ii=1第十章一元回歸與相關(guān)分析概述：許多問題需要研究多個(gè)變量之間的關(guān)系，例如生物的生長發(fā)育速度就與溫度，營養(yǎng)，濕度等許多因素有關(guān)。相關(guān)關(guān)系：兩變量X,Y均為隨機(jī)變量，任一變量的每一可能值都有另一變量的一個(gè)確定分布與之對應(yīng)?；貧w關(guān)系：X是非隨機(jī)變量（如施肥）或隨機(jī)變量（如穗長），Y是隨機(jī)變量，對X的每一確定值xi都有Y的一個(gè)確定分布與之對應(yīng)。區(qū)別：1?相關(guān)中的兩個(gè)變量地位對稱，互為因果；回歸中X是自變量，Y是因變量。兩種意義不同，分析的數(shù)學(xué)概念與推導(dǎo)過程不同，但如果使用共同標(biāo)準(zhǔn)即使y的殘差平方和最?。ㄗ钚《朔ǎ傻玫较嗤膮?shù)估計(jì)式。因此主要討論X為非隨機(jī)變量（不包含有隨機(jī)誤差）的情況，所得到的參數(shù)估計(jì)式也可用于X為隨機(jī)變量的情況。2?分析目的不同?；貧w分析是建立X與Y之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式，用于預(yù)測；而相關(guān)分析研究X與Y兩個(gè)隨機(jī)變量之間的共同變化規(guī)律，例如當(dāng)X增大時(shí)Y如何變化，以及這種共變關(guān)系的強(qiáng)弱。分類：從兩個(gè)變量間相關(guān)（或回歸）的程度分三種：（1）完全相關(guān)。一個(gè)變量的值確定后，另一個(gè)變量的值可通過公式求出（函數(shù)關(guān)系）；生物學(xué)研究中不太多見。（2）不相關(guān)。變量之間完全沒有任何關(guān)系。一個(gè)變量的值不能提供另一個(gè)變量的任何信息。（3）統(tǒng)計(jì)相關(guān)（不完全相關(guān)）。介于上述兩情況之間。知道一個(gè)變量的值通過某種公式就可以提供另一個(gè)變量的均值的信息。一個(gè)變量的取值不完全決定另一個(gè)變量的取值，但可或多或少地決定它的分布。科研中最常遇到。研究“一因一果”，即一個(gè)自變量與一個(gè)依變量的回歸分析稱為一元回歸分析；

研究“多因一果”，即多個(gè)自變量與一個(gè)依變量的回歸分析稱為多元回歸分析。一元回歸分析又分為直線回歸分析與曲線回歸分析兩種；多元回歸分析又分為多元線性回歸分析與多元非線性回歸分析兩種。對兩個(gè)變量間的直線關(guān)系進(jìn)行相關(guān)分析稱為直線相關(guān)分析；研究一個(gè)變量與多個(gè)變量間的線性相關(guān)稱為復(fù)相關(guān)分析；研究其余變量保持不變的情況下兩個(gè)變量間的線性相關(guān)稱為偏相關(guān)分析。注意：1.相關(guān)與回歸只是一種工具，不是不相干的數(shù)據(jù)拼湊在一起。2?除X、Y等需研究的因素外，其他的要嚴(yán)格控制一致。（身高與胸圍的關(guān)系要控制體重）對子一般在5對以上需限制自變量范圍，結(jié)果不能隨意外延。第一節(jié)一元線性回歸（一）直線回歸方程的建立對于兩個(gè)相關(guān)變量，一個(gè)變量用x表示，另一個(gè)變量用y表示，如果通過試驗(yàn)或調(diào)查獲得兩個(gè)變量的n對觀測值：（xl,yl）,（x2,y2）,，（xn,yn）

為直觀看出X和y間的變化趨勢，可將每一對觀測值在平面直角坐標(biāo)系描點(diǎn)，作出散點(diǎn)圖例11.1對大白鼠從出生第6天起，每三天稱一次體重，直到第18天。數(shù)據(jù)見表11.1。試計(jì)算日齡X與體重Y之間的回歸方程。表11.1大白鼠6-18日齡的體重序號12345日齡X；69121518體重y；1116.5222629散點(diǎn)圖對X、Y之間的關(guān)系有直觀的、整體上的印象，但是否有某種規(guī)律性，是接近一條直線還是一條曲線等，哪一條直線或曲線可以最好地代表X,Y之間的關(guān)系，不能做出判斷。圖11.1大白鼠日齡—體重關(guān)系圖一、一元正態(tài)線性回歸統(tǒng)計(jì)模型：對于每個(gè)Y的觀察值yi來說，由于總是帶有隨機(jī)誤差，觀察值就應(yīng)該是在均值的基礎(chǔ)上再加上一個(gè)隨機(jī)誤差，即：y二a+Bx+￡(11.2)iii其中8?NID(0,Q2)。隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布。這是一元正態(tài)線性回歸的統(tǒng)計(jì)模型。i二、參數(shù)a和B的估計(jì)模型中的a和B是參數(shù)，一般不知道。由于只能得到有限的觀察數(shù)據(jù)，無法算出準(zhǔn)確的a與B的值，只能求出估計(jì)值a和b，并得到y(tǒng)的估計(jì)值為：iy=a+bx(11.3)iia和b應(yīng)使殘差e=y-y最小。為了避免使正負(fù)e.互相抵消，定義使殘差平方和iiii￡(y-y)2達(dá)到最小的直線為回歸線，即令：iiSS=工(y—a—bx)SS=工(y—a—bx)2,且sSe對a、b的一階偏導(dǎo)數(shù)等于0eiii=1dSSdadSSedb=0=0得：整理后,得工(—2)(y-a-bx)=0ii<i=1丫(—2)x(y—a—bx)=0iiii=1an+Vab》x=藝yiii=1i=1xy11.4)i=1iiii=1i=1解此方程,得：b=》nxyii(》x)b=》nxyii(》x)-(》iy)i》nx2—(》ni=1i=1工(x—x)(y—y)ii=-工(x—x)2ii=1=y—bx這種方法稱為最小二乘法記S=工(x-x)2,稱為X的校正平方和;TOC\o"1-5"\h\zxxii=1S=工(y-y)2,稱為y的總校正平方和;yyii=1S=工(x-x)(y-y)，稱為校正交叉乘積和，xyiii=1S則：b=亠(11.7)Sxxa叫樣本回歸截距，是回歸直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，當(dāng)x=0時(shí)，y=a；b叫樣本回歸系數(shù)，表示x改變一個(gè)單位，y平均改變的數(shù)量；b的符號反映了x影響y的性質(zhì)，b的絕對值大小反映了x影響y的程度；

y叫做回歸估計(jì)值，是當(dāng)X在在其研究范圍內(nèi)取某一個(gè)值時(shí)，y值平均數(shù)a+Bx的估計(jì)值回歸方程的基本性質(zhì)：1工(y—y)2最小iii=12乙(y—y)=0iii=13.直線通過(x,y)轉(zhuǎn)化后得到回歸方程的另一種形式(中心化形式)y=y—bx+bx=y+b(x—x)在實(shí)際計(jì)算時(shí)，可采用以下公式：S乏x2—1x.2,xxini=1S二丈y2—1■y.2,yyini=1S二工xy1x.y.xyiii=1n工x=60,工x2=810,104.5,工y2=2394.25,工x=60,工x2=810,104.5,工y2=2394.25,工xy=1390.5iiii=1i=1表5.1大白鼠6-18日齡的體重序號12345日齡xi69121518體重y.1116.5222629解：把數(shù)據(jù)代入上述公式,得：工y=TOC\o"1-5"\h\ziiii=1i=1i=1S=810—-(60)2=90xx5S=2394.25—-(104.5)2=210.2,yy5S=1390.5—-x60x104.5=136.5,xy5Sb=?=136.5/90=1.5167Sxxa=y—bx=104.5/5—1.5167x12=2.6996即：所求的回歸方程為：y=2.6996+1.5167x帶有統(tǒng)計(jì)功能的計(jì)算器，只需把數(shù)據(jù)依次輸入，然后按一下鍵就可得到上述結(jié)果。根據(jù)直線回歸方程可作回歸直線，并不是所有的散點(diǎn)都恰好落在回歸直線上，說明用y去估計(jì)y是有偏差的。三、直線回歸的偏離度估計(jì)偏差平方和￡(y-y)2的大小表示了實(shí)測點(diǎn)與回歸直線偏離的程度，因而偏差iii=1平方和又稱為離回歸平方和。統(tǒng)計(jì)學(xué)已經(jīng)證明：在直線回歸分析中離回歸平方和的自由度為n-2。于是可求得離回歸均方為：工(y-y)2/(n-2)離回歸均方是模型中。2的估計(jì)值。S離回歸均方的平方根叫離回歸標(biāo)準(zhǔn)誤，記為yx，即S=&(y-y)2/(n-2)yxS的大小表示了回歸直線與實(shí)測點(diǎn)偏差的程度，即回歸估測值y與實(shí)際觀測值yyx偏差的程度，于是把離回歸標(biāo)準(zhǔn)誤Syx用來表示回歸方程的偏離度。以后將證明：工(y-y)2=ss-sp2/ssyxyx利用此式先計(jì)算出￡(y-y)2，然后再求Syx。四、直線回歸的顯著性檢驗(yàn)x和y變量間即使不存在直線關(guān)系，但由n對觀測值(xi,yi)也可以根據(jù)上面的方法求得一個(gè)回歸方程。顯然，這樣的回歸方程所反應(yīng)的兩個(gè)變量間的直線關(guān)系是不真實(shí)的。需要判斷直線回歸方程的真實(shí)性。先探討依變量y的變異，然后再作出統(tǒng)計(jì)推斷。1、直線回歸的變異來源(y-y)的分解圖1)一元回歸的方差分析(1)無重復(fù)的情況。y的總校正平方和可進(jìn)行如下的分解：(y-y)=(y-y)+(y-y)

丫(y—丫(y—y)2=丫[(y—y)+(y—y)]2iiiii=1=丫(y—y)2+丫(y—y)2+2丫(y—y)(y—刃TOC\o"1-5"\h\ziiiiiii=1i=1i=1???丫(y—y)(y—y)=X(y—a—bx)(a+bx—a—bx)iiiiiii=1i=1=工(y—y+bx—bx)(bx—bx)iiii=1=b[丫(y—刃(x—x)—bX(x—x)2]iiii=1i=1=b(S—b-S)=0xyxx???工(y-y)2=工(y-y)2+工(y-y)2iiii=1i=1=SSe殘差平方和n-2SSR

回歸平方和1工(y-yiii=1i=1=SSe殘差平方和n-2SSR

回歸平方和1工(y-y)2反映了y的總變異程度,稱為y的總平方和，記為SSy；工(y—y)2反映了由于y與x間存在直線關(guān)系所引起的y的變異程度，稱為回歸平方和，記為SSR；乂(y—y)2反映了除y與x存在直線關(guān)系以外的原因，包括隨機(jī)誤差所引起的y的變異程度，稱為離回歸平方和或剩余平方和，記為SSe。把y的總校正平方和分解成了殘差平方和與回歸平方和。MSe可作為總體方差8的估計(jì)量，而MSr可作為回歸效果好壞的評價(jià)。如果MSr僅由隨機(jī)誤差造成的話，說明回歸失敗,X和Y沒有線性關(guān)系；否則它應(yīng)顯著偏大。因此可用統(tǒng)計(jì)量MSSSF=R=RMSSS/(n—2)ee11.10)對H0：卩=0進(jìn)行檢驗(yàn)。若F<Fa(,則接受H。，否則拒絕。簡化公式：SSr丄(y—y)2=Z[b(x—x)]2=b2工(x—x)2=b2SS=bSPSPSP2-SP=

SSxySSxySP2SS=SS—SS=SS—叫eyRySSx對例11.1作方差分析解：由以前計(jì)算結(jié)果：SSy=210.2，df=4;ySSe=3.1704,df=3,df=1SSR=210.2—3.1704=207.03,df=1207.033.1704/3=207.033.1704/3=195.90查表得F0.95（1，3）=10.13,F0.99（1,3）=34.12F>F0.99（1,3）,拒絕H°,差異極顯著。即應(yīng)認(rèn)為回歸方程有效。（2）有重復(fù)的情況：設(shè)在每一個(gè)xi取值上對Y作了m次觀察，結(jié)果記為yi1,yi2,yim,則線性統(tǒng)計(jì)模型變?yōu)椋簓=a+Bx+&,i=1,2,…n,j=1,2,…mijiij估計(jì)值仍為：y二a+bxii現(xiàn)在y的總校正平方和可分解為：SS=SS+SS+SSyRLOFpe其中SS稱為失擬平方和，SS為純誤差平方和，表達(dá)式和自由度分別為:LOFpeSS=埜"（y一y..）2,df=mn-1yiji=1j=1SS=m?才(y-y..)2,df=1Ridf=n-df=n-2

df=mn-nSS=m?工(y-y)2,LOFi.ii=1SS=工》(y-y)2,peiji.i=1j=1可試證明上述分解中的三個(gè)交叉項(xiàng)均為0。統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)步驟為：令F=L°^，它服從F（n-2,mn-n）1MSpe若F檢驗(yàn)差異顯著，則可能的原因有：（1）除X以外還有其他變量影響Y的取值，而統(tǒng)計(jì)時(shí)沒有加以考慮；（2）模型不當(dāng)，即X與Y之間不是線性關(guān)系；此時(shí)無必要再進(jìn)一步對MSr作檢驗(yàn)，而應(yīng)想辦法找出原因，并把它消除后重作回歸。若差異不顯著，則把MSlof和MSpe合并，再對MSr作檢驗(yàn)：MSF2=SS+RSS，它服從F（1,mn-2）LOFpedf+dfLOFpe若差異顯著，說明回歸是成功的，X,Y間確有線性關(guān)系；若差異仍不顯著，則回歸失敗,其可能的原因?yàn)椋海?）X，Y無線性關(guān)系；(2)誤差過大，掩蓋了X,Y間的線性關(guān)系。如有必要，可設(shè)法減小實(shí)驗(yàn)誤差，或增加重復(fù)數(shù)重做實(shí)驗(yàn)后再重新回歸。二)一元回歸的t—檢驗(yàn)由于MS的自由度為n-2，因此上述兩方差的自由度也均為n-2。有了a和b的方差與均e值，我們就可構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量對它們進(jìn)行檢驗(yàn)：H0:卩=0HA:卩工0(雙側(cè)檢驗(yàn))或：ha：卩＞0(或卩＜0)(單側(cè)檢驗(yàn))、b?歹統(tǒng)計(jì)量：t=b/S=壬bb；'MSe其中，Sb為回歸系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤。當(dāng)H0成立時(shí)，t~t(n-2),可查相應(yīng)分位數(shù)表進(jìn)行檢驗(yàn)。0a對例11?1中的卩作t-檢驗(yàn)H。：卩=0SSS-bSS-S2/S解：MS=l=—yy=—yyen-2n-2n-2210.2-136.52/90==1.05835—2t=b/S=b/：MS/Sbexx=1.5167^1.0583/90=1.5167/0.1084=13.99查表，t0.995(3)=5.841＜t，差異極顯著，應(yīng)拒絕H0，即卩工0，或X與Y有著極顯著的線性關(guān)系。上述統(tǒng)計(jì)量還有一個(gè)用途:進(jìn)行兩個(gè)回歸方程間的比較。即檢驗(yàn)H0：卩產(chǎn)卩2和H0：w=a2o如果兩H0均被接受，則可認(rèn)為兩組數(shù)據(jù)是抽自同一總體，從而可將兩回歸方程合并，得到一個(gè)更精確的方程。例11.3兩組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：X,91939496981021051081—y^6668697173788285x28082858789919555576062646771是否可從它們得到統(tǒng)一的回歸方程？解：從原始數(shù)據(jù)計(jì)算可得：組別nxSXXSvvSxvMSeba1898.37574.0257.875336.0294.00.13571.140-38.152787.062.286162.0187.429174.00.10801.074-31.15(1).首先檢驗(yàn)總體方差是否相等：H:Q2=Q2,H:Q22012A12xxxx百M(fèi)S0.135712565F=吐==1.2565MS0.1080e2查表，F(xiàn)0.975(6,百M(fèi)S0.135712565F=吐==1.2565MS0.1080e2查表，F(xiàn)0.975(6,5)=6.978>F,接受H0,可認(rèn)為兩總體方差相等。計(jì)算公共的總體方差：MSe(n-2)MS+(n-2)MS1el2e2n+n-4126x0.1357+5x0.108011沁0.1231(2).檢驗(yàn)回歸系數(shù)卩］與卩2是否相等：H0:卩］=卩2；HA:卩］工卩2b-bb-b12—=—12L+丄)Sxx20.066沁=1.8766i'110.03517■0.1231x(+)257.875162t=—.12——=—<Sb1+逬2:MS(eSxx11.140-1.074查表，得t0975(11)=2.201>t,???接受H0,可認(rèn)為兩回歸系數(shù)相等。共同總體回歸系數(shù)的估計(jì)值為：7S-b+S-bb=―xx11xx2:S+S

xx1xx2(3).再檢驗(yàn)a2是否相等：a-a12S+S—xy1xy2S+Sxx1xx225^?1.1146H0:%=a2；HA:a1豐a2a-a——12—1X21X2、1++4)nS2xx2-7=q-q-2.17021198.37528723.22556■0.1231x(—+++)87257.875162t=,12=VS2+S2a1a2:MS(+1e匕-38.15+31.15Sxx1查表，t0.975(11)=2.201,?t0975(ll)>|t|,接受H0，可認(rèn)為:w=a2若檢驗(yàn)結(jié)果為w"2，此題即可結(jié)束；但若檢驗(yàn)結(jié)果為％=d2,則需把全部原始數(shù)據(jù)放在一起，重新進(jìn)行回歸：S=902.9333,S=965.4667,S=1035.7333,x=93.067,y=68.533,xxxyyySb=牡=1.0693,Sa=y-bx=-30.9787從而得到合并的回歸方程y=-30.9787+1.0693x?，F(xiàn)在證明t檢驗(yàn)與前述的F檢驗(yàn)是一致的前已證明：SS=S—b-S,eyyxy.??SSR=S—SS=b-S,RyyexyS2S2

beSxx廠MSb-Sb2...F二R二4二二12MSS2-SS2ebxxb五、點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)前邊已經(jīng)證明a和b是a和B的點(diǎn)估計(jì)；但作為預(yù)測值僅給出點(diǎn)估計(jì)是不夠的，一般要求給出區(qū)間估計(jì)，即給出置信區(qū)間。a和B的區(qū)間估計(jì)已經(jīng)證明a和b是a和B的點(diǎn)估計(jì)，并求出了它們的方差。因此給出置信區(qū)間就很容易了：肚?t(n—2):MS/Sexx.?.B的95%置信區(qū)間為：11.13)b土t(n—2\：MS/S11.13)0.975exx同理?t(n一2)”S(丄+)nSxx.a的95%置信區(qū)間為：(11.14)1x2a+1(n一2)：MS(—+—)(11.14)0.975yenSxx這與以前假設(shè)檢驗(yàn)中的置信區(qū)間求法完全一樣。若置信水平為99%，把分位數(shù)相應(yīng)換為to.995(n-2)即可。對例11.1中的a和卩給出95%置信區(qū)間。解：從前邊的計(jì)算可知：a=2.6996,b=1-5167，Sxx=90,MSe=1-0568,n=5,x二12查表，得t0.975(3)=3.182t(3),，MSe=3.182x:10568=0.34480-975S90xx1竺)=3.182xJ1.0568x(丄+空)=4.3887S590xxa的95%置信區(qū)間為:

即(-1.6891,7.0883)即(即(-1.6891,7.0883)即(1.1719,1.8615)卩的95%置信區(qū)間為：1.5167土0.3448,第二節(jié)相關(guān)分析r=—xyn-11r=—xyn-11x(x-x)(y-y)=SxSyX(x-x)(y-y)n-1_X(x-x)(y-y)_SPxy,，X(x-x)2X(y-y)2；；X(x-x)2(y-y)2V；S-SI、vxxyyin-1xy-互旦n直線相關(guān)分析是根據(jù)x、y的實(shí)際觀測值，計(jì)算表示兩個(gè)相關(guān)變量x、y間線性相關(guān)程度和性質(zhì)的統(tǒng)計(jì)量—相關(guān)系數(shù)并進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。一、相關(guān)系數(shù)。例：（1）X77165389311總和50Y59613194666總和52(2)X9879653311總和50Y9986654311總和52(3)X1133567189總和50Y9986654311總和52可見：（1）XY關(guān)系紊亂（2）X減小、Y也減?。?）X增大、Y減小作散點(diǎn)圖，如果再以X和飛的平均數(shù)作坐標(biāo)原點(diǎn)，將原散點(diǎn)圖劃分為四個(gè)象限,如果各點(diǎn)均勻分布則X（X-x）X（y一y）=0,落在2、4象限則小于0負(fù)相關(guān)，落在1、3象限則大于0――正相關(guān)，為消除變異程度（n-1）和單位的影響，需除以標(biāo)準(zhǔn)差。S2bSSSSS根據(jù)以前的推導(dǎo)結(jié)果，有：r2_xy_牛_R_1-eS?SSSSxxyyyyyyyy性質(zhì)：|r|<1。當(dāng)|廠|_1時(shí)，從上式可看出SSe=0，即用y可以準(zhǔn)確預(yù)測y值。此時(shí)若X不是隨機(jī)變量，則Y也不是隨機(jī)變量了。當(dāng)r=0時(shí)，SS=S，回歸一點(diǎn)作用也沒有，即用X的線性函數(shù)完全不能預(yù)測Y的變eyy化。但這時(shí)X與Y間還可能存在著非線性的關(guān)系。當(dāng)0<|r|<1時(shí)，情況介于上述二者之間隔。X的線性函數(shù)對預(yù)測Y的變化有一定作用,但不能準(zhǔn)確預(yù)測，這說明Y還受其他一些因素，包括隨機(jī)誤差的影響。綜上，r可以作為X，Y間線性關(guān)系強(qiáng)弱的一種指標(biāo)。非常直觀，接近于1就是線性關(guān)系強(qiáng)，接近于0就是線性關(guān)系弱；而其他統(tǒng)計(jì)量都需要查表后才知檢驗(yàn)結(jié)果。二、決定系數(shù)和相關(guān)系數(shù)前面已經(jīng)證明了等式：X(y-y)2(y-y)2+X(y-y)2從這個(gè)等式:：與x直線回歸效果的好壞取決于回歸平方和工(y-y)2與離回歸平方和工(y-y)2的大小，或者說取決于回歸平方和在j的總平方和X(y-y)2中所占的比例的大小。這個(gè)比例越大，j與x的直線回歸效果就越好，反之則差。比值工(y-y)2/工(y-y)2叫做x對j的決定系數(shù)，記為r2,即工(y-y)2r2=乙(y-y)2決定系數(shù)的大小表示了回歸方程估測可靠程度的高低，或者說表示了回歸直線擬合度的高低。顯然有OWrzWl。因?yàn)椋汗?y-刃2sp2spsp77乙(y-y)2SSSSSSSSyxxyxyxy而SPxy/SSx是以x為自變量、y為依變量時(shí)的回歸系數(shù)byx。若把y作為自變量、x作為依變量，則回歸系數(shù)bxy=SPxy/Ssy，所以決定系數(shù)r2等于y對x的回歸系數(shù)與x對y的回歸系數(shù)的乘積。即決定系數(shù)反應(yīng)了x為自變量、y為依變量和y為自變量、x為依變量時(shí)兩個(gè)相關(guān)變量x與y直線相關(guān)的信息，即決定系數(shù)表示了兩個(gè)互為因果關(guān)系的相關(guān)變量間直線相關(guān)的程度。但決定系數(shù)介于0和1之間，不能反應(yīng)直線關(guān)系的性質(zhì)——是同向增減或是異向增減。另外，r顯著即一個(gè)顯著的回歸方程并不一定具有實(shí)踐上的預(yù)測意義如一個(gè)資料x、y兩個(gè)變量間的相關(guān)系數(shù)r=0.5，在df=24時(shí)，r0.01(24)=0.496，r>r0.01(24),表明相關(guān)系數(shù)極顯著。而r2=0.25，即x變量或y變量的總變異能夠通過y變量或x變量以直線回歸的關(guān)系來估計(jì)的比重只占25%，其余的75%的變異無法借助直線回歸來估計(jì)。計(jì)算相關(guān)系數(shù)：根據(jù)公式三、相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)在一般情況下r不是正態(tài)分布，直接檢驗(yàn)有困難。但當(dāng)總體相關(guān)系數(shù)P=0時(shí)，r的分布近似于正態(tài)分布，此時(shí)用MSe代替b2，就可以對H:p=0作t檢驗(yàn)。這種檢驗(yàn)與對回歸0系數(shù)b的檢驗(yàn)：H:卩=0是等價(jià)的。可證明如下：0b的t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：t=b/Sb。b=S/S,bxyxx

■MSS=e

bSxx■MSS=e

bSxx代入t的表達(dá)式，得:■S-bS1yy-:n-2SxxIS2='S?(1-與)