(shù)組成的集合B；（3）方程的實(shí)數(shù)根組成的集合C；（4）一次函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)組成的集合D．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）不大于10的非負(fù)偶數(shù)有，所以；（2）小于8的質(zhì)數(shù)有，所以；（3）方程的實(shí)數(shù)根為，所以．（4）由，得，所以一次函數(shù)與圖象的交點(diǎn)為，所以．題型六用描述法表示集合【例6】（2021秋·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）集合的意義是（）A．第二象限內(nèi)的點(diǎn)集B．第四象限內(nèi)的點(diǎn)集C．第二、四象限內(nèi)的點(diǎn)集D．不在第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)的集合【答案】D【解析】因?yàn)橐馕吨彤愄?hào)或至少一個(gè)為零，故為第二、四象限內(nèi)的點(diǎn)或坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，即不在第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)，所以的意義是不在第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)的集合.故選：D．【變式61】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）用描述法表示下列集合．（1）所有不在第一、三象限的點(diǎn)組成的集合；（2）所有被3除余1的整數(shù)組成的集合；（3）使有意義的實(shí)數(shù)x組成的集合．（4）方程的解集．【答案】（1）；（2）（3）且；（4）【解析】（1）∵不在第一、三象限的點(diǎn)分布在第二、四象限或坐標(biāo)軸上，∴所有不在第一、三象限的點(diǎn)組成的集合為．（2）∵被3除余1的整數(shù)可表示為∴所有被3除余1的整數(shù)組成的集合為．（3）要使有意義．則．解得且．∴使有意義的實(shí)數(shù)x組成的集合為且．（4）由，解得．∴方程的解集為．【變式62】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）用描述法表示下列集合：（1）；（2）偶數(shù)集；（3）被3除余2的正整數(shù)組成的集合；（4）．【答案】（1）且；（2）（3）；（4）【解析】（1）原集合為，則描述法表示為：且.（2）偶數(shù)集，用描述法表示為：.（3）被3除余2的正整數(shù)組成的集合，用描述法表示為：.（4）原集合為，用描述法表示為.【變式63】