相似理論與模型實驗

授課對象：研究生授課教師：嚴仁軍二О一四年十月第六章用定律分析法導出相似準那么1.前提和條件一個現(xiàn)象，當利用定律分析法導出相似準那么時，前提是現(xiàn)象必須有可能利用這種方法解決問題。而在由“可能“變?yōu)楱暚F(xiàn)實“的過程中，那么需要考慮如何正確的選擇物理定律。但要注意，適用于現(xiàn)象的任何物理定律都不是孤立的，各個物理定律表現(xiàn)在同一現(xiàn)象上有著密切的聯(lián)系。只有在總體效果上滿足相似要求的時候，才能說其中的某個定律是通用的。適用的物理定律并不一定都是主要的。為了簡化實驗過程，突出主要矛盾，暴露現(xiàn)象本質(zhì)，還應通過實驗剔除一些次要的物理定律?！纠?】試求同一長度、不同管徑的二管道內(nèi)具有同一平均流速的液體紊流狀態(tài)的模擬條件。

解：支配這一現(xiàn)象的物理定律是管壁液層與中央主液流間的粘滯剪切力和主液流的慣性力。①慣性力由下式描述：②粘滯剪切力由下式描述：〔6-7〕〔6-8〕2.相似準那么的導出式中ρ為液體密度；A為液體橫斷面積；l為管長；ν為液流平均速度；為粘滯剪切力；Aω為剪切面積；μ為動力粘滯系數(shù)；ω為濕壁周長；δ為管壁液層厚度〔二管可假定一致〕對本例而言，有用的π項為二力之比，即為使二管道紊流狀態(tài)相似，需使式〔6-9〕所示的π項在二管道上保持同值，即〔6-9〕〔6-10〕根據(jù)題意，。此時假設(shè)采用同一種類液體，那么因，便得二管道液體紊流狀態(tài)的模擬條件為：此比值即為人們所熟知的水力半徑Rh。利用水力半徑的概念，便可將現(xiàn)象推廣用于不用斷面形狀管路液體紊流狀態(tài)的模擬。當原型和模型的長度不同時，水力半徑應如此選擇，使二者比值符合于長度縮尺?！?-11〕【例3】建立一模型以預測原型梁自由振動的衰減時間。〔設(shè)二梁幾何相似〕解：梁的振動過程與彈性力、慣性力以及內(nèi)摩阻有關(guān)。故在本例情況下應利用這三方面的物理定律。①彈性力可用胡克定律描述。如果忽略掉泊松比的影響，那么應力與應變之間的關(guān)系服從下式式中σ為應力；E為彈性變量；ε為應變。②慣性力在任一微元上都是由牛頓第二定律控制的，即式中f為力；m為質(zhì)量；a為加速度。

〔6-12〕〔6-13〕③內(nèi)摩擦力應當表示成單位容積在每周期內(nèi)的能量損失時，可假定與最大應力σm的三次冪成正比，與頻率無關(guān)，即式中dU為體積dV在每周期內(nèi)能量消耗；c為材料常數(shù)。在相似分析中，通過積分內(nèi)比法可將式〔6-13〕、〔6-14〕中的微分號除去，改由特征參量表示根據(jù)〔6-12〕、〔6-15〕、〔6-16〕，可得三π項為。π項的這三種形式，很難用于指導真正的模型設(shè)計。只有把他們轉(zhuǎn)化成由長度、時間和力所表示的π項，才能對解決本例的問題有利。這時〔6-14〕〔6-15〕〔6-16〕以上三式中，只有〔6-18〕帶有時間參量t，故將該式除以式〔6-17〕或〔6-19〕，便得二有用的π項為由于模型梁與原型梁幾何相似，故應控制住εm=ε。同時，由于二梁取相同的材料，即ρm=ρ，Em=E，cm=c，故按二梁π值相等原那么，可得〔6-19〕〔6-18〕〔6-17〕〔6-20〕式〔6-21〕的意義在于說明，如果測得模型梁震動的衰減時間為tm，那么只需將該值乘以原型、模型間的幾何縮尺比例cl〔cl=l/lm〕，便可用于預測原型梁震動的衰減時間t。本例如用其他二法求解，條件同樣具備。但方程分析法必須首先列出方程；而量綱分析法必須首先找出正確的物理參量?！?-21〕3.剔除多余物理定律的根據(jù)

只有充分掌握現(xiàn)象機理，才能在一開始就排除多余的物理定律，使問題分析過程簡化。實際上，剔除多余物理量定律的意義常常還不單純表現(xiàn)在分析過程的簡化上。更多的時候，對采取這種做法的必要性是從現(xiàn)象本質(zhì)或客觀的效果上去理解的。例如：①在某些類型的震動結(jié)構(gòu)中，重力對固有頻率的影響太小，故重力定律可不作考慮；②大多數(shù)結(jié)構(gòu)問題都不考慮諸如倒角、焊縫、凹槽、鉚釘孔等對相似性研究所產(chǎn)生的的影響，而僅著眼于結(jié)構(gòu)的整體特征；③在一些低溫現(xiàn)象中，熱輻射作用十分次要，所以忽略熱的輻射定律是可靠的；此外，借助于剔除多余的〔或次要的〕物理定律，常常還能幫助人們防止相似分析中出現(xiàn)的矛盾，從而使參量縮尺和模型實驗成為可能。可以舉流體的穩(wěn)定流動為例。液體的穩(wěn)定流動是被兩個定律支配的，即牛頓的慣性定律和牛頓液體的粘滯性定律。這兩個定律用在液體的穩(wěn)定流動中，模型實驗的相似性要求不會出現(xiàn)矛盾。但如果因為運動狀態(tài)的變化而必須參加其他定律時〔例如研究船只行駛阻力時需參加重力定律〕，情況就會發(fā)生變化。為了防止這種情況下必然會出現(xiàn)的矛盾〔例如既要求cv=cl〕，又要求cv=cl1/2),常常根據(jù)具體情況，忽略掉上述二定律中的一個。4.要正確的使用符號“〞物理定律是用于說明現(xiàn)象的本質(zhì)和物理概念的。因此為了如實反映某一現(xiàn)象或現(xiàn)象的某一方面，定律中的參量必須、而且也只能有一種選擇。但根據(jù)相似理論，在做現(xiàn)象的相似性分析時，卻允許在定律之后采用“〞的符號，以便將定律所代表的意義加以引申。但這絕不等于說可以因符號“〞的存在而隨意改變初始定律中的物理參量?？梢耘e破冰船的破冰過程是這樣的：船只都以三種狀態(tài)破碎冰層：①船只沖撞冰層；②船〔局部〕滑行于冰面之上；③利用船只重量使冰層彎曲。因此支配這一現(xiàn)象的物理定律主要有三個：慣性定律，重力定律，以及與冰層最大許用應力有關(guān)的定律〔彎曲力定律〕。三個定律應這樣正確描述：1〕慣性定律2〕重力定律3〕彎曲定律式中υ為船只撞擊冰層時的速度；ρ為冰層密度；M為冰層彎曲力矩；σu為冰層彎曲應力的許用值；l為冰層水平長度及船只所有特性長度；h為冰層厚度。注意式〔6-22〕、〔6-23〕中對質(zhì)量m的意義所作的引申。質(zhì)量m本是指船只說的，但這里在定律后取，變成了冰的質(zhì)量?！?-22〕〔6-23〕〔6-24〕這種引申的根據(jù)，是把船只密度和冰層密度二者間的比例關(guān)系看成是一常數(shù)，故在相似分析中是允許的。如果現(xiàn)在做模型試驗，那么模型船的設(shè)計條件應按如下步驟求得：1、先求Fg、Fσ二力之比，可得模型設(shè)計條件為：假設(shè)取同一冰層，那么因，上式可改寫為：此即為模型設(shè)計的幾何條件?！?-25〕2〕再求Fa、Fg二力之比，可得另一模型設(shè)計條件為此即為船模設(shè)計的運動學條件。顯然，實際上述幾何條件和運動學條件的前提是，要做到模型船只和原型船只密度上的一致。分析式〔6-25〕，可知船模設(shè)計的幾何條件在ρm=ρ的情況下與冰層的類型無關(guān)，故船模實驗即可在海水冰面上進行，也可在淡水冰面上進行。后者為模型實驗提供了很多方便條件?，F(xiàn)在來看把符號“〞錯誤的使用于彎曲力定律所產(chǎn)生的后果。如果人們不分析破冰船破冰過程中長度l與厚度h在意義上的不同，而籠統(tǒng)的把這一定率用符號“〞寫成，那么不難得到lm=l或cl=1的船模設(shè)計結(jié)果，從而失去了船模設(shè)計本來的意義。這個事實說明，符號“〞只能用于物理定律之后“〞的引申。〔6-26〕第七章用方程分析法導出相似準那么作為實例，現(xiàn)在考察圖右的“彈簧—質(zhì)量—阻尼〞系統(tǒng)。這時假定我們感興趣的是借助模型來研究決定位移y。系統(tǒng)有7個變量： 變量：量綱 位移：L 質(zhì)量：FL-1T2 阻尼系數(shù)：FL-1T 彈簧剛度：FL-1 初始速度v0：LT-1 初始距離y0：L 時間t：T顯然，表中除位移y外，均為獨立變量因此，如考慮根本量綱數(shù)為3，那么獨立相似準那么為：〔7-1〕-3=3個，所余者為非獨立相似準那么——位移π項，它反映著預測的內(nèi)容。用方程分析法來決定相似準那么時方法不外有二：相似轉(zhuǎn)換法和積分類比法。1.相似轉(zhuǎn)換法其步驟為：①寫出現(xiàn)象的根本微分方程②寫出全部單值條件，第一現(xiàn)象用“′〞表示，第二現(xiàn)象用“″〞表示，因此可得各參量的相似常數(shù)為：考慮物理條件相似時：考慮邊界條件相似時：〔7-1〕〔7-2〕〔7-3〕考慮起始條件相似時(此時t=0)：③將微分方程按不同現(xiàn)象寫出：④進行相似轉(zhuǎn)換。將“″〞參量用“′〞參量代替，這時式〔7-6〕變?yōu)椤?-7〕〔7-6〕〔7-5〕〔7-4〕作相似變換時，為了保證根本微分方程〔7-5〕和〔7-6〕的一致性，式〔7-7〕各項系數(shù)必須彼此相等，即：故得兩相似指標方程如下：〔7-10〕〔7-9〕〔7-8〕另一個相似指標方程要由分析起始條件建立，即當t=0時：，假設(shè)這時考慮二現(xiàn)象，可得：也進行相似轉(zhuǎn)換，得：〔7-11〕⑤將式〔7-2〕~〔7-4〕所表示的相似常數(shù)值代入〔7-9〕~〔7-11〕可得相似準那么式為：此處，即為獨立的相似準那么?！?-12〕〔7-13〕〔7-14〕在本例情況下，非獨立相似準那么顯然為，故匯同獨立相似準那么，可構(gòu)成π關(guān)系式如下：π關(guān)系式具有如下特性：任何兩個〔或多個〕π項的代數(shù)轉(zhuǎn)變，如乘、除、加、減、提高或降低冪次，仍不改變原關(guān)系式的性質(zhì)。但條件：①冪次不得降低或升高至零，②π項總數(shù)不得減少或增加〔因為π項總數(shù)系由物理量總數(shù)和根本量綱數(shù)之差決定，是個定值〕。π項關(guān)系式之所以具有如此特性，是因為：〔7-15〕①經(jīng)過轉(zhuǎn)換后的π項仍是無量綱綜合數(shù)群；②對于本來就相似的二現(xiàn)象，因變π項π1仍然同關(guān)系式中原各獨立π項構(gòu)成函數(shù)關(guān)系；③所以，反過來也一樣，如果二關(guān)系式中經(jīng)過轉(zhuǎn)變的π項仍一一對應，那么二現(xiàn)象相似。2.類比積分法積分類比法是一種比較簡單的方法，一般都用它來代替相似轉(zhuǎn)換法。其步驟如下：①

寫出現(xiàn)象的根本方程〔或方程組〕及其全部單值條件，方法同前。②

用方程中的任一項除其它各項〔對于類似的項可只取其中一項〕。故得：〔7-22〕〔7-21〕③將各項中涉及的導數(shù)用相應量比值，即所謂的積分類比來代替。就是說，將所有微分符號去掉，僅留下量本身的比值。本章實例中，就是以這時由〔7-21〕、〔7-22〕可得：如果某現(xiàn)象某量沿各軸有微分分量時，那么只取一個軸上的分量，而該微分分量又用參量的總量代替。例如的同一代替物是?！?-24〕〔7-23〕④上面兩式的相似準那么由于只利用了物理和邊界兩種單值條件的參量，故利用起始條件，可另立二式如下，即t=0時：對前式進行積分類比可得：由后式那么可得因變量π項為：。〔7-27〕〔7-25〕〔7-26〕⑤至此，各π項全部求得：其π關(guān)系式為：上式中給出的π關(guān)系式并不合理，因為在變π項中帶有待測因變參量y，不利于模型試驗的進行。為此可將式〔7-26〕代入π項，使之改換成而π關(guān)系式也因此變?yōu)椋罕容^兩式可得出結(jié)論：因變量π項同樣可以參與各π項的代數(shù)轉(zhuǎn)變。但更多時候，因變π項參與代數(shù)轉(zhuǎn)變的目的是為了改造自身的形式，使之對模型試驗有利?！?-29〕〔7-28〕第八章用量剛分析法導出相似準那么1.量綱系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換在研究量綱分析法前，先要弄清楚量綱系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換。如果根本量綱按最常見的情況取為三種，那么可得二量綱系統(tǒng)如下：FLT系統(tǒng)或MLT系統(tǒng)。前者又稱力系統(tǒng)，后者又稱質(zhì)量系統(tǒng)。力系統(tǒng)和質(zhì)量系統(tǒng)中的F和M，可按牛頓第二定律轉(zhuǎn)換。一般來說，工程問題的量綱系統(tǒng)，以力系統(tǒng)較為常見，但質(zhì)量系統(tǒng)也在不少場合下出現(xiàn)。它們的選擇，取決于量綱分析和物理量測量上的方便程度。2.量綱方程及其作用如前所述，量綱分析法較之其他兩種方法具有十清楚顯的優(yōu)點。這些優(yōu)點得以實現(xiàn)的前提，在于正確的選擇參數(shù)。或者說對于現(xiàn)象的機理要有深刻的認識。這種方法在一定程度和一定條件下又可以用來彌補這種方法在正確選擇參數(shù)上可能存在的某種缺乏，從而改進人們對一些現(xiàn)象的認識，加深人們對現(xiàn)象實質(zhì)的了解，提高人們的分析判斷能力，并作為較為符合客觀實際的結(jié)論。量綱分析的這種特點，是通過所謂“量綱方程〞得到表現(xiàn)或說明的。量綱方程是量綱分析法的核心，以物理方程的齊次性作為其依據(jù)。量綱方程的真正作用表現(xiàn)在物理方程尚未掌握的時候。①量綱方程能根據(jù)正確選擇的參量建立建立起帶未知系數(shù)的、供相似分析用的物理方程。【例1】一個自由落體在時間t內(nèi)落下的距離為S，試寫出它的一般方程。解：這里重要的是確定影響因變量S的因素。如果正確的選擇了時間t和重力加速度g作為這種因素，亦即S=f〔g，t〕，那么物理方程的形式應該是式中為無量綱系數(shù)，待定。以各參量的量綱代入上式得〔8-4〕〔8-4a〕根據(jù)方程量綱齊次的原那么，式〔8-4a〕的左、右側(cè)應具有相同的量綱，故：解方程〔8-4b〕，得：故自由落體的一般方程為：〔8-4b〕〔8-5〕②③能剔除被多余考慮的物理量?！纠?】假設(shè)自由落體所經(jīng)歷的距離S隨物體的重量W，所經(jīng)歷的時間t及重力加速度g而變，試寫出它的一般方程式。解：物理方程的形式是：將各參量的量綱代入，可得：根據(jù)方程量綱齊次的原那么，可解得：故自由落體的一般方程為：〔8-7〕〔8-6〕〔8-6a〕③當正確的物理量被忽略時，能給以判斷。【例3】假設(shè)自由落體所經(jīng)歷的距離僅與時間t有關(guān)，試寫出它的方程。解：物理方程的形式是根據(jù)方程量綱齊次原那么，可知此處：從上式看出，1=0說明方程有錯誤；c1=0，說明與原假定不符，這些都造成方程無法求解。其原因在于原方程略去了正確的參量g。④除此之外，還能減少方程的未知數(shù)數(shù)目，從而使試驗工作得到簡化。〔8-8〕〔8-8a〕從三種現(xiàn)象的比照不難看出，量綱分析法由于著眼于量綱分析或量綱方程，具有較之方程分析法更為明顯的優(yōu)點。三種現(xiàn)象中，參量盡管相同，由于從相似理論的角度看問題，他們不屬于同一類現(xiàn)象，故從概念上說，必須分別的加以分析、推導，并有時通過實驗決定各自有別于其他現(xiàn)象的常數(shù)，在此根底上再去談同類現(xiàn)象的推廣。3.量綱方程的限制當物理現(xiàn)象較為復雜時，要通過量綱方程來說明問題就很困難，這是由量綱分析法本身一系列的弱點引起的：①無法考慮現(xiàn)象的單值條件，因此往往難以構(gòu)成現(xiàn)象相似的充要條件。這種情況的直接后果，是某些與現(xiàn)象有關(guān)的物理量有可能被遺忘或被錯選；②很難區(qū)別量綱相同、但卻具有不同物理意義的物理量〔例如，壓力、應力、內(nèi)聚力、外附力、彈性模量等具有相同的量綱，但意義不同〕，從而無法顯示現(xiàn)象的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和物理量所占據(jù)的地位。③很難控制量綱為零的物理量。盡管它們具有自身的物理意義，但置入與否并不影響無量綱綜合數(shù)群——相似準那么的形成；④很難發(fā)現(xiàn)在關(guān)系方程中常會遇到的帶有量綱的物理常數(shù)，從而在實驗中混淆于含有其量綱成分的物理量一起處理，使常數(shù)成分變成了變數(shù)成分。這些情況，使得復雜現(xiàn)象的物理量的正確選擇成為十分困難的事，因此無法建立起與其相應的量綱方程并引導出十分正確的結(jié)論。只能通過實踐不斷摸索，使之走向正確，而其手段就是實驗。4.關(guān)于近似模擬近似模擬本身也是一門學問，對近似模擬各國學者有根本相似的看法：①認為“在許多情況下，物理量的數(shù)目比較多，在模型實驗中要滿足所有的π項都相等的條件往往是做不到的，但是如果進行深入分析，得到了簡化的模型，那么雖然不能實現(xiàn)完全的模擬，但局部的模擬常是可能的。〞②認為“所有縮尺模型從嚴格意義上說都是近似模擬。〞③認為“有些現(xiàn)象具有數(shù)個獨立的相似準那么，想同時保證各自數(shù)值相等是無法實現(xiàn)的。〞④認為“即使即使量綱分析是很粗糙的理論，只要里面包含了與該現(xiàn)象有關(guān)的重要參數(shù)，那么這個方法在實際上還是有效的〞⑤認為“要遵守第三定律所得的所有相似條件是困難的，因此迫使相似理論在大多數(shù)情況下同樣要走上近似結(jié)論的道路。這樣就產(chǎn)生了近似相似的方法，大大擴展了相似理論應用的領(lǐng)域·····〞⑥認為“準確模擬復雜現(xiàn)象的嘗試往往會導致無用的結(jié)果——模型應當與原型一樣，結(jié)果是拋棄了模擬。〞⑦認為“為了不超越允許的近似的界限，必須首先要控制模型與實物差異的程度，分別研究其中的每一個相似條件，來獲得可能離開任何一個相似條件的指示。〞由此可見，在復雜現(xiàn)象中，因量綱分析法的弱點而來的近似模擬，卻常常是合理的。5.相似準那么的導出當用量綱分析法決定相似準那么時，我們需知道現(xiàn)象所包含的物理量就可以了。但當物理量很多時，π項的數(shù)目也會多起來，決定它們并不容易。下面從簡單例子說起?！纠?】參量為S,g,t,如果參量選擇正確，即相似準那么可取如下形式：л=sagb.tc 將量綱代入：[л]=[L0t0]=[L]a[LT-2]b[T]c 兩邊量綱相等： L：a+b=0T:-2b+c=0上式為二個方程，三個未知數(shù)，故無法解出a、b、c具體值。為此需設(shè)定其中一個值。假設(shè)設(shè)a=-1，可得：b=1，c=2，便可求得：〔8-12a〕〔8-12b〕〔8-12〕如設(shè)a=1→b=-1，c=-2，那么可得：л′=也是相似準那么?！纠?】質(zhì)點的力學方程參數(shù)為f，m，v，t，那么相似準那么可取如下形式： л=fambvctd [л]=[F0L0T0]=[F]a[FL-1T2]b[LT-1]c[T]d F:a+b=0 L:-b+c=0 T:2b-c+d=0得:〔8-13〕〔8-14〕〔8-15b〕〔8-15a〕〔8-15〕〔8-16〕上面二例，都符合相似第二定律關(guān)于相似準那么數(shù)的論述，即n-k=3-2=1，n-k=4-3=1.但有時也有例外，即在某現(xiàn)象中有一根本量綱不起作用，但在量綱分析開始時卻考慮了它。這里問題的關(guān)鍵，是要判斷例1中式〔8-12b〕或例2中式〔8-15b〕的各方程是否是相互獨立的。為了科學的判斷他們的獨立性，要利用線性代數(shù)中矩陣的“秩〞的概念。如設(shè)上二例量綱矩陣的秩數(shù)為r，那么相似準那么的數(shù)目便為n-r。矩陣的秩數(shù)r應恰好等于起作用的根本量綱的數(shù)目k。6.從量綱矩陣求相似準那么數(shù)目舉第七章中“彈簧-質(zhì)量-阻尼〞系統(tǒng)為例。該系統(tǒng)七個變量分別為位移，質(zhì)量，阻尼系數(shù)，彈簧剛度，初始速度，初試位移和時間。它們的量綱矩陣是矩陣的代數(shù)理論告訴我們：獨立方程式的數(shù)目等于矩陣的秩。本例中，二、三、四列所組成的行列式其值不為零，故方陣的秩數(shù)為3，而相似準那么總數(shù)為7-3=4。7.再從量綱矩陣求具體的相似準那么量綱矩陣為人們求取具體相似準那么提供了一項更為直觀的形式。這時只需在矩陣所示各參量的上方再加上各該參量的指數(shù)就行了。a1、a2……a7即為指數(shù)，那么量綱矩陣如下所示。它們的量綱矩陣是：按此矩陣，可得三個線性齊次代數(shù)方程如下：三個方程無法解出7個未知數(shù)，故應使未知數(shù)中的三個轉(zhuǎn)化為其余4個未知數(shù)的函數(shù)關(guān)系。設(shè)a4、a5、a7為三個方程中的任意假定的量，那么a1、a2、a3分別為：