導(dǎo)數(shù)中的構(gòu)造函數(shù)在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中如何構(gòu)造函數(shù)近幾年高考數(shù)學(xué)客觀題壓軸題,多以導(dǎo)數(shù)為工具來證明不等式或求參數(shù)的取值范圍,這類試題具有結(jié)構(gòu)獨特、技巧性高、綜合性強(qiáng)等特點,而構(gòu)造函數(shù)是解決導(dǎo)數(shù)問題的基本方法,以下對在處理導(dǎo)數(shù)問題時構(gòu)造函數(shù)的規(guī)律方法進(jìn)行歸類總結(jié),并舉例說明.一、具體函數(shù)的構(gòu)造根據(jù)所給代數(shù)式(等式、不等式)中數(shù)學(xué)運算的相同點或者結(jié)構(gòu)形式的相同點,構(gòu)造具體的函數(shù)解析式,利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的性質(zhì)從而解決問題.A.a>b>c B.b>c>aC.c>a>b

D.b>a>cAA.b<c<a B.c<b<aC.c<a<b D.a<c<bB二、抽象函數(shù)的構(gòu)造1.利用f(x)與x(xn)構(gòu)造①對于xf'(x)+f(x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=xf(x);②對于xf'(x)-f(x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=;③對于xf'(x)+nf(x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=xnf(x);④對于xf'(x)-nf(x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=.例2.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x<0時,f(x)+xf'(x)<0,若f(2)=0,則不等式xf(x)>0的解集為(

)A.{x|-2<x<0,或0<x<2}B.{x|x<-2,或x>2}C.{x|-2<x<0,或x>2}D.{x|x<-2,或0<x<2}解析

令F(x)=xf(x),則F(x)為奇函數(shù),且當(dāng)x<0時,F'(x)=f(x)+xf'(x)<0恒成立,即函數(shù)F(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上單調(diào)遞減,又因為f(2)=0,則F(-2)=F(2)=0,則xf(x)>0可化為F(x)>F(-2)或F(x)>F(2),則x<-2或0<x<2,故選D.D

解析

設(shè)F(x)=x2f(x),F'(x)=x2f'(x)+2xf(x)=x(xf'(x)+2f(x)),因為當(dāng)x>0時,xf'(x)+2f(x)>0,所以F'(x)>0,因此F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.又因為B例3.(2021湖南岳陽高三期中)設(shè)f'(x)是函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)數(shù),且滿足xf'(x)-2f(x)>0,則(

)A.4f(2)>f(1) B.4f(1)>f(2)C.4f(2)<f(1) D.4f(1)<f(2)

D對點訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)是定義在(0,+∞)上的可導(dǎo)函數(shù),且滿足f(x)>0,xf'(x)-f(x)<0,則對任意正數(shù)a,b,若a>b,則必有(

)A.af(b)<bf(a) B.bf(a)<af(b)C.af(a)<f(b) D.bf(b)<f(a)B2.利用f(x)與ex(或enx)構(gòu)造

①對于f'(x)+f(x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=exf(x);②對于f'(x)-f(x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=;③對于f'(x)+2f(x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=e2xf(x);④對于f'(x)-2f(x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=.例4.已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),對任意x∈R滿足f(x)+f'(x)<0,則下列結(jié)論正確的是(

)A.e2f(2)>e3f(3) B.e2f(2)<e3f(3)C.e2f(2)≥e3f(3) D.e2f(2)≤e3f(3)A解析

令g(x)=exf(x),則g'(x)=ex(f(x)+f'(x))<0,因此函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減,所以g(2)>g(3),即e2f(2)>e3f(3),故選A.對點訓(xùn)練4已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x)+f'(x)>1,f(0)=4,則不等式exf(x)>ex+3的解集為(

)A.(0,+∞) B.(-∞,0)∪(3,+∞)C.(-∞,0)∪(0,+∞) D.(3,+∞)解析

將f(x)+f'(x)>1兩邊同乘ex得,exf(x)+exf'(x)-ex>0,令g(x)=exf(x)-ex,則g'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex>0,所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增,且g(0)=f(0)-1=3.又因為不等式exf(x)>ex+3等價于exf(x)-ex>3,即g(x)>g(0),所以x>0,故選A.A例5.(2021廣東汕頭高三三模)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f'(x)-2f(x)>0,f(0)=1,則不等式f(x)>e2x的解集為

.

對點訓(xùn)練5(2021安徽六安高三月考)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),若對于任意實數(shù)x,有f(x)>f'(x),且f(0)=1,則不等式f(x)<ex的解集為(

)A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(-∞,e4) D.(e4,+∞)A3.利用f(x)與sin

x,cos

x構(gòu)造由于sinx,cosx的導(dǎo)函數(shù)存在一定的特殊性,且它們之間可以相互轉(zhuǎn)化,所以在構(gòu)造函數(shù)時要充分考慮這一點,具體有以下情形:①對于f'(x)sinx+f(x)cosx>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)sinx;②對于f'(x)sinx-f(x)cosx>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=;③對于f'(x)cosx+f(x)sinx>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=;④對于f'(x)cosx-f(x)sinx>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)