反證法改進(jìn)課件第一頁，共27頁。2.2.2《直接證明與間接證明

-反證法》第一頁第二頁，共27頁。思考？A、B、C三個人，A說B撒謊，B說C撒謊，C說A、B都撒謊。則C必定是在撒謊，為什么？分析:假設(shè)C沒有撒謊,則C真.-----那么A假且B假;由A假,知B真.這與B假矛盾.那么假設(shè)C沒有撒謊不成立;則C必定是在撒謊.第二頁第三頁，共27頁。

反證法：假設(shè)命題結(jié)論的反面成立，經(jīng)過正確的推理,引出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤,從而證明原命題成立,這樣的的證明方法叫反證法。反證法的思維方法：正難則反第三頁第四頁，共27頁。

反證法：

假設(shè)命題結(jié)論的反面成立，經(jīng)過正確的推理,引出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤,從而證明原命題成立,這樣的的證明方法叫反證法。反證法的思維方法：正難則反歸納總結(jié)1第四頁第五頁，共27頁。例1用反證法證明：如果a>b>0，那么例題第五頁第六頁，共27頁。1、證明：在中，若是直角，則一定是銳角。

試一試第六頁第七頁，共27頁。證明：假設(shè)結(jié)論不成立,則∠B是_____或______.當(dāng)∠B是_____時，則_____________這與____________________________矛盾；當(dāng)∠B是_____時，則______________這與____________________________矛盾；綜上所述,假設(shè)不成立.∴∠B一定是銳角.直角鈍角直角∠B+∠C=180°三角形的三個內(nèi)角和等于180°鈍角∠B+∠C＞180°三角形的三個內(nèi)角和等于180°第七頁第八頁，共27頁。1、用反證法證題的一般步驟是什么？（1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立；即假設(shè)結(jié)論的反面成立。（2）從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；（3）由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。假設(shè)結(jié)論反面成立正確推理導(dǎo)出矛盾否定假設(shè)肯定結(jié)論歸納總結(jié)2第八頁第九頁，共27頁。應(yīng)用反證法的情形：

(1)直接證明困難;(2)需分成很多類進(jìn)行討論．（3)結(jié)論為“至少”、“至多”、“有無窮多個”---類命題；（4）結(jié)論為“唯一”類命題；第九頁第十頁，共27頁。2、用反正法證明時，導(dǎo)出矛盾有那幾種可能？（1）與原命題的條件矛盾；（3）與定義、公理、定理、性質(zhì)矛盾；（2）與假設(shè)矛盾。（4）與客觀事實矛盾.第十頁第十一頁，共27頁。說明：常用的正面敘述詞語及其否定：正面詞語等于大于（>）小于(<)是都是只有一個否定沒有或至少有兩個正面詞語至多有一個至少有一個任意的所有的至多有n個任意兩個否定不等于小于或等于（≤）大于或等于（≥）不是不都是至少有兩個一個也沒有某個某些至少有n＋1個某兩個第十一頁第十二頁，共27頁。例2

求證：是無理數(shù)。假設(shè)不成立，故是無理數(shù)。第十二頁第十三頁，共27頁。練習(xí)、已知a≠0，求證關(guān)于x的方程ax=b有且只有一個根。第十三頁第十四頁，共27頁。練習(xí)求證：兩條相交直線有且只有一個交點．[證明]假設(shè)結(jié)論不成立，即有兩種可能：無交點；不只有一個交點．(1)若直線a，b無交點，那么a∥b或a，b是異面直線，與已知矛盾；(2)若直線a，b不只有一個交點，則至少有兩個交點A和B，這樣同時經(jīng)過點A，B就有兩條直線，這與“經(jīng)過兩點有且只有一條直線”相矛盾．故假設(shè)不成立，原命題正確．第十四頁第十五頁，共27頁。第十五頁第十六頁，共27頁。第十六頁第十七頁，共27頁。提升訓(xùn)練第十七頁第十八頁，共27頁。一、選擇題1．應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中，要把下列哪些作為條件使用 ()①結(jié)論相反判斷，即假設(shè)②原命題的結(jié)論③公理、定理、定義等④原命題的條件A．①④ B．①②③C．①③④ D．②③[答案]C[解析]

由反證法的規(guī)則可知①③④都可作為條件使用，故應(yīng)選C.第十八頁第十九頁，共27頁。2．命題“三角形中最多只有一個內(nèi)角是直角”的結(jié)論的否定是 ()A．兩個內(nèi)角是直角B．有三個內(nèi)角是直角C．至少有兩個內(nèi)角是直角D．沒有一個內(nèi)角是直角[答案]

C[解析]

“最多只有一個”即為“至多一個”，反設(shè)應(yīng)為“至少有兩個”，故應(yīng)選C.第十九頁第二十頁，共27頁。3．如果兩個實數(shù)之和為正數(shù)，則這兩個數(shù)()A．一個是正數(shù)，一個是負(fù)數(shù)B．兩個都是正數(shù)C．至少有一個正數(shù)D．兩個都是負(fù)數(shù)[答案]

C[解析]

假設(shè)兩個數(shù)都是負(fù)數(shù)，則兩個數(shù)之和為負(fù)數(shù)，與兩個數(shù)之和為正數(shù)矛盾，所以兩個實數(shù)至少有一個正數(shù)，故應(yīng)選C.第二十頁第二十一頁，共27頁。二、填空題4．“任何三角形的外角都至少有兩個鈍角”的否定應(yīng)是______________________________．[答案]存在一個三角形，其外角最多有一個鈍角[解析]

全稱命題的否定形式為特稱命題，而“至少有兩個”的否定形式為“至多有一個”．故該命題的否定為“存在一個三角形，其外角最多有一個鈍角”．第二十一頁第二十二頁，共27頁。證明：假設(shè)兩個數(shù)都不小于2，則所以兩式相加得整理得因為與已知矛盾第二十二頁第二十三頁，共27頁。1．反證法假設(shè)原命題

(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明

，從而證明了

，這種證明方法叫做反證法．2．反證法常見矛盾類型在反證法中，經(jīng)過正確的推理后“得出矛盾”，所得矛盾主要是指與

矛盾，與

、

、

、

或

矛盾，與

矛盾．不成立假設(shè)錯誤原命題成立已知條件數(shù)學(xué)公理定理公式定義已被證明了的結(jié)論公認(rèn)的簡單事實方法小結(jié)：第二十三頁第二十四頁，共27頁。推理過程中一定要用到才行顯而易見的矛盾(如和已知條件矛盾).反設(shè)歸謬結(jié)論第二十四頁第二十五頁，共27頁。運(yùn)用好反證法的另一個關(guān)鍵是正確對結(jié)論進(jìn)行否定原結(jié)論詞大于（>）小于（<）都是都不是