基于增量型索單元的懸索橋恒載分析

1拉索有限元分析由于懸索橋的設(shè)計和施工需要精確計算主節(jié)點的形狀，因此有必要精確計算主節(jié)點的形狀。在非線性有限元分析中通常主纜可劃分為桿單元、曲線索元和兩節(jié)點懸鏈線單元三種模式。文、文采用桿單元并通過Ernst公式計算拉索的垂度效應(yīng),該法在拉索長度較短,索的拉力較大時才能保證足夠的精度。文～文采用拉格朗日描述法,建立了曲線索元。文～文采用懸鏈線精確的分析表達式,建立了兩節(jié)點的懸鏈線單元。懸鏈線單元由于節(jié)點數(shù)少,能得出剛度矩陣的顯式,且能模擬任意長度的拉索單元,精度較高。本文推導(dǎo)了彈性懸鏈線索單元水平投影和豎向投影與主纜端點的拉力及無應(yīng)力索長的解析關(guān)系,建立了主纜索單元增量形式的平衡方程,通過求解增量方程可以確定主纜各吊點的坐標(biāo)及每段主纜的無應(yīng)力索長。此種方法與基于有限位移理論的有限單元法相比,計算工作量較小,具有相對較高的計算精度,對于懸索橋初步分析可以采用這種相對簡單的計算方法。2節(jié)點力的關(guān)系在主纜分析計算過程中,采用如下假定:①主纜為線性彈性材料;②索是理想柔性的,只能承受拉力而不能受壓和抗彎;③不考慮主纜橫截面變形前后的變化;④主纜的自重沿索長為常量。圖1所示一段主纜,節(jié)點坐標(biāo)以及節(jié)點力的方向均以坐標(biāo)軸正向為正,假定索單元左端i節(jié)點的水平與豎直節(jié)點力分別為Fx、Fy,則拉氏坐標(biāo)s處節(jié)點力的大小與i節(jié)點的節(jié)點力的關(guān)系為Fxx=Fx,Fxy=Fy+qs0,Fi=√F2x+F2y,Τs=√F2x+(Fy+qs0)2(1)式中:s0為與拉氏坐標(biāo)s所對應(yīng)的無應(yīng)力索長;q為該懸鏈線單元沿主纜均勻分布的豎向荷載集度;Fxx、Fxy分別為拉氏坐標(biāo)s處節(jié)點力的水平分量、豎向分量;Ts為拉氏坐標(biāo)s處節(jié)點力。取拉氏坐標(biāo)s處一微段,則dxds=-FsxΤs,dyds=-FsyΤs(2)由虎克定律知dsds0=1+ΤsEcAc(3)上式中EcAc為索的抗拉剛度。由式(2)、式(3)可得dsds0=-Fx(1EcAc+1Τs)(4)dyds0=-Fsy(1EcAc+1Τs)(5)積分式(4)和式(5)并考慮邊界條件s0=0時x(0)=0和y(0)=0,可得到x(s0)和y(s0)。令Lx=x(s0)和Ly=y(s0),可得到每段主纜水平投影長度Lx和豎向投影長度Ly與節(jié)點力和無應(yīng)力索長s0之間的關(guān)系為Lx=-Fxs0EcAc+Fxq[sh-1(FsyFx)-sh-1(FyFx)]?Ly=-Fys0EcAc-qs202EcAc-1q(Τs-Fi)(6)3懸鏈線索單元的節(jié)點力增量由索單元力的平衡條件可知該懸鏈線索單元左右兩個節(jié)點的節(jié)點力的關(guān)系為Fjx=-Fx,Fjy=-Fy-qs0(7)式(6)取微分可得ΔLx=?Lx?FxΔFx+?Lx?FyΔFy+?Lx?s0ΔLe0,ΔLy=?Ly?FxΔFx+?Ly?FyΔFy+?Ly?s0ΔLe0(8)其中:ΔLe0為單元長度增量;式(8)中的系數(shù)為f11=?Lx?Fx=-s0EcAc+1q(FsyΤs-FyFi)-1qln(Fsy+ΤsFy+Fi),f12=?Lx?Fy=-Fxq(1Τs-1Fi),f13=?Lx?s0=-Fx(1EcAc+1Τs),f21=?Ly?Fx=-Fxq(1Τs-1Fi),f22=?Ly?Fy=-s0EcAc-1q(FsyΤs-FyFi),f23=?Ly?s0=-(FsyEcAc+FsyΤs)(9)將式(8)改寫為矩陣形式為{ΔLxΔLy}=[f11f12f21f22]{ΔFxΔFy}+[f13f23]ΔLe0(10)i節(jié)點的節(jié)點力增量為{ΔFxΔFy}=[f11f12f21f22]-1({ΔLxΔLy}-[f13f23]ΔLe0)(11)或?qū)懗搔i=[-kckc]Δxe+kgΔLe0(12)其中kc=[f11f12f21f22]-1,ΔFi={ΔFxΔFy}?kg=-[f11f12f21f22]-1[f13f23]?{ΔLxΔLy}={Δxj-ΔxiΔyj-Δyi}=[-10100-101]{ΔxiΔyiΔxjΔyj}=ΝeΔxe(13)由式(7)可知j節(jié)點的節(jié)點力增量ΔFj與i節(jié)點的節(jié)點力增量ΔFi之間的關(guān)系為ΔFj=ΔFi-qΔLe0(14)其中:q=[0q]T,將式(12)代入式(14)得到懸鏈線索單元節(jié)點力增量方程為ΔFe=ΚceΔxe+ΚgeΔL0e(15)其中ΔFe={ΔFiΔFj},Κce=[-kckckc-kc],Κge=(kg-kg-q)(16)上式即為單個彈性懸鏈線索單元增量形式的平衡方程。若將主纜離散成n個彈性懸鏈線索單元,則將單元增量平衡方程組裝成總體增量平衡方程為ΔF=∑nΔFe=∑nΚceΔxe+∑nΚgeΔL0e=ΚcΔx+ΚgΔL0(17)式中:ΔF為主纜在各節(jié)點處的節(jié)點抵抗力向量;Kc、Kg為總體切線剛度矩陣。式(17)共有2(n+1)個方程,未知量為3n+2,因此要想能夠直接解出Δx和ΔL0必須根據(jù)已知條件列出補充方程。注意到懸索橋作用于主纜的吊桿的x坐標(biāo)是已知的,故可以補充n-1個方程,對于主跨跨中的矢高一般是在設(shè)計階段首先確定的,故也是已知的,總共可以補充的方程個數(shù)為n個,這樣方程個數(shù)和未知量個數(shù)就相等了,只要知道了節(jié)點抵抗力增量通過上式就可以計算出主纜的坐標(biāo)以及每段主纜的無應(yīng)力索長。將Δx分成兩部分,一部分是已知的,為Δxs;一部分是未知的,為Δxu。則上面的方程(17)可以改寫為ΔF=ΚcsΔxs+ΚcuΔxu+ΚgΔL0(18)Δxs由于其坐標(biāo)值為已知的,顯然其增量為零,所以上式可以改寫為ΔF=ΚcgΔxg(19)上式即為主纜增量平衡方程。其中Κcg=[ΚcuΚg],Δxg=[ΔxuΔL0]Τ,ΔF=Ρ-F(20)式中:ΔF為節(jié)點抵抗力增量;P為吊桿的吊桿力向量;F為與吊桿位置相對應(yīng)的節(jié)點的抵抗力向量。注意到式(19)中方程有2(n+1)個,其中包括與吊桿位置所對應(yīng)的2(n-1)個方程和主纜在兩主塔位置的4個方程。主纜在主塔位置的節(jié)點坐標(biāo)均為已知值,故上面的方程中可以去掉與之相對應(yīng)的4個方程和未知量,因此在形成Kcg過程中應(yīng)去掉與主纜在主塔位置的坐標(biāo)增量對應(yīng)的行和列。4主纜中主纜合成連接的確定式(19)為非線性方程,可以通過迭代來求解,本文采用Newton-Rapson法計算,具體迭代步驟如下。1)假定一組主纜各點坐標(biāo)和無應(yīng)力索長的初值x0。確定初值的方法為:①根據(jù)給定的所有主纜節(jié)點的x坐標(biāo)以及已知的跨度和主跨的矢高,采用拋物線法確定主纜節(jié)點出對應(yīng)的y坐標(biāo)和主纜的水平拉力,并計算每段主纜的水平投影長度Lxe和豎向投影長度Lye,將其組裝可得到Lx和Ly。根據(jù)拋物線法得到Lxe,Lye和Fxe,然后由兩端點位置確定的懸鏈線關(guān)系式可計算L0e和Fyeλ=-qLxe2Fxe,L0e=(Lxe)2(shλλ)2+(Lye)2,Fye=q2(-Lyechλshλ+L0e)(21)②將Fxe,Fye和L0e代入式(6)可以得到新的主纜的水平投影長度向量Lxe′和豎向投影長度Lye′,將其組裝即可得到L′x和L′y。③計算誤差ΔLx=Lx-L′x,ΔLy=Ly-L′y,設(shè)定收斂判據(jù)eps,如果|ΔLx|≤eps且|ΔLy|≤eps,則終止計算,前面得到的Fye和L0e即為待求的值。如果前面的條件不滿足,則調(diào)整Fye和L0e,其增量的計算方法為{ΔFyeΔL0e}=[f12f13f22f23]-1{ΔLxeΔLye}(22)將Fye和L0e組裝起來可得到調(diào)整后的向量Fy和L0。④更新Fy和L0為Fy=Fy+ΔFy?L0=L0+ΔL0⑤將更新后的Fy和L0以及Fx代入到式(6)中,計算主纜的L′x和L′y,繼續(xù)③、④,直到得到收斂的解。2)利用第一步得到的初值Lx、Ly、L0、Fx、Fy,采用Newton-Rapson方法解方程(19)。①假定Fx和Fy的初值為前次迭代計算得到的值,與L0一起代入到式(6)可計算得到主纜的水平投影長度L′x和豎向投影長度L′y。②計算誤差ΔLx=Lx-L′x,ΔLy=Ly-L′y,如果|ΔLx|≤eps且|ΔLy|≤eps,則終止計算,前面的Fx、Fy即為待求的值。如果前面的條件不滿足,則調(diào)整Fx、Fy,其增量的計算方法如下{ΔFxeΔFye}=[f11f12f21f22]-1{ΔLxeΔLye}(23)③將更新后的Fx、Fy和L0代入到式(6)中,計算主纜的水平投影長度L′x和豎向投影長度L′y,繼續(xù)①～③,直到得到收斂的解。3)利用每一個單元的Fjxe、Fjye、Fxe和Fye,可計算每個節(jié)點的節(jié)點抵抗力Fkxe=Fjxe(k-1)+Fxe(k),(k=2,3,…,n-1);Fkye=Fjye(k-1)+Fye(k),(j=2,3,…,n-1)(24)Fxe(k),Fye(k)表示第k個單元左端點的節(jié)點力,Fjke(k-1),Fjye(k-1)表示第k-1個單元右端點的節(jié)點力。4)將計算得到的節(jié)點抵抗力和吊桿力代入式(20),計算節(jié)點的不平衡力向量ΔF,如果|ΔF|≤eps,則說明目前的節(jié)點坐標(biāo)與實際情況較接近,就是需要確定的成橋狀態(tài)下的主纜的線形,可以終止計算。如果|ΔF|>eps,則將ΔF代入式(19)計算主纜各坐標(biāo)的增量以及各段主纜無應(yīng)力索長的增量。5)如果|ΔF|沒有達到要求的誤差,則更新主纜的坐標(biāo)和無應(yīng)力索長。6)繼續(xù)2)～5),直至計算結(jié)果達到要求的計算精度為止。5分纜有限元分析算例1如圖2所示的一根單索,作用一集中荷載(圖中單位已經(jīng)換算成國際單位)。本文采用四個懸鏈線索單元對加載點處的位移進行了計算,并與文獻及中的結(jié)果進行了比較,結(jié)果如表1。由結(jié)果可知本文采用很少的單元數(shù)計算的結(jié)果與上述文獻非常吻合。算例2兩支座等高的懸索如圖3所示。跨度l=888.0m,主纜恒載集度q2=54.0kN/m,加勁梁恒載集度q1分別為50.0kN/m、100kN/m、200kN/m,吊桿間距12m,跨中矢高f分別為60m、70m、80m、90m、100m,主纜材料彈性模量E=2.0×105MPa,面積A=0.6m2。用本文方法計算的索力水平分量H,主纜無應(yīng)力長度及x=216m處的豎向坐標(biāo)值y