《微分幾何》課程教學大綱一、課程信息課程名稱：微分幾何DifferentialGeometry課程代碼：06S1022B課程類別：專業(yè)選修課適用專業(yè)：數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)（師范類）課程學時：45學時（理論35，實踐10）課程學分：2.5學分修讀學期：第6學期先修課程：數(shù)學分析、高等代數(shù)、解析幾何、常微分方程二、課程目標微分幾何是數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)的選修課程，是運用微積分的理論研究空間的幾何性質(zhì)的數(shù)學分支學科。古典微分幾何研究三維空間中的曲線和曲面，而現(xiàn)代微分幾何開始研究更一般的空間——流形。微分幾何與拓撲學等其它數(shù)學分支有緊密的聯(lián)系，對物理學的發(fā)展也有重要影響，愛因斯坦的廣義相對論就以微分幾何中的黎曼幾何作為其重要的數(shù)學基礎(chǔ)。本課程的前導課程為解析幾何、高等代數(shù)、數(shù)學分析和常微分方程。本課程旨在介紹微分幾何的基本思想方法和理論，讓學生了解它的研究對象、研究方法和技巧，了解一些重要概念及其幾何意義，經(jīng)典理論及其模型，掌握重要幾何量的計算，通過重要例題的演示，讓學生學會綜合利用數(shù)學分析、解析幾何、微分方程等的基本知識解決微分幾何問題，使學生掌握三維歐氏空間中的曲線和曲面的局部微分理論和方法，培養(yǎng)學生分析三維歐氏空間的曲線和曲面的局部性態(tài)的能力以及對微分幾何這門學科的興趣。（一）具體目標通過本課程的學習，使學生達到以下目標：1.了解現(xiàn)代幾何學的發(fā)展背景，熟悉微分幾何研究的基本方法和技巧，理解從歐式空間到一般幾何對象的基本思想，對中學的幾何課程有更好的理解，具有一定的批判精神及創(chuàng)新能力，具有分析問題和解決問題的能力?！局萎厴I(yè)要求3、4、7】2.掌握向量函數(shù)的相關(guān)概念和計算；掌握一般曲線的參數(shù)表示及切線、法平面、密切平面等概念；掌握曲線的曲率、撓率及伏雷內(nèi)公式；理解曲線的局部結(jié)構(gòu)及空間曲線論的基本定理；了解一般螺線的概念；綜合運用微積分、解析幾何的知識解決微分幾何的問題，具備一定的計算能力?！局萎厴I(yè)要求3、4】3.掌握曲面的參數(shù)表示及相關(guān)概念；掌握曲面的第一基本形式及其應(yīng)用，理解等距變換及曲面的內(nèi)蘊性質(zhì)；掌握曲面的第二基本形式及各種曲率的概念和計算；理解直紋面、可展曲面的概念；了解曲面論的基本定理；理解曲面上的測地線及其性質(zhì)，了解高斯-波涅公式及其應(yīng)用。對曲面的幾何有一定的認識，具有一定的計算能力和分析問題、解決問題的能力?！局萎厴I(yè)要求3、4、7】（二）課程目標與畢業(yè)要求的對應(yīng)關(guān)系表1課程目標與畢業(yè)要求的對應(yīng)關(guān)系課程目標支撐的畢業(yè)要求支撐的畢業(yè)要求指標點課程目標13.學科素養(yǎng)4.教學能力7.學會反思3.3【專業(yè)技能】具有良好的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象等數(shù)學學科專業(yè)能力。4.3【教研能力】了解教育基本思想和方法，能夠掌握數(shù)學學科的新發(fā)展和教學領(lǐng)域的一些最新研究成果，具有一定的教學研究能力。7.3【勤學善思】掌握反思方法和技能，學會運用批判性思維方法分析和解決數(shù)學教育教學中的問題。課程目標23.學科素養(yǎng)4.教學能力3.1【知識素養(yǎng)】具有豐富扎實的數(shù)學學科專業(yè)知識，掌握主要理論、思想和方法。對數(shù)學學科知識結(jié)構(gòu)體系的建構(gòu)有正確、清晰、合理的認識。3.2【學科融合】了解數(shù)學學科與其他學科以及社會實踐的聯(lián)系，認同數(shù)學的應(yīng)用價值。了解新技術(shù)，具備一定的信息化素養(yǎng)。4.3【教研能力】了解教育基本思想和方法，能夠掌握數(shù)學學科的新發(fā)展和教學領(lǐng)域的一些最新研究成果，具有一定的教學研究能力。課程目標33.學科素養(yǎng)4.教學能力7.學會反思3.1【知識素養(yǎng)】具有豐富扎實的數(shù)學學科專業(yè)知識，掌握主要理論、思想和方法。對數(shù)學學科知識結(jié)構(gòu)體系的建構(gòu)有正確、清晰、合理的認識。3.2【學科融合】了解數(shù)學學科與其他學科以及社會實踐的聯(lián)系，認同數(shù)學的應(yīng)用價值。了解新技術(shù)，具備一定的信息化素養(yǎng)。4.3【教研能力】了解教育基本思想和方法，能夠掌握數(shù)學學科的新發(fā)展和教學領(lǐng)域的一些最新研究成果，具有一定的教學研究能力。7.3【勤學善思】掌握反思方法和技能，學會運用批判性思維方法分析和解決數(shù)學教育教學中的問題。三、課程內(nèi)容（一）課程內(nèi)容與課程目標的關(guān)系表2課程內(nèi)容與課程目標的關(guān)系課程內(nèi)容教學方法支撐的課程目標學時安排第一章曲線論課堂講授、翻轉(zhuǎn)課堂課程目標1、218第二章曲面論課堂講授、翻轉(zhuǎn)課堂課程目標1、327合計45學時（二）具體內(nèi)容第一章曲線論（18學時）【教學目標與要求】1、教學目標：1)引入向量函數(shù)的定義，并使學生掌握向量分析的有關(guān)概念，為曲線論和曲面論的展開打下基礎(chǔ)。2)引入?yún)?shù)曲線，切向量，切線，正則參數(shù)曲線，參數(shù)變換的有關(guān)概念，使學生掌握正則曲線能選取弧長作為參數(shù)，體會參數(shù)是弧長參數(shù)的便利。3)具體了解刻畫空間曲線在某點鄰近的彎曲程度和離開平面程度的量，以及找出決定空間曲線在一點鄰近形狀的的條件。4)使學生了解相關(guān)的數(shù)學史和應(yīng)用價值，激發(fā)學生的求知欲和探索精神，提高學生的專業(yè)素養(yǎng)。2、教學要求：1)正確理解向量的概念，熟練掌握向量代數(shù)的運算。理解向量函數(shù)、向量函數(shù)的極限、連續(xù)、微商、泰勒公式、積分的概念，熟練掌握向量函數(shù)的運算。了解這些內(nèi)容與平行的數(shù)學分析內(nèi)容之間的區(qū)別和聯(lián)系。2)理解曲線、光滑曲線、曲線的正則點、切線和法平面、弧長、自然參數(shù)的概念，熟練掌握曲線的切線和法平面、曲線的弧長、曲線的自然參數(shù)的運算。3)正確理解空間曲線的密切平面、基本三棱形、空間曲線的曲率、撓率的概念，熟練掌握空間曲線的密切平面、基本三棱形、曲率、撓率的運算，熟記伏雷內(nèi)公式并能靈活運用。了解空間曲線在一點鄰近的結(jié)構(gòu)和空間曲線論的基本定理。了解一般螺線的概念和運算。【教學重點與難點】1、教學重點：1)向量函數(shù)的運算。2)曲線的切線、法平面、弧長的計算。3)空間曲線的基本三棱形、曲率、撓率的計算，伏雷內(nèi)（Frenet）公式及其應(yīng)用。2、教學難點：1)向量函數(shù)的運算與相應(yīng)數(shù)學分析內(nèi)容的區(qū)別與聯(lián)系。2)曲線的參數(shù)方程，自然參數(shù)概念的理解。3)曲線的局部結(jié)構(gòu)及曲線論的基本定理?！窘虒W內(nèi)容】1.1向量函數(shù)1.1.1向量函數(shù)的極限1.1.2向量函數(shù)的連續(xù)性1.1.3向量函數(shù)的微商1.1.4向量函數(shù)的泰勒（Taylor）公式1.1.5向量函數(shù)的積分1.2曲線的概念1.2.1曲線的概念1.2.2光滑曲線曲線的正常點1.2.3曲線的切線和法面1.2.4曲線的弧長自然參數(shù)1.3空間曲線1.3.1空間曲線的密切平面1.3.2空間曲線的基本三棱形1.3.3空間曲線的曲率、撓率和伏雷內(nèi)（Frenet）公式1.3.4空間曲線在一點鄰近的結(jié)構(gòu)1.3.5空間曲線論的基本定理1.3.6一般螺線【思政元素融入點】結(jié)合幾何學發(fā)展史教育學生要有探索精神和科學態(tài)度，使學生更好地體會數(shù)學思想方法的產(chǎn)生過程。通過介紹相關(guān)數(shù)學家的背景材料，提高學生的數(shù)學專業(yè)素養(yǎng)，使學生樹立正確的數(shù)學價值觀。第二章曲面論（27學時）【教學目標與要求】1、教學目標：1)理解正則參數(shù)曲面，曲面的切平面，切向量，法向量等概念，為進一步學習曲面論作好鋪墊。2)理解曲面各種不同的描述形式，充分體會曲面的第一基本形式是刻畫曲面的內(nèi)蘊性質(zhì)的。3)使學生具體理解第二基本形式的在研究曲面在空間中的彎曲性時所發(fā)揮的作用。4)了解曲面論的基本定理，理解測地線在曲面研究中的重要意義。5)使學生了解相關(guān)內(nèi)容的發(fā)展背景，增加專業(yè)素養(yǎng)，培養(yǎng)學生的探索精神以及分析問題和解決問題的能力。2、教學要求：1)理解和熟記簡單曲面、光滑曲面、曲面上的曲線網(wǎng)、曲面的切平面和法線等基本概念，理解和熟記有關(guān)公式，并能使用它們熟練地進行運算。2)理解和掌握曲面的第一基本形式，計算曲面上曲線的弧長，曲面域的面積和曲面間的等距及保角變換等有關(guān)問題。3)理解和掌握曲面的第二基本形式，由第二基本形式討論曲面上曲線的曲率，曲面的法曲率，曲面上的方向，曲面上的各種曲線和各種曲率之間的關(guān)系。4)理解和掌握直紋面、特別是可展曲面的概念、理論、方法和應(yīng)用背景。5)了解決定曲面的幾個要素及曲面論的基本定理。6)理解測地線的概念及其短程性，了解半測地坐標網(wǎng)及高斯-波涅公式，了解曲面上向量的平行移動的概念。【教學重點與難點】1、教學重點：1)曲面的切平面和法線的計算。2)簡單曲面第一基本形式及相關(guān)量的計算。3)曲面及其上面曲線族（網(wǎng)）的特征，曲面的法線、切面的求法等。4)曲面第二基本形式，曲面上曲線的曲率、曲面的漸近（線）方向、共軛方向、主方向和曲率線，主曲率、Gauss曲率和平均曲率等的意義與計算。5)直紋面和可展曲面的基本特征。6)曲面上的測地曲率，測地線的概念及性質(zhì)。2、教學難點：1)簡單曲面第一基本形式及相關(guān)量的計算。2)曲面第二基本形式，曲面上曲線的曲率、曲面的漸進（線）方向、共扼方向、主方向和曲率線，主曲率、Gauss曲率和平均曲率等的意義與計算。3)直紋面和可展曲面的基本特征。4)曲面論的基本定理。5)測地線的概念及應(yīng)用?！窘虒W內(nèi)容】2.1曲面的概念2.1.1簡單曲面及其參數(shù)表示2.1.2光滑曲面曲面的切平面和法線2.1.3曲面上的曲線族和曲線網(wǎng)2.2曲面的第一基本形式2.2.1曲面的第一基本形式曲面上曲線的弧長2.2.2曲面上兩方向的交角2.2.3正交曲線族和正交軌線2.2.4曲面域的面積2.2.5等距變換2.2.6保角變換2.3曲面的第二基本形式2.3.1曲面的第二基本形式2.3.2曲面上曲線的曲率2.3.3杜邦（Dupin）指標線2.3.4曲面的漸近方向和共軛方向2.3.5曲面的主方向和曲率線2.3.6曲面的主曲率、高斯（Gauss）曲率和平均曲率2.3.7曲面在一點鄰近的結(jié)構(gòu)2.3.8高斯曲率的幾何意義2.4直紋面和可展曲面2.4.1直紋面2.4.2可展曲面2.5曲面論的基本定理2.6曲面上的測地線2.6.1曲面上曲線的測地曲率2.6.2曲面上的測地線2.6.3曲面上的半測地坐標網(wǎng)2.6.4曲面上測地線的短程性2.6.5高斯-波涅公式2.6.6曲面上向量的平行移動（選講）【思政元素融入點】了解幾何學發(fā)展史，特別是曲面研究的歷史。要充分認識到高斯發(fā)現(xiàn)內(nèi)蘊幾何的重要意義，教育學生要有探索精神和科學態(tài)度，使學生更好地體會數(shù)學思想方法的產(chǎn)生過程。通過介紹相關(guān)背景材料，提高學生的數(shù)學專業(yè)素養(yǎng)。四、教學方法本課程的教學主要采用課堂講授與討論、作業(yè)、輔導答疑等方式進行，并在教學過程中注重多媒體等現(xiàn)代教育技術(shù)手段的開發(fā)和使用，有效調(diào)動學生的學習積極性，促進學生積極思考，激發(fā)學生潛能。通過課后作業(yè)與習題講解，增加學生對所學內(nèi)容的理解，提高計算能力。五、實踐教學安排選取章節(jié)習題安排學生進行講解，加強知識理解和教學基本功；部分知識點采用翻轉(zhuǎn)課堂授課。六、課程考核本課程考核采用平時考核與期末考試兩部分進行，平時考核占40%（包括三項：課后作業(yè)、課堂考勤、課堂表現(xiàn)），期末考試成績占60%。期末考核采用筆試方式進行，任課老師命題，流水閱卷。七、課程評價（一）課程目標評價標準課程目標評價標準90-100分80-89分70-79分60-69分0-59分優(yōu)良中及格不及格課程目標11.很好地了解現(xiàn)代幾何學的發(fā)展歷史和背景。2.很好地理解從歐氏空間到一般幾何對象的思想，以及與中學幾何課程的聯(lián)系；3.具有很好的分析問題和解決問題的能力。1.較好地了解現(xiàn)代幾何學的發(fā)展歷史和背景。2.較好地理解從歐氏空間到一般幾何對象的思想，以及與中學幾何課程的聯(lián)系；3.具有較好的分析問題和解決問題的能力。1.對現(xiàn)代幾何學的發(fā)展歷史和背景有一定的了解。2.能夠理解從歐氏空間到一般幾何對象的思想，以及與中學幾何課程的聯(lián)系；3.具有一定的分析問題和解決問題的能力。1.基本了解現(xiàn)代幾何學的發(fā)展歷史和背景。2.基本理解從歐氏空間到一般幾何對象的思想，以及與中學幾何課程的聯(lián)系；3.基本具備分析問題和解決問題的能力。1.不完全了解現(xiàn)代幾何學的發(fā)展歷史和背景。2.不完全理解從歐氏空間到一般幾何對象的思想，以及與中學幾何課程的聯(lián)系；3.不完全具備分析問題和解決問題的能力。課程目標21.很好地掌握向量函數(shù)概念和曲線的參數(shù)表示方法；2.很好地掌握空間曲線的相關(guān)概念及基本理論；3.具備很好的計算能力以及解決曲線相關(guān)問題的能力。1.較好地掌握向量函數(shù)概念和曲線的參數(shù)表示方法；2.較好地掌握空間曲線的相關(guān)概念及基本理論；3.具備較好的計算能力以及解決曲線相關(guān)問題的能力。1.能夠掌握向量函數(shù)概念和曲線的參數(shù)表示方法；2.能夠掌握空間曲線的相關(guān)概念及基本理論；3.具備一定的計算能力以及解決曲線相關(guān)問題的能力。1.基本掌握向量函數(shù)概念和曲線的參數(shù)表示方法；2.基本掌握空間曲線的相關(guān)概念及基本理論；3.基本具備相應(yīng)的計算能力以及解決曲線相關(guān)問題的能力。1.不完全掌握向量函數(shù)概念和曲線的參數(shù)表示方法；2.不完全掌握空間曲線的相關(guān)概念及基本理論；3.不完全具備相應(yīng)的計算能力以及解決曲線相關(guān)問題的能力。課程目標31.很好地理解和掌握曲面的參數(shù)表示方法；2.很好地理解和掌握曲面論中的相關(guān)概念；3.具備很好的計算能力，以及分析和解決曲面論中問題的能力。1.較好地理解和掌握曲面的參數(shù)表示方法；2.較好地理解和掌握曲面論中的相關(guān)概念；3.具備較好的計算能力，以及分析和解決曲面論中問題的能力。1.能夠理解和掌握曲面的參數(shù)表示方法；2.能夠理解和掌握曲面論中的相關(guān)概念；3.具備一定的計算能力，以及分析和解決曲面論中問題的能力。1.基本理解和掌握曲面的參數(shù)表示方法；2.基本理解和掌握曲面論中的相關(guān)概念；3.基本具備相應(yīng)的計算能力，以及分析和解決曲面論中問題的能力。1.不完全理解和掌握曲面的參數(shù)表示方法；2.不完全理解和掌握曲面論中的相關(guān)概念；3.不完全具備相應(yīng)的計算能力，以及分析和解決曲面論中問題的能力。（二）課程目標評價方法課程評價主要是本門課程的課程目標達成度評價。課程目標達成度評價主要采用定性評價與定量評價相結(jié)合的方法，具體包括：課程調(diào)查問卷、平時成績和期末考試成績。相應(yīng)課程目標評價方式見表3。表3課程目標評價方式課程目標調(diào)查問卷平時成績期末考試成績課程目標1√√√課程目標2√√√課程目標3√√√1.定性評價定性評價采用調(diào)查問卷的方式來實現(xiàn)。調(diào)查問卷根據(jù)本門課程目標制作，