計(jì)算材料學(xué)概述計(jì)算材料學(xué)是基于物理建模與數(shù)值計(jì)算方法，通過(guò)理論計(jì)算主動(dòng)對(duì)材料-器件-微系統(tǒng)的本征特性、結(jié)構(gòu)與組分、使用性能以及合成與制備工藝進(jìn)行綜合設(shè)計(jì)，達(dá)到對(duì)材料結(jié)構(gòu)與功能的調(diào)控，并提供優(yōu)化設(shè)計(jì)和協(xié)同制造技術(shù)的一門交叉邊緣學(xué)科。1密度泛函理論密度泛函理論是一種研究多電子體系電子結(jié)構(gòu)的量子力學(xué)方法。密度泛函理論在物理和化學(xué)上都有廣泛的應(yīng)用，特別是用來(lái)研究分子和凝聚態(tài)的性質(zhì)，是凝聚態(tài)物理和計(jì)算化學(xué)領(lǐng)域最常用的方法之一。在通常的多體問(wèn)題電子結(jié)構(gòu)的計(jì)算中，原子核可以看作靜止不動(dòng)的（波恩-奧本海默近似），這樣電子可看作在原子核產(chǎn)生的靜電勢(shì)I中運(yùn)動(dòng)。電子的定態(tài)可由滿足多體薛定諤方程的波函數(shù),■一:描述：N Nhw=[t+v+u]w=￡-—+￡V（ft）+￡；W=EW其中.V為電子數(shù)目，"為電子間的相互作用勢(shì)。算符丁和"稱為普適算符，它們?cè)谒邢到y(tǒng)中都相同，而算符t則依賴于系統(tǒng)，為非普適的?？梢钥闯觯瑔瘟Ｗ訂?wèn)題和比較復(fù)雜的多粒子問(wèn)題的區(qū)別在于交換作用項(xiàng)廠。目前有很多成熟的方法來(lái)解多體薛定諤方程，例如：物理學(xué)里使用的圖形微擾理論和量子化學(xué)里使用的基于斯萊特行列式中波函數(shù)系統(tǒng)展開(kāi)的組態(tài)相互作用（CI）方法。然而，這些方法的問(wèn)題在于較大的計(jì)算量，很難用于大規(guī)模復(fù)雜系統(tǒng)的計(jì)算。相比之下，密度函理論將含廠的多體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不含匚的單體問(wèn)題上，成為解決此類問(wèn)題的一個(gè)有效方法。在密度泛函理論中，最關(guān)鍵的變量為粒子密度，它由下式給出霍恩伯格和沃爾特?科恩在1964年提出[1]，上面的關(guān)系可以反過(guò)來(lái)，即給出基態(tài)電子密度，原則上可以計(jì)算出對(duì)應(yīng)的基態(tài)波函數(shù)由:」上……霍恩伯格和沃爾特?科恩在1964年提出[1]，上面的關(guān)系可以反過(guò)來(lái)，即給出基態(tài)電子密度，原則上可以計(jì)算出對(duì)應(yīng)的基態(tài)波函數(shù)由:」上……頃￡ 朱) <v)也就是說(shuō)，中，是口，的唯一泛函，即=耽而］對(duì)應(yīng)地，所有其它基態(tài)可觀測(cè)量。均為的泛函(O)［n0］=㈣腿\O\駐險(xiǎn)］)■進(jìn)而可以得出，基態(tài)能量也是m；的泛函阻=引祐=(駐［祠|r+v+u\業(yè)［柘｝,其中外勢(shì)場(chǎng)的貢獻(xiàn)：也：：*：：］「可以用密度表示成Vf/i]=/Vfr)?i(r)d3r.泛函T網(wǎng)和叫可稱為普適泛函，而「"顯然不是普適的，它取決于所考慮的系統(tǒng)。對(duì)于確定的系統(tǒng)，即I已知，需要將泛函￡?網(wǎng)=T［n］+J7［n］+JV(r)n(r)d^r對(duì)于求極小值。這里假定能夠得出廠七和廠州的表達(dá)式。對(duì)能量泛函求極值可以得到基態(tài)能量"：，進(jìn)而求得所有基態(tài)可觀測(cè)量。對(duì)能量泛函求變分極值可以用不定算子的拉格朗日方法，這由科恩和沈呂久在1965年完成［2］。這里我們使用如下結(jié)論：上面方程中的泛函可以寫(xiě)成一個(gè)無(wú)相互作用的體系的密度泛函功網(wǎng)=地網(wǎng)同+四更』仰］),其中"為無(wú)相互作用的動(dòng)能，匚為粒子運(yùn)動(dòng)感受到的外勢(shì)場(chǎng)。顯然，一"3：，若匚取為這樣，可以解這個(gè)輔助的無(wú)相互作用體系的科恩-沈呂久方程序2m序2mV2+Vs[r)煙⑺=e面f).可以得到一系列的電子軌域，并由此求得原來(lái)的多體體系的電子密度1煩=庇⑺=￡匝⑺/等效的單粒子勢(shì)"：可以表示成—V+/捋"+IMWL其中第二項(xiàng)為描述電子間庫(kù)侖斥力的哈特里項(xiàng)，最后一項(xiàng)叫做交換關(guān)聯(lián)勢(shì)，包含所有多粒子的相互作用。由于哈特里項(xiàng)和交換關(guān)聯(lián)項(xiàng)都依賴于小己，小己又依賴于；」：，而又依賴于匚，科恩-沈呂九方程的求解需要用自洽方法。通常首先假設(shè)一個(gè)初始的小己，然后計(jì)算對(duì)應(yīng)的匚并求解科恩-沈呂九方程中的5。進(jìn)而可以計(jì)算出新的密度分布，并開(kāi)始新一輪計(jì)算。此過(guò)程不斷重復(fù)，直到計(jì)算結(jié)果收斂。2分子動(dòng)力學(xué)分子動(dòng)力學(xué)是一套分子模擬方法，該方法主要是依靠牛頓力學(xué)來(lái)模擬分子體系的運(yùn)動(dòng)，以在由分子體系的不同狀態(tài)構(gòu)成的系綜中抽取樣本，從而計(jì)算體系的構(gòu)型積分，并以構(gòu)型積分的結(jié)果為基礎(chǔ)進(jìn)一步計(jì)算體系的熱力學(xué)量和其他宏觀性質(zhì)?；静襟E為：確定起始構(gòu)型進(jìn)行分子動(dòng)力學(xué)模擬的第一步是確定起始構(gòu)型，一個(gè)能量較低的起始構(gòu)型是進(jìn)行分子模擬的基礎(chǔ)，一般分子的起始構(gòu)型主要來(lái)自實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或量子化學(xué)計(jì)算。在確定起始構(gòu)型之后要賦予構(gòu)成分子的各個(gè)原子速度，這一速度是根據(jù)玻爾茲曼分布隨機(jī)生成的，由于速度的分布符合玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)，因此在這個(gè)階段，體系的溫度是恒定的。另外，在隨機(jī)生成各個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)速度之后須進(jìn)行調(diào)整，使得體系總體在各個(gè)方向上的動(dòng)量之和為零，即保證體系沒(méi)有平動(dòng)位移。進(jìn)入平衡相由上一步確定的分子組建平衡相，在構(gòu)建平衡相的時(shí)候會(huì)對(duì)構(gòu)型、溫度等參數(shù)加以監(jiān)控。進(jìn)入生產(chǎn)相進(jìn)入生產(chǎn)相之后體系中的分子和分子中的原子開(kāi)始根據(jù)初始速度運(yùn)動(dòng)，可以想象其間會(huì)發(fā)生吸引、排斥乃至碰撞，這時(shí)就根據(jù)牛頓力學(xué)和預(yù)先給定的粒子間相互作用勢(shì)來(lái)對(duì)各個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行計(jì)算，在這個(gè)過(guò)程中，體系總能量不變，但分子內(nèi)部勢(shì)能和動(dòng)能不斷相互轉(zhuǎn)化，從而體系的溫度也不斷變化，在整個(gè)過(guò)程中，體系會(huì)遍歷勢(shì)能面上的各個(gè)點(diǎn)(理論上，如果模擬時(shí)間無(wú)限）。計(jì)算分析所用樣本正是從這個(gè)過(guò)程中抽取的。（4）計(jì)算結(jié)果用抽樣所得體系的各個(gè)狀態(tài)計(jì)算當(dāng)時(shí)體系的勢(shì)能，進(jìn)而計(jì)算構(gòu)型積分3蒙特卡羅方法蒙特卡羅方法（MonteCarlomethod），也稱統(tǒng)計(jì)模擬方法，是二十世紀(jì)四十年代中期由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明，而被提出的一種以概率統(tǒng)計(jì)理論為指導(dǎo)的一類非常重要的數(shù)值計(jì)算方法。是指使用隨機(jī)數(shù)（或更常見(jiàn)的偽隨機(jī)數(shù)）來(lái)解決很多計(jì)算問(wèn)題的方法。通常蒙特卡羅方法可以粗略地分成兩類：一類是所求解的問(wèn)題本身具有內(nèi)在的隨機(jī)性，借助計(jì)算機(jī)的運(yùn)算能力可以直接模擬這種隨機(jī)的過(guò)程。例如在核物理研究中，分析中子在反應(yīng)堆中的傳輸過(guò)程。中子與原子核作用受到量子力學(xué)規(guī)律的制約，人們只能知道它們相互作用發(fā)生的概率，卻無(wú)法準(zhǔn)確獲得中子與原子核作用時(shí)的位置以及裂變產(chǎn)生的新中子的行進(jìn)速率和方向?？茖W(xué)家依據(jù)其概率進(jìn)行隨機(jī)抽樣得到裂變位置、速度和方向，這樣模擬大量中子的行為后，經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)就能獲得中子傳輸?shù)姆秶?，作為反?yīng)堆設(shè)計(jì)的依據(jù)。另一種類型是所求解問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為某種隨機(jī)分布的特征數(shù)，比如隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率，或者隨機(jī)變量的期望值。通過(guò)隨機(jī)抽樣的方法，以隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率估計(jì)其概率，或者以抽樣的數(shù)字特征估算隨機(jī)變量的數(shù)字特征，并將其作為問(wèn)題的解。這種方法多用于求解復(fù)雜的多維積分問(wèn)題。假設(shè)我們要計(jì)算一個(gè)不規(guī)則圖形的面積，那么圖形的不規(guī)則程度和分析性計(jì)算（比如，積分）的復(fù)雜程度是成正比的。蒙特卡羅方法基于這樣的思想：假想你有一袋豆子，把豆子均勻地朝這個(gè)圖形上撒，然后數(shù)這個(gè)圖形之中有多少顆豆子，這個(gè)豆子的數(shù)目就是圖形的面積。當(dāng)你的豆子越小，撒的越多的時(shí)候，結(jié)果就越精確。借助計(jì)算機(jī)程序可以生成大量均勻分布坐標(biāo)點(diǎn)，然后統(tǒng)計(jì)出圖形內(nèi)的點(diǎn)數(shù)，通過(guò)它們占總點(diǎn)數(shù)的比例和坐標(biāo)點(diǎn)生成范圍的面積就可以求出圖形面積。4有限元方法有限元法最初起源于土木工程和航空工程中的彈性和結(jié)構(gòu)分析問(wèn)題的研究.它的發(fā)展有很多種，具有共同的本質(zhì)特征：利用網(wǎng)格離散化將一個(gè)連續(xù)區(qū)域轉(zhuǎn)化為一族離散的子區(qū)域，通常叫做元.Hrennikoff的工作離散用類似于格子的網(wǎng)格離散區(qū)域；Courant的方法將區(qū)域分解為有限個(gè)三角形的子區(qū)域，用于求解來(lái)源于圓柱體轉(zhuǎn)矩問(wèn)題的二階橢圓偏微分方程.Courant的貢獻(xiàn)推動(dòng)了有限元