第3節(jié)機(jī)械能守恒定律及應(yīng)用一、重力做功與重力勢(shì)能的關(guān)系1.重力做功的特點(diǎn)(1)重力做功與路徑無關(guān)，只與始末位置的高度差有關(guān)。(2)重力做功不引起物體機(jī)械能的變化。2.重力勢(shì)能(1)表達(dá)式：Ep＝mgh。(2)重力勢(shì)能的特點(diǎn)重力勢(shì)能是物體和地球所共有的，重力勢(shì)能的大小與參考平面的選取有關(guān)，但重力勢(shì)能的變化與參考平面的選取無關(guān)。3.重力做功與重力勢(shì)能變化的關(guān)系(1)定性關(guān)系：重力對(duì)物體做正功，重力勢(shì)能減小；重力對(duì)物體做負(fù)功，重力勢(shì)能增大。(2)定量關(guān)系：重力對(duì)物體做的功等于物體重力勢(shì)能的減小量，即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp?！咀詼y(cè)1】關(guān)于重力勢(shì)能，下列說法中正確的是()A.物體的位置一旦確定，它的重力勢(shì)能的大小也隨之確定B.物體與零勢(shì)能面的距離越大，它的重力勢(shì)能也越大C.一個(gè)物體的重力勢(shì)能從－5J變化到－3J，重力勢(shì)能減少了D.重力勢(shì)能的減少量等于重力對(duì)物體做的功答案D二、彈性勢(shì)能1.定義：發(fā)生彈性形變的物體的各個(gè)部分之間，由于有彈力的相互作用而具有的勢(shì)能。2.彈力做功與彈性勢(shì)能變化的關(guān)系彈力做正功，彈性勢(shì)能減小；彈力做負(fù)功，彈性勢(shì)能增加。定量表達(dá)式為W＝－ΔEp?！咀詼y(cè)2】(多選)關(guān)于彈性勢(shì)能，下列說法中正確的是()A.任何發(fā)生彈性形變的物體，都具有彈性勢(shì)能B.任何具有彈性勢(shì)能的物體，一定發(fā)生了彈性形變C.物體只要發(fā)生形變，就一定具有彈性勢(shì)能D.彈簧的彈性勢(shì)能只跟彈簧被拉伸或壓縮的長(zhǎng)度有關(guān)答案AB三、機(jī)械能守恒定律1.內(nèi)容：在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動(dòng)能與勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能保持不變。2.表達(dá)式：mgh1＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＝mgh2＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)。3.機(jī)械能守恒的條件(1)系統(tǒng)只受重力或彈簧彈力的作用，不受其他外力。(2)系統(tǒng)除受重力或彈簧彈力作用外，還受其他內(nèi)力和外力，但這些力對(duì)系統(tǒng)不做功。(3)系統(tǒng)內(nèi)除重力或彈簧彈力做功外，還有其他內(nèi)力和外力做功，但這些力做功的代數(shù)和為零。(4)系統(tǒng)跟外界沒有發(fā)生機(jī)械能的傳遞，系統(tǒng)內(nèi)、外也沒有機(jī)械能與其他形式的能發(fā)生轉(zhuǎn)化?！咀詼y(cè)3】下列幾種運(yùn)動(dòng)中，機(jī)械能一定守恒的是()A.做勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體B.做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體C.做平拋運(yùn)動(dòng)的物體D.做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體答案C考點(diǎn)一機(jī)械能守恒的理解和判斷機(jī)械能是否守恒的三種判斷方法(1)利用做功判斷：若物體或系統(tǒng)只有重力(或彈簧的彈力)做功，雖受其他力，但其他力不做功(或做功代數(shù)和為0)，則機(jī)械能守恒。(2)利用能量轉(zhuǎn)化判斷：若物體或系統(tǒng)與外界沒有能量交換，物體或系統(tǒng)也沒有機(jī)械能與其他形式能的轉(zhuǎn)化，則機(jī)械能守恒。(3)利用機(jī)械能的定義判斷：若物體動(dòng)能、勢(shì)能之和不變，則機(jī)械能守恒。1.(機(jī)械能守恒的條件)(2021·浙江紹興期末)如圖1所示為阿拉斯加當(dāng)?shù)厝说囊环N娛樂方式。他們用一塊彈性毯子將小孩豎直拋起，再保持彈性毯子水平，接住小孩。不計(jì)空氣阻力，下列說法中正確的是()圖1A.用毯子將小孩上拋，毯子對(duì)小孩做正功，小孩機(jī)械能增加B.小孩在空中上升時(shí)處于超重狀態(tài)，下落過程處于失重狀態(tài)C.小孩由最高點(diǎn)下落，一接觸到彈性毯子就立刻做減速運(yùn)動(dòng)D.小孩由最高點(diǎn)下落至速度為零的過程中，小孩機(jī)械能守恒答案A解析用毯子將小孩上拋，毯子對(duì)小孩做正功，小孩機(jī)械能增加，故A正確；小孩在空中上升時(shí)和下落過程加速度向下，都處于失重狀態(tài)，故B錯(cuò)誤；小孩由最高點(diǎn)下落，一接觸到彈性毯子在彈力小于重力之前，加速度向下，還是加速運(yùn)動(dòng)，故C錯(cuò)誤；小孩由最高點(diǎn)下落至速度為零的過程中，除重力外，毯子的彈力對(duì)小孩做負(fù)功，小孩機(jī)械能減小，故D錯(cuò)誤。2.(機(jī)械能守恒的判斷)(2021·山西太原模擬)如圖2所示，斜劈劈尖頂著豎直墻壁靜止在水平面上?，F(xiàn)將一小球從圖示位置靜止釋放，不計(jì)一切摩擦，則在小球從釋放到落至地面的過程中，下列說法中正確的是()圖2A.斜劈對(duì)小球的彈力不做功B.斜劈與小球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒C.斜劈的機(jī)械能守恒D.小球重力勢(shì)能的減少量等于斜劈動(dòng)能的增加量答案B解析不計(jì)一切摩擦，小球下滑時(shí)，小球和斜劈組成的系統(tǒng)只有小球的重力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，B正確，C、D錯(cuò)誤；斜劈對(duì)小球的彈力與小球位移的夾角大于90°，故彈力做負(fù)功，A錯(cuò)誤?？键c(diǎn)二單個(gè)物體的機(jī)械能守恒問題1.表達(dá)式用“守恒形式”時(shí)，需要選取重力勢(shì)能的參考平面。用“轉(zhuǎn)化形式”和“轉(zhuǎn)移形式”時(shí)則不必選取重力勢(shì)能的參考平面，因?yàn)橹亓?shì)能的改變量與參考平面的選取沒有關(guān)系。2.一般步驟【例1】如圖3，MN為半徑R＝0.4m、固定于豎直平面內(nèi)的eq\f(1,4)光滑圓弧軌道，軌道上端切線水平，O為圓心，M、O、P三點(diǎn)在同一水平線上，M的下端與軌道相切處放置豎直向上的彈簧槍，可發(fā)射速度不同但質(zhì)量均為m＝0.01kg的小鋼珠，小鋼珠每次都在M點(diǎn)離開彈簧槍。某次發(fā)射的小鋼珠沿軌道經(jīng)過N點(diǎn)時(shí)恰好與軌道間無作用力，水平飛出后落到OP上的Q點(diǎn)。不計(jì)空氣阻力，取g＝10m/s2。求：圖3(1)小鋼珠經(jīng)過N點(diǎn)時(shí)速度的大小vN；(2)小鋼珠離開彈簧槍時(shí)的動(dòng)能Ek；(3)小鋼珠的落點(diǎn)Q與圓心O的距離x。答案(1)2m/s(2)0.06J(3)eq\f(2\r(2),5)m解析(1)小鋼珠沿軌道經(jīng)過N點(diǎn)時(shí)恰好與軌道間無作用力，故只受重力，則有mg＝meq\f(veq\o\al(2,N),R)解得vN＝2m/s。(2)小鋼珠在光滑圓弧軌道上運(yùn)動(dòng)，由機(jī)械能守恒定律得eq\f(1,2)mveq\o\al(2,N)－Ek＝－mgR解得Ek＝0.06J。(3)小鋼珠從N點(diǎn)水平飛出后，做平拋運(yùn)動(dòng)，R＝eq\f(1,2)gt2，x＝vNt解得x＝eq\f(2\r(2),5)m。?應(yīng)用機(jī)械能守恒定律的前提是“守恒”，因此，需要先對(duì)研究對(duì)象在所研究的過程中機(jī)械能是否守恒做出判斷。?如果系統(tǒng)(除地球外)只有一個(gè)物體，用守恒式列方程較簡(jiǎn)便；對(duì)于由兩個(gè)或兩個(gè)以上物體組成的系統(tǒng)，用轉(zhuǎn)化式或轉(zhuǎn)移式列方程較簡(jiǎn)便。3.如圖4，半圓形光滑軌道固定在水平地面上，半圓的直徑與地面垂直。一小物塊以速度v從軌道下端滑入軌道，并從軌道上端水平飛出，小物塊落地點(diǎn)到軌道下端的距離與軌道半徑有關(guān)，此距離最大時(shí)對(duì)應(yīng)的軌道半徑為(重力加速度大小為g)()圖4A.eq\f(v2,16g) B.eq\f(v2,8g)C.eq\f(v2,4g) D.eq\f(v2,2g)答案B解析設(shè)小物塊滑到軌道上端的速度大小為v1，半徑為r，小物塊由最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過程，由機(jī)械能守恒定律有2mgr＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＝eq\f(1,2)mv2，小物塊做平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)落地點(diǎn)到軌道下端的距離為x，則有x＝v1t，2r＝eq\f(1,2)gt2，聯(lián)立以上式子解得x＝2eq\r(\f(v2,g)r－4r2)，當(dāng)r＝eq\f(v2,8g)時(shí)，x最大，故選項(xiàng)B正確。考點(diǎn)三連接體的機(jī)械能守恒問題1.對(duì)多個(gè)物體組成的系統(tǒng)要注意判斷物體運(yùn)動(dòng)過程中，系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒。2.注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關(guān)系和位移關(guān)系。3.列機(jī)械能守恒方程時(shí)，一般選用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA增＝ΔEB減的形式。角度1輕繩連接的物體系統(tǒng)常見情景三點(diǎn)提醒(1)分清兩物體是速度大小相等，還是沿繩方向的分速度大小相等(2)用好兩物體的位移大小關(guān)系或豎直方向高度變化的關(guān)系(3)對(duì)于單個(gè)物體，一般繩上的力要做功，機(jī)械能不守恒；但對(duì)于繩連接的系統(tǒng)，機(jī)械能則可能守恒【例2】(2021·黑龍江哈爾濱模擬)如圖5所示，物體A的質(zhì)量為M，圓環(huán)B的質(zhì)量為m，A、B通過繩子連接在一起，圓環(huán)套在光滑的豎直桿上，開始時(shí)，圓環(huán)與定滑輪之間的繩子處于水平狀態(tài)，長(zhǎng)度l＝4m，現(xiàn)從靜止開始釋放圓環(huán)，不計(jì)定滑輪和空氣的阻力，重力加速度g取10m/s2，若圓環(huán)下降h＝3m時(shí)的速度v＝5m/s，則A和B的質(zhì)量關(guān)系為()圖5A.eq\f(M,m)＝eq\f(35,29) B.eq\f(M,m)＝eq\f(7,9)C.eq\f(M,m)＝eq\f(39,25) D.eq\f(M,m)＝eq\f(15,19)[思路點(diǎn)撥]通過圓環(huán)的速度找出物體A的速度，然后對(duì)系統(tǒng)應(yīng)用機(jī)械能守恒定律即可。答案A解析圓環(huán)下降3m時(shí)，速度沿繩方向和垂直繩方向進(jìn)行分解，如圖所示，可得vA＝vcosθ，由幾何關(guān)系可知cosθ＝eq\f(h,\r(h2＋l2))，解得vA＝3m/s。物體A上升的高度h′＝eq\r(h2＋l2)－l＝1m。將A、B看作一個(gè)系統(tǒng)，該系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律可得mgh－Mgh′＝eq\f(1,2)mv2＋eq\f(1,2)Mveq\o\al(2,A)，代入數(shù)據(jù)解得eq\f(M,m)＝eq\f(35,29)，選項(xiàng)A正確。?本題中物體A和圓環(huán)B的速度大小并不相等，但物體A的速度和圓環(huán)B在沿繩方向上的分速度大小相等，所以在解決此類問題時(shí)，一定要弄清楚輕繩連接的兩物體間的速度關(guān)系。?此題中物體A和圓環(huán)B的位移大小也是不同的，所以一定要找準(zhǔn)兩者之間的位移大小關(guān)系或豎直方向高度變化的關(guān)系。?一定要注意是物體A和圓環(huán)B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，單個(gè)的物體A或圓環(huán)B的機(jī)械能不守恒，因?yàn)槔K的拉力要做功，如在本題中，輕繩對(duì)A做正功，對(duì)B則做了負(fù)功。角度2輕桿連接的物體系統(tǒng)常見情景vAsinθ＝vBcosθ三大特點(diǎn)(1)平動(dòng)時(shí)兩物體線速度相等，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)兩物體角速度相等(2)桿對(duì)物體的作用力并不總是沿桿的方向，桿能對(duì)物體做功，單個(gè)物體機(jī)械能不守恒(3)對(duì)于桿和球組成的系統(tǒng)，忽略空氣阻力和各種摩擦且沒有其他力對(duì)系統(tǒng)做功，則系統(tǒng)機(jī)械能守恒【例3】(2021·山東煙臺(tái)模擬)如圖6所示，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A和B用一根長(zhǎng)為0.2m的輕桿相連，兩球質(zhì)量均為1kg，開始時(shí)兩小球置于光滑的水平面上，并給兩小球一個(gè)大小為2m/s，方向水平向左的初速度，經(jīng)過一段時(shí)間，兩小球滑上一個(gè)傾角為30°的光滑斜面，不計(jì)球與斜面碰撞時(shí)的機(jī)械能損失，重力加速度g取10m/s2，在兩小球的速度減小為零的過程中，下列判斷正確的是()圖6A.桿對(duì)小球A做負(fù)功B.小球A的機(jī)械能守恒C.桿對(duì)小球B做正功D.小球B速度為零時(shí)距水平面的高度為0.15m[思路點(diǎn)撥]首先判定兩小球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，然后計(jì)算當(dāng)A、B兩小球的速度減為零時(shí)兩球在斜面上上升的高度，最后分別對(duì)兩小球應(yīng)用動(dòng)能定理，判斷桿對(duì)兩小球的做功情況。答案D解析由于兩小球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，設(shè)兩小球的速度減為零時(shí)，B小球上升的高度為h，則由機(jī)械能守恒定律可得mgh＋mg(h＋Lsin30°)＝eq\f(1,2)·2mveq\o\al(2,0)，其中L為輕桿的長(zhǎng)度，v0為兩小球的初速度，代入數(shù)據(jù)解得h＝0.15m，選項(xiàng)D正確；在A球沿斜面上升過程中，設(shè)桿對(duì)A球做的功為W，則由動(dòng)能定理可得－mg(h＋Lsin30°)＋W＝0－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，代入數(shù)據(jù)解得W＝0.5J，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；由于兩小球系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，系統(tǒng)內(nèi)力做功之和為0，故桿對(duì)小球B做功為W′＝－0.5J，選項(xiàng)C錯(cuò)誤。?通過輕桿連接的物體系統(tǒng)，輕桿對(duì)兩個(gè)物體都施加力的作用，物體各自的機(jī)械能不守恒。?輕桿對(duì)與其連接的物體的作用力一般情況下屬于變力，該力對(duì)物體做的功一般用動(dòng)能定理進(jìn)行求解。?要注意用輕桿連接的兩物體的速度大小不一定總是相等，但兩物體沿桿方向的速度大小一定相等，此時(shí)可以利用運(yùn)動(dòng)的合成與分解尋找兩物體速度之間的關(guān)系。角度3輕彈簧連接的物體系統(tǒng)題型特點(diǎn)由輕彈簧連接的物體系統(tǒng)，一般既有重力做功又有彈簧彈力做功，這時(shí)系統(tǒng)內(nèi)物體的動(dòng)能、重力勢(shì)能和彈簧的彈性勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能守恒兩點(diǎn)提醒(1)對(duì)同一彈簧，彈性勢(shì)能的大小由彈簧的形變量完全決定，無論彈簧伸長(zhǎng)還是壓縮(2)物體運(yùn)動(dòng)的位移與彈簧的形變量或形變量的變化量有關(guān)【真題示例4】(多選)(2020·山東卷)如圖7所示，質(zhì)量為M的物塊A放置在光滑水平桌面上，右側(cè)連接一固定于墻面的水平輕繩，左側(cè)通過一傾斜輕繩跨過光滑定滑輪與一豎直輕彈簧相連?，F(xiàn)將質(zhì)量為m的鉤碼B掛于彈簧下端，當(dāng)彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)，將B由靜止釋放，當(dāng)B下降到最低點(diǎn)時(shí)(未著地)，A對(duì)水平桌面的壓力剛好為零。輕繩不可伸長(zhǎng)，彈簧始終在彈性限度內(nèi)，物塊A始終處于靜止?fàn)顟B(tài)。以下判斷正確的是()圖7A.M<2mB.2m<M<3mC.在B從釋放位置運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程中，B所受合力對(duì)B先做正功后做負(fù)功D.在B從釋放位置運(yùn)動(dòng)到速度最大的過程中，B克服彈簧彈力做的功等于B機(jī)械能的減少量答案ACD解析鉤碼B釋放后做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，物塊B在最高點(diǎn)加速度大小為g，所以在最低點(diǎn)加速度大小也為g。在最低點(diǎn)對(duì)B由牛頓第二定律有F－mg＝ma，得F＝2mg，而B在最低點(diǎn)時(shí)物塊A對(duì)水平桌面的壓力剛好為零，可知A左側(cè)輕繩上拉力的豎直分力等于Mg，故M<2m，A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤；B從釋放位置到最低點(diǎn)的過程中，速度先增大后減小，由動(dòng)能定理可知，合力對(duì)B先做正功后做負(fù)功，C項(xiàng)正確；由功能關(guān)系可知，B從釋放到速度最大過程中B克服彈簧彈力做的功等于B機(jī)械能的減少量，D項(xiàng)正確。?彈簧彈力做功與路徑無關(guān)，只取決于初、末狀態(tài)彈簧形變量的大小。?含彈簧的系統(tǒng)在只有彈簧彈力和重力做功時(shí)，物體的動(dòng)能、重力勢(shì)能和彈簧的彈性勢(shì)能之間可以相互轉(zhuǎn)化，物體和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，而單個(gè)物體或彈簧的機(jī)械能都不守恒。?由兩個(gè)或兩個(gè)以上的物體與彈簧組成的系統(tǒng)，當(dāng)彈簧形變量最大時(shí)，彈簧兩端的物體速度大小相同。4.(多選)(2021·河南鶴壁高中模擬)如圖8所示，水平光滑長(zhǎng)桿上套有小物塊A，細(xì)線跨過位于O點(diǎn)的輕質(zhì)光滑定滑輪，一端連接A，另一端懸掛小物塊B，物塊A、B質(zhì)量相等。C為O點(diǎn)正下方桿上的點(diǎn)，滑輪到桿的距離OC＝h，重力加速度為g。開始時(shí)A位于P點(diǎn)，PO與水平方向的夾角為30°，現(xiàn)將A、B由靜止釋放，下列說法正確的是()圖8A.物塊A由P點(diǎn)出發(fā)第一次到達(dá)C點(diǎn)過程中，速度先增大后減小B.物塊A經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的速度大小為eq\r(2gh)C.物塊A在桿上長(zhǎng)為2eq\r(3)h的范圍內(nèi)做往復(fù)運(yùn)動(dòng)D.在物塊A由P點(diǎn)出發(fā)第一次到達(dá)C點(diǎn)過程中，物塊B克服細(xì)線拉力做的功小于B重力勢(shì)能的減少量答案BC解析物塊A由P點(diǎn)出發(fā)第一次到達(dá)C點(diǎn)過程中，繩子拉力對(duì)A做正功，其他力不做功，動(dòng)能不斷增大，速度不斷增大，故A錯(cuò)誤；物塊A到C點(diǎn)時(shí)，物塊B的速度為零。設(shè)物塊A經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的速度大小為v，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得mgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,sin30°)－h(huán)))＝eq\f(1,2)mv2，解得v＝eq\r(2gh)，故B正確；由幾何知識(shí)可得eq\o(AC,\s\up6(－))＝eq\f(h,tan30°)＝eq\r(3)h，由對(duì)稱性可知物塊A在桿上長(zhǎng)為2eq\r(3)h的范圍內(nèi)做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，故C正確；根據(jù)動(dòng)能定理可知，在物塊A由P點(diǎn)出發(fā)第一次到達(dá)C點(diǎn)過程中，物塊B克服細(xì)線拉力做的功等于B重力勢(shì)能的減少量，故D錯(cuò)誤。5.如圖9，滑塊a、b的質(zhì)量均為m，a套在固定豎直桿上，與光滑水平地面相距h，b放在地面上。a、b通過鉸鏈用剛性輕桿連接，由靜止開始運(yùn)動(dòng)。不計(jì)摩擦，a、b可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度大小為g。則()圖9A.a落地前，輕桿對(duì)b一直做正功B.a落地時(shí)速度大小為eq\r(gh)C.a下落過程中，其加速度大小始終不大于gD.a落地前，當(dāng)a的機(jī)械能最小時(shí)，b對(duì)地面的壓力大小為mg答案D解析當(dāng)a到達(dá)底端時(shí)，b的速度為零，b的速度在整個(gè)過程中，先增大后減小，動(dòng)能先增大后減小，所以輕桿對(duì)b先做正功，后做負(fù)功，A錯(cuò)誤；a運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，b的速度為零，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得mAgh＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)，解得vA＝eq\r(2gh)，B錯(cuò)誤；在a下落過程中，b的速度先增大后減小，a對(duì)b的作用力先是動(dòng)力后是阻力，由牛頓第三定律得b對(duì)a的作用力就先是阻力后是動(dòng)力，在b減速的過程中，b對(duì)a是向下的拉力，此時(shí)a的加速度大于重力加速度，C錯(cuò)誤；當(dāng)a的機(jī)械能最小時(shí)，b的速度最大，此時(shí)b受到a的推力為零，b只受到重力和地面給的支持力的作用，所以b對(duì)地面的壓力大小為mg，D正確。6.(2021·湖南郴州模擬)如圖10所示，輕彈簧一端固定在O點(diǎn)，另一端與質(zhì)量為m的小球相連，小球穿在傾斜的光滑固定桿上，桿與水平面之間的夾角為α，小球在A處時(shí)彈簧水平且處于原長(zhǎng)。OB垂直于桿。將小球從A處由靜止釋放，到達(dá)C處時(shí)速度為零。彈簧始終在彈性限度之內(nèi)，則()圖10A.下滑過程中，小球在B點(diǎn)的動(dòng)能最大B.下滑過程中，彈簧的彈性勢(shì)能先增大后減小C.從B運(yùn)動(dòng)到C的過程中，重力勢(shì)能與彈性勢(shì)能的和先減小后增大D.小球在C點(diǎn)處加速度為零答案C解析由于OA為彈簧原長(zhǎng)，小球在B點(diǎn)時(shí)彈簧處于壓縮狀態(tài)，從B到C彈簧先變?yōu)樵L(zhǎng)再變?yōu)樯扉L(zhǎng)狀態(tài)，給小球沿桿方向的作用力先向下后向上，重力沿桿方向的分力一直向下，小球?qū)⑾燃铀俸鬁p速，動(dòng)能先增大后減小，重力勢(shì)能與彈性勢(shì)能的和先減小后增大，故A錯(cuò)誤，C正確；A到C過程中彈性勢(shì)能先增大后減小再增大，故B錯(cuò)誤；小球最后是減速到C點(diǎn)的，沿桿方向的合力向上，加速度不為零，故D錯(cuò)誤。生產(chǎn)生活中的機(jī)械能守恒問題【示例1】(多選)(2021·安徽太和模擬)如圖1所示，是一游戲機(jī)的工作示意圖。光滑游戲面板與水平面成一夾角θ，半徑為R的四分之一圓弧軌道BC與AB管道相切于B點(diǎn)，C點(diǎn)為圓弧軌道最高點(diǎn)，輕彈簧下端固定在AB管道的底端，上端系一輕繩，繩通過彈簧內(nèi)部連一手柄P。將球投入AB管內(nèi)，緩慢下拉手柄使彈簧被壓縮，釋放手柄，彈珠被彈出，與游戲面板內(nèi)的障礙物發(fā)生一系列碰撞后落入彈槽里，根據(jù)入槽情況可以獲得不同的獎(jiǎng)勵(lì)。假設(shè)所有軌道均光滑，忽略空氣阻力，彈珠視為質(zhì)點(diǎn)。某次緩慢下拉手柄，使彈珠距B點(diǎn)為L(zhǎng)，釋放手柄，彈珠被彈出，到達(dá)C點(diǎn)速度為v，下列說法正確的是()圖1A.彈珠從釋放手柄開始到觸碰障礙物之前的過程中機(jī)械能不守恒B.調(diào)整手柄的位置，可以使彈珠從C點(diǎn)離開后做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，直到碰到障礙物C.彈珠脫離彈簧的瞬間，其動(dòng)能和重力勢(shì)能之和達(dá)到最大D.此過程中，彈簧的最大彈性勢(shì)能為mg(L＋R)sinθ＋eq\f(1,2)mv2答案ACD解析因?yàn)閺椫閺尼尫攀直倪^程，彈簧對(duì)彈珠做功，其機(jī)械能不守恒，故A正確；彈珠從C點(diǎn)離開后初速度水平向左，合力等于重力沿斜面向下的分力，兩者垂直，所以彈珠做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，直到碰到障礙物，故B錯(cuò)誤；彈珠從釋放手柄的過程，彈簧的彈力對(duì)彈珠做正功，彈珠的動(dòng)能和重力勢(shì)能之和不斷增大，根據(jù)彈珠和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，知彈珠脫離彈簧的瞬間，彈簧的彈性勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為彈珠的動(dòng)能和重力勢(shì)能，所以此瞬間動(dòng)能和重力勢(shì)能之和達(dá)到最大，故C正確；根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒得，彈簧的最大彈性勢(shì)能等于彈珠在C點(diǎn)的機(jī)械能，為mg(L＋R)sinθ＋eq\f(1,2)mv2，故D正確?！臼纠?】(多選)(2021·天津十二區(qū)聯(lián)考)2022年第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)將在北京舉行，跳臺(tái)滑雪是冬奧會(huì)的比賽項(xiàng)目之一。圖2為一簡(jiǎn)化后的跳臺(tái)滑雪的軌道示意圖，運(yùn)動(dòng)員(可視為質(zhì)點(diǎn))從O點(diǎn)由靜止開始自由滑過一段圓心角為60°的光滑圓弧軌道后從A點(diǎn)水平飛出，然后落到斜坡上的B點(diǎn)。已知A點(diǎn)是斜坡的起點(diǎn)，光滑圓弧軌道半徑為40m，斜坡與水平面的夾角θ＝30°，運(yùn)動(dòng)員的質(zhì)量m＝50kg。重力加速度g＝10m/s2。下列說法正確的是()圖2A.運(yùn)動(dòng)員從O運(yùn)動(dòng)到B的整個(gè)過程中機(jī)械能不守恒B.運(yùn)動(dòng)員到達(dá)A點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為1000NC.運(yùn)動(dòng)員到達(dá)A點(diǎn)時(shí)重力的瞬時(shí)功率為104WD.運(yùn)動(dòng)員從A點(diǎn)飛出到落到B點(diǎn)所用的時(shí)間為eq\f(4\r(3),3)s答案BD解析運(yùn)動(dòng)員在光滑的圓軌道上的運(yùn)動(dòng)和隨后的平拋運(yùn)動(dòng)的過程中只有重力做功，機(jī)械能守恒，故A錯(cuò)誤；運(yùn)動(dòng)員在光滑的圓軌道上運(yùn)動(dòng)的過程中機(jī)械能守恒，有mgR(1－cos60°)＝eq\f(1,2)mv2，由牛頓第二定律可得，F(xiàn)N－mg＝eq\f(mv2,R)，解得FN＝1000N，在A點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為1000N，故B正確；由P＝mgvcosθ，A點(diǎn)的豎直分速度為0，可知此時(shí)重力的瞬時(shí)功率為零，故C錯(cuò)誤；由h＝eq\f(1,2)gt2，x＝v0t，tanθ＝eq\f(h,x)可得t＝eq\f(2v0tanθ,g)＝eq\f(4\r(3),3)s，故D正確?！臼纠?】(多選)(2022·百師聯(lián)盟聯(lián)考)如圖3甲所示是小朋友玩蹦床的示意圖。從小朋友下落到離地面高h(yuǎn)1處開始計(jì)時(shí)，其動(dòng)能Ek與離地高度h的關(guān)系如圖乙所示。在h1～h2階段圖象為直線其余部分為曲線，h3對(duì)應(yīng)圖象的最高點(diǎn)，小朋友的質(zhì)量為m，重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力和一切摩擦。下列說法正確的是()圖3A.整個(gè)過程中小朋友的機(jī)械能守恒B.從h2～h5過程中，小朋友的加速度先減小后增大C.從h1～h5過程中，蹦床的最大彈性勢(shì)能為Epm＝mg(h1－h(huán)5)D.小朋友處于h＝h4高度時(shí)蹦床的彈性勢(shì)能為Ep＝mg(h1－h(huán)4)答案BC解析小朋友與蹦床組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，故A錯(cuò)誤；小朋友的腳接觸蹦床到彈力等于重力的過程中有mg－kx＝ma，小朋友下降過程中x增大，則a減小，當(dāng)彈力等于重力到蹦床被壓縮至最低點(diǎn)的過程中有kx－mg＝ma′，小朋友下降過程中x增大，則a′增大，則從小朋友的腳接觸蹦床直至蹦床被壓縮至最低點(diǎn)的過程中，其加速度先減小后增大，故B正確；小朋友從h1下降到h5過程中，蹦床的最大彈性勢(shì)能為Epm＝mg(h1－h(huán)5)，故C正確；小朋友處于h1＝h4高度時(shí)，根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒有Ep＝mg(h2－h(huán)4)，故D錯(cuò)誤。考點(diǎn)一機(jī)械能守恒的理解和判斷1.(2021·廣東番禺期末)第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2022年在北京舉行。高山滑雪是冬奧會(huì)的一個(gè)比賽項(xiàng)目，因速度快、驚險(xiǎn)刺激而深受觀眾喜愛。在一段時(shí)間內(nèi)，運(yùn)動(dòng)員始終以如圖1所示的姿態(tài)加速下滑。若運(yùn)動(dòng)員受到的阻力不可忽略，則這段時(shí)間內(nèi)他的()圖1A.重力勢(shì)能增加，動(dòng)能減少，機(jī)械能守恒B.重力勢(shì)能增加，動(dòng)能增加，機(jī)械能守恒C.重力勢(shì)能減少，動(dòng)能減少，機(jī)械能減少D.重力勢(shì)能減少，動(dòng)能增加，機(jī)械能減少答案D解析下滑過程中，運(yùn)動(dòng)員加速下滑，動(dòng)能增加，重力做正功，重力勢(shì)能減小，運(yùn)動(dòng)員要克服阻力做功，要消耗機(jī)械能，機(jī)械能減小，故D正確，A、B、C錯(cuò)誤。2.(2021·重慶一診)高空豎直下落的物體，若阻力與速度成正比，則下列說法正確的是()A.下落過程，物體的機(jī)械能守恒B.重力對(duì)物體做的功等于物體動(dòng)能的增加量C.若物體做加速運(yùn)動(dòng)，必是勻加速運(yùn)動(dòng)D.物體落地前有可能做勻速直線運(yùn)動(dòng)答案D解析下落過程，由于有阻力做功，則物體的機(jī)械能減小，A錯(cuò)誤；根據(jù)動(dòng)能定理，重力和阻力對(duì)物體做的功等于物體動(dòng)能的增加量，B錯(cuò)誤；根據(jù)牛頓第二定律mg－kv＝ma，可知隨速度的增加，物體的加速度減小，則物體做加速運(yùn)動(dòng)，一定不是勻加速運(yùn)動(dòng)，C錯(cuò)誤；物體落地前，若滿足mg＝kv，則物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)，D正確。考點(diǎn)二單個(gè)物體的機(jī)械能守恒問題3.(2021·1月重慶市學(xué)業(yè)水平選擇性考試適應(yīng)性測(cè)試，1)一質(zhì)量為m的物塊僅在重力作用下運(yùn)動(dòng)，物塊位于r1和r2時(shí)的重力勢(shì)能分別為3E0和E0(E0＞0)。若物塊位于r1時(shí)速度為0，則位于r2時(shí)其速度大小為()A.2eq\r(\f(E0,m)) B.eq\r(\f(6E0,m))C.2eq\r(\f(2E0,m)) D.4eq\r(\f(E0,m))答案A解析物體僅在重力作用下運(yùn)動(dòng)，物體的機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可知E1＝E2，代入已知條件為3E0＋0＝E0＋eq\f(1,2)mv2，解得r2處的速度為v＝2eq\r(\f(E0,m))，故選A。4.如圖2所示，一小球以一定的初速度從圖示位置進(jìn)入光滑的軌道，小球先進(jìn)入圓軌道1，再進(jìn)入圓軌道2，圓軌道1的半徑為R，圓軌道2的半徑是軌道1的1.8倍，小球的質(zhì)量為m，若小球恰好能通過軌道2的最高點(diǎn)B，則小球在軌道1上經(jīng)過A處時(shí)對(duì)軌道的壓力為()圖2A.2mg B.3mgC.4mg D.5mg答案C解析小球恰好能通過軌道2的最高點(diǎn)B時(shí)，有mg＝eq\f(mveq\o\al(2,B),1.8R)，小球在軌道1上經(jīng)過A處時(shí)，有F＋mg＝eq\f(mveq\o\al(2,A),R)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有1.6mgR＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)，解得F＝4mg，C正確。5.(2021·四川成都期末)如圖3(a)所示，在豎直平面內(nèi)固定一光滑的半圓形軌道ABC，半徑為0.4m，小球以一定的初速度從最低點(diǎn)A沖上軌道，圖(b)是小球在半圓形軌道上從A運(yùn)動(dòng)到C的過程中，其速率的二次方與其對(duì)應(yīng)高度的關(guān)系圖象。已知小球在最高點(diǎn)C受到軌道的作用力大小為2.5N，空氣阻力不計(jì)，B點(diǎn)為AC軌道中點(diǎn)，重力加速度g取10m/s2，下列說法正確的是()圖3A.圖(b)中x＝36B.小球質(zhì)量為0.2kgC.小球在A點(diǎn)時(shí)受到的軌道作用力大小為12.5ND.小球在B點(diǎn)時(shí)受到的軌道作用力大小為4.5N答案B解析在最高點(diǎn)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有FN＋mg＝eq\f(mv2,R)，可得m＝0.2kg，B正確；根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝mgh＋eq\f(1,2)mv2，又m＝0.2kg，h＝2R，解得veq\o\al(2,0)＝25m2/s2，故x＝25，A錯(cuò)誤；在A點(diǎn)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有FNA－mg＝eq\f(mveq\o\al(2,0),R)，可得FNA＝14.5N，C錯(cuò)誤；小球在B點(diǎn)時(shí)FNB＝eq\f(mveq\o\al(2,B),R)，又eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)＋mgR＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，整理得FNB＝8.5N，D錯(cuò)誤?？键c(diǎn)三連接體的機(jī)械能守恒問題6.(多選)(2021·湖南衡陽市第二次模擬)如圖4所示，一根輕彈簧一端固定在O點(diǎn)，另一端固定一個(gè)帶有孔的小球，小球套在固定的豎直光滑桿上，小球位于圖中的A點(diǎn)時(shí)，彈簧處于原長(zhǎng)，現(xiàn)將小球從A點(diǎn)由靜止釋放，小球向下運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過與A點(diǎn)關(guān)于B點(diǎn)對(duì)稱的C點(diǎn)后，小球能運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)D點(diǎn)，OB垂直于桿，則下列結(jié)論正確的是()圖4A.小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)的過程中，其最大加速度一定大于重力加速度gB.小球從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程，小球的重力勢(shì)能和彈簧的彈性勢(shì)能之和可能增大C.小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，重力對(duì)其做功的功率最大D.小球在D點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能一定最大答案AD解析在B點(diǎn)時(shí)，小球的加速度為g，在BC間彈簧處于壓縮狀態(tài)，小球在豎直方向除受重力外還有彈簧彈力沿豎直方向向下的分力，所以小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)的過程中，其最大加速度一定大于重力加速度g，故A正確；由機(jī)械能守恒可知，小球從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程，小球做加速運(yùn)動(dòng)，即動(dòng)能增大，所以小球的重力勢(shì)能和彈簧的彈性勢(shì)能之和一定減小，故B錯(cuò)誤；小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，由于彈簧的彈力為零，合力為重力G，所以小球從C點(diǎn)往下還會(huì)加速一段，所以小球在C點(diǎn)的速度不是最大，即重力的功率不是最大，故C錯(cuò)誤；D點(diǎn)為小球運(yùn)動(dòng)的最低點(diǎn)，即速度為零，彈簧形變量最大，所以小球在D點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能最大，故D正確。7.(多選)(2021·陜西榆林模擬)如圖5所示，一足夠長(zhǎng)、不可伸長(zhǎng)的輕繩跨過光滑的輕質(zhì)定滑輪。繩兩端各系一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球a、b。a球的質(zhì)量為1kg，靜置于水平地面上；b球的質(zhì)量為4kg，用手托住使其靜止于距地面的高度為3m處，此時(shí)輕繩豎直且剛好拉緊?，F(xiàn)釋放小球b，取重力加速度大小g＝10m/s2，不計(jì)空氣阻力，下列說法正確的是()圖5A.b球落地瞬間，a球的速度大小為3m/sB.b球落地瞬間，b球的速度大小為6m/sC.a所能達(dá)到距地面的最大高度為6mD.a所能達(dá)到距地面的最大高度為4.8m答案BD解析設(shè)b球落地瞬間，a球的速度大小為v，由機(jī)械能守恒定律有mbgh－magh＝eq\f(1,2)mbv2＋eq\f(1,2)mav2，解得v＝6m/s，故A錯(cuò)誤，B正確；b球落地后，a球上升的高度為h＝3m，之后做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，繼續(xù)上升的高度為h1＝eq\f(v2,2g)＝1.8m，所以a所能達(dá)到距地面的最大高度為H＝h＋h1＝4.8m，故C錯(cuò)誤，D正確。8.(2021·河南洛陽期末)如圖6所示，有一光滑軌道ABC，AB部分為半徑為R的eq\f(1,4)圓弧，BC部分水平，質(zhì)量均為m的小球a、b固定在豎直輕桿的兩端，輕桿長(zhǎng)為R，小球可視為質(zhì)點(diǎn)，開始時(shí)a球處于圓弧上端A點(diǎn)，由靜止開始釋放小球和輕桿，使其沿光滑弧面下滑，重力加速度為g，下列說法正確的是()圖6A.a球下滑過程中機(jī)械能保持不變B.b球下滑過程中機(jī)械能保持不變C.a、b球都滑到水平軌道上時(shí)速度大小均為eq\r(2gR)D.從釋放a、b球到a、b球都滑到水平軌道上，整個(gè)過程中輕桿對(duì)a球做的功為eq\f(1,2)mgR答案D解析對(duì)于單個(gè)小球來說，桿的彈力做功，小球機(jī)械能不守恒，A、B錯(cuò)誤；兩個(gè)小球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有mgR＋mg(2R)＝eq\f(1,2)·2mv2，解得v＝eq\r(3gR)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；a球在滑落過程中，桿對(duì)小球做功，重力對(duì)小球做功，根據(jù)動(dòng)能定理可得W＋mgR＝eq\f(1,2)mv2，聯(lián)立v＝eq\r(3gR)，解得W＝eq\f(1,2)mgR，故D正確。9.(多選)如圖7所示，物體A、B通過細(xì)繩及輕質(zhì)彈簧連接在輕滑輪兩側(cè)，物體A、B的質(zhì)量分別為2m、m。開始時(shí)細(xì)繩伸直，用手托著物體A使彈簧處于原長(zhǎng)且A與地面的距離為h，物體B靜止在地面上。放手后物體A下落，與地面即將接觸時(shí)速度大小為v，此時(shí)物體B對(duì)地面恰好無壓力，不計(jì)一切摩擦及空氣阻力，重力加速度大小為g，則下列說法中正確的是()圖7A.物體A下落過程中，物體A和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒B.彈簧的勁度系數(shù)為eq\f(2mg,h)C.物體A著地時(shí)的加速度大小為eq\f(g,2)D.物體A著地時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能為mgh－eq\f(1,2)mv2答案AC解析由題意知，物體A下落過程中，B一直靜止不動(dòng)，對(duì)于物體A和彈簧組成的系統(tǒng)，只有重力和系統(tǒng)內(nèi)彈力做功，則物體A和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，故A正確；物體A即將著地時(shí)，物體B對(duì)地面的壓力恰好為零，彈簧的彈力為F＝mg，開始時(shí)彈簧處于原長(zhǎng)，由胡克定律知F＝kh，則彈簧的勁度系數(shù)為k＝eq\f(mg,h)，故B錯(cuò)誤；物體A著地時(shí)，細(xì)繩對(duì)A的拉力也等于mg，對(duì)A，根據(jù)牛頓第二定律得2mg－mg＝2ma，則a＝eq\f(g,2)，故C正確；物體A與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有2mgh＝Ep彈＋eq\f(1,2)×2mv2，則Ep彈＝2mgh－mv2，故D錯(cuò)誤。10.(2021·江蘇無錫模擬)如圖8所示，半徑為R、內(nèi)壁光滑的硬質(zhì)圓環(huán)固定在地面上，有一質(zhì)量為m、可視為質(zhì)點(diǎn)的光滑小球在圓環(huán)的底端，現(xiàn)給小球一個(gè)初速度，下列說法中正確的是()圖8A.小球能上升的最大高度一定等于eq\f(v2,2g)B.無論v多大，小球上升的最大高度不超過eq\f(v2,2g)C.要使小球一直不脫離圓環(huán)，v的最小速度為eq\r(5gR)D.若小球能到達(dá)圓環(huán)最高點(diǎn)，則在最高點(diǎn)的速度大小可以等于零答案B解析小球在圓環(huán)上的運(yùn)動(dòng)情況有兩種可能：一是速度較小，滑到某處速度為0，由機(jī)械能守恒定律有mgh＝eq\f(1,2)mv2，解得最大高度為h＝eq\f(v2,2g)；二是速度較大，小球通過到達(dá)圓環(huán)最高點(diǎn)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，或沒有到達(dá)最高點(diǎn)就離開圓環(huán)而做斜拋運(yùn)動(dòng)，則在最高點(diǎn)還有水平速度，由機(jī)械能守恒定律可知小球所能達(dá)到的最大高度要小于h＝eq\f(v2,2g)，故A錯(cuò)誤，B正確；要使小球一直不脫離圓環(huán)，當(dāng)小球不超過圓心等高處的A點(diǎn)時(shí)，有mgR＝eq\f(1,2)mv2，解得v＝eq\r(2gR)，小球的速度比這個(gè)小都不會(huì)離開圓環(huán)，當(dāng)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，則在最高點(diǎn)速度最小時(shí)，有mg＝eq\f(mveq\o\al(2,min),R)，解得vmin＝eq\r(gR)，由機(jī)械能守恒定律可得eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,min)＝2mgR，解得v＝eq\r(5gR)，故C、D錯(cuò)誤。11.(多選)如圖9甲所示，輕彈簧豎直固定在水平面上處于自由狀態(tài)，一質(zhì)量為m＝0.2kg的小球，從彈簧上端某高度處自由下落，從它接觸彈簧到彈簧壓縮至最短的過程中(彈簧在彈性限度內(nèi))，其速度v和彈簧壓縮量Δx之間的函數(shù)圖象如圖乙所示，其中A為曲線的最高點(diǎn)，小球和彈簧接觸瞬間機(jī)械能損失不計(jì)，取g＝10m/s2，則()圖9A.當(dāng)Δx＝0.1m時(shí)，小球處于失重狀態(tài)B.小球在最低點(diǎn)時(shí)的加速度大于10m/s2C.從接觸彈簧到壓縮至最短的過程中，小球的機(jī)械能守恒D.小球從速度最大到壓縮至最短，彈簧彈性