第第頁2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)蘇教版2023必修二同步試題13.2.2空間兩條直線位置關(guān)系（含解析）13.2.2空間兩條直線位置關(guān)系

一、單選題

1．若，，則直線，的位置關(guān)系是（）

A．平行或異面B．平行或相交C．相交或異面D．平行、相交或異面

【答案】D

【解析】

【分析】

利用條件，聯(lián)系立方體即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：如圖所示，設(shè)平面為平面

若，，故，，，相交；

若，，故，，，異面；

若，，故，，，平行.

故選：D

2．己知空間中兩條不重合的直線，則“與沒有公共點(diǎn)”是“”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】

由直線與沒有公共點(diǎn)表示兩條直線或者與是異面直線，再根據(jù)充分必要性判斷.

【詳解】

“直線與沒有公共點(diǎn)”表示兩條直線或者與是異面直線，所以“與沒有公共點(diǎn)”是“”的必要不充分條件.

故選：B

3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與直線AA1垂直的棱有（）條．

A．2B．4

C．6D．8

【答案】D

【解析】

【分析】

由正方體ABCD-A1B1C1D1的圖象結(jié)合線線垂直的定義即可求解結(jié)果．

【詳解】

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與AA1垂直的棱為A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，AB，BC，CD，DA，共8條．

故選：D．

4．如圖，正方體中，直線和所成角的大小為（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】

【分析】

連結(jié)，，則，是異面直線與所成角（或所成角的補(bǔ)角），由此能求出異面直線與所成角的大小．

【詳解】

解：連結(jié)，，

在正方體中，且，所以四邊形為平行四邊形，

，是異面直線與所成角（或所成角的補(bǔ)角），

，

，

異面直線與所成角的大小是．

故選：C．

5．若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是（）

A．l1⊥l4

B．l1∥l4

C．l1與l4既不垂直也不平行

D．l1與l4的位置關(guān)系不確定

【答案】D

【解析】

【分析】

將直線l1，l2，l3，l4放在正方體中，由此即可判斷出答案.

【詳解】

構(gòu)造如圖所示的正方體ABCDA1B1C1D1，取l1為AD，l2為AA1，l3為A1B1，當(dāng)取l4為B1C1時(shí)，l1∥l4，當(dāng)取l4為BB1時(shí)，l1⊥l4，故排除A、B、C.

故選:D.

6．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，為的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】

【分析】

連接、，證明出，可得出直線與所成角為或其補(bǔ)角，計(jì)算出三邊邊長(zhǎng)，利用余弦定理可求得結(jié)果.

【詳解】

連接、，如下圖所示：

在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，

所以，，故直線與所成角為或其補(bǔ)角，

由勾股定理可得，，

由余弦定理可得.

因此，直線與所成角的余弦值為.

故選：B.

二、多選題

7．，，是空間三條不同的直線，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A．，B．，

C．，，共面D．，，共點(diǎn)，，共面

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根據(jù)線線的位置關(guān)系，結(jié)合平面的基本性質(zhì)判斷各選項(xiàng)正誤即可.

【詳解】

解：由，，則、平行、異面都有可能，故A錯(cuò)誤；

由，得，故B正確；

當(dāng)時(shí)，，，不一定共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，互相平行但不共面，故C錯(cuò)誤；

當(dāng)，，共點(diǎn)時(shí)，，，不一定共面，如三棱柱共頂點(diǎn)的三條棱不共面，故D錯(cuò)誤；

故選：ACD.

8．如圖是正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中，下列結(jié)論正確的是（）

A．與平行

B．

C．與成60°

D．四條直線、、、中任意兩條都是異面直線

【答案】BCD

【解析】

【分析】

還原成正方體之后根據(jù)正方體性質(zhì)分析線線位置關(guān)系.

【詳解】

根據(jù)展開圖還原正方體如圖所示：

與不平行，所以A錯(cuò)誤；

正方體中，，所以，所以B正確；

，與成角就是，是等邊三角形，所以=60°，所以C正確；

由圖可得四條直線、、、中任意兩條既不想交也不平行，所以任意兩條都是異面直線.

故選：BCD

9．如圖，在正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則以下四個(gè)結(jié)論中，正確的有（）

A．直線與是相交直線B．直線與是異面直線

C．與平行D．直線與共面

【答案】BD

【解析】

【分析】

根據(jù)異面直線的定義，結(jié)合三角形中位線定理、正方體的性質(zhì)、共面的判定方法逐一進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

根據(jù)異面直線的定義可以判斷直線與、直線與、直線與都是異面直線，因此選項(xiàng)AC不正確，選項(xiàng)B正確，

因?yàn)?，分別為棱，的中點(diǎn)，

所以，由正方體的性質(zhì)可知：

，

所以四邊形是平行四邊形，因此，所以，

因此四點(diǎn)共面，所以直線與共面，因此選項(xiàng)D正確，

故選：BD

10．（多選）如圖，在四面體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，截面是正方形，則下列結(jié)論正確的是（）

A．B．截面PQMN

C．D．異面直線與所成的角為

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根據(jù)線線、線面平行判定和性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】

解：因?yàn)榻孛媸钦叫?，所以?/p>

又平面，平面

所以平面

又平面,平面平面

所以

因?yàn)榻孛?，截面?/p>

所以截面，故B正確

同理可證

因?yàn)?，所以，故A正確

又

所以異面直線與所成的角為，故D正確

和不一定相等，故C錯(cuò)誤

故選：ABD

三、填空題

11．在正方體中，，則異面直線與所成的角的大小為________.

【答案】

【解析】

【分析】

先求出的大小，再根據(jù)可求異面直線與所成的角的大小.

【詳解】

在底面中，為直角三角形，

由可得.

因?yàn)椋蕿楫惷嬷本€與所成的角，

故異面直線與所成的角為.

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查異面直線所成的角的計(jì)算，注意通過平移把空間角轉(zhuǎn)化為平面角進(jìn)行計(jì)算，本題為基礎(chǔ)題.

12．已知兩異面直線a，b所成的角為17°，過空間一點(diǎn)P作直線l，使得l與a，b的夾角均為9°，那么這樣的直線l有_______條．

【答案】2

【解析】

【分析】

結(jié)合異面直線成角作出圖形分析即可求出結(jié)果.

【詳解】

可將a，b通過平移相交于點(diǎn)P，如圖所示，

則，則的角平分線與直線a，b所成的角均為，的角平分線與直線a，b所成的角均為，因?yàn)?，所以與直線a，b所成的角均為9°的直線l有且只有2條（直線），

故答案為：2.

四、解答題

13．空間四邊形中，，是的邊上的高，是的邊上的中線，求證：和是異面直線．

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

首先說明、、三點(diǎn)均在面內(nèi)，而不在面內(nèi)，故而可得結(jié)論.

【詳解】

因?yàn)?，所以、不重合?/p>

設(shè)所在平面為，則，，，，

所以與異面．

14．如圖，在正方體中，、分別是AB、AA1的中點(diǎn).

（1）證明：四邊形EFD1C是梯形；

（2）求異面直線EF與BC1所成角.

【答案】（1）證明見解析，（2）

【解析】

【分析】

（1）連接，則可得∥，，再由正方形的性質(zhì)可得∥，，從而可證得四邊形EFD1C是梯形；

（2）連接，由∥，可得異面直線EF與BC1所成角，而為等邊三角形，從而可求得結(jié)果

【詳解】

（1）證明：連接，

因?yàn)?、分別是AB、AA1的中點(diǎn)，

所以∥，，

因?yàn)樵谡襟w中，∥，，

所以四邊形為平行四邊形，

所以∥，，

所以∥，，

所以四邊形EFD1C是梯形；

（2）連接，

由（1）得∥，

所以異面直線EF與BC1所成角，

因?yàn)闉榈冗吶切危?/p>

所以，

所以異面直線EF與BC1所成角為

15．如圖，在四面體ABCD中，E，G分別為BC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，點(diǎn)H在AD上，且有DF∶FC＝1∶3，DH∶HA＝1∶3.求證：EF，GH，BD交于一點(diǎn)．

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

利用基本事實(shí)4和基本事實(shí)2可證三線共點(diǎn).

【詳解】

證明連接GE，HF.

因?yàn)镋，G分別為BC，AB中點(diǎn)，所以.

因?yàn)镈F∶FC＝1∶3，DH∶HA＝1∶3，所以.

從而GE∥HF且，故G，E，F(xiàn)，H四點(diǎn)共面且四邊形為梯形，

因?yàn)镋F與GH不能平行，設(shè)EF∩GH＝O，則O∈平面ABD，O∈平面BCD.

而平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EF，GH，BD交于一點(diǎn)．13.2.2空間兩條直線位置關(guān)系

一、單選題

1．若，，則直線，的位置關(guān)系是（）

A．平行或異面B．平行或相交C．相交或異面D．平行、相交或異面

2．己知空間中兩條不重合的直線，則“與沒有公共點(diǎn)”是“”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與直線AA1垂直的棱有（）條．

A．2B．4

C．6D．8

4．如圖，正方體中，直線和所成角的大小為（）

A．B．

C．D．

5．若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是（）

A．l1⊥l4

B．l1∥l4

C．l1與l4既不垂直也不平行

D．l1與l4的位置關(guān)系不確定

6．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，為的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（）

A．B．

C．D．

二、多選題

7．，，是空間三條不同的直線，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A．，B．，

C．，，共面D．，，共點(diǎn)，，共面

8．如圖是正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中，下列結(jié)論正確的是（）

A．與平行

B．

C．與成60°

D．四條直線、、、中任意兩條都是異面直線

9．如圖，在正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則以下四個(gè)結(jié)論中，正確的有（）

A．直線與是相交直線B．直線與是異面直線

C．與平行D．直線與共面

10．如圖，在四面體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，截面是正方形，則下列結(jié)論正確的是（）

A．B．截面PQMN

C．D．異面直線與所成的角為

三、填空題

11．在正方體中，，則異面直線與所成的角的大小為________.

12．已知兩異面直線a，b所成的角為17°，過空間一點(diǎn)P作直線l，使得l與a，b的夾角