/專題2.3整式的實際應(yīng)用【例題精講】如圖是一個長方形游樂場，其寬是米，長是米．其中半圓形休息區(qū)和長方形游泳區(qū)以外的地方都是綠地．已知半圓形休息區(qū)的直徑和長方形游泳區(qū)的寬是米，游泳區(qū)的長是米．（1）該游樂場休息區(qū)的面積為，游泳區(qū)的面積為．（用含有的式子表示）（2）若長方形游樂場的寬為40米，綠化草地每平方米需要費用30元，求這個游樂場中綠化草地的費用．【解答】解：（1）休息區(qū)的面積為：；游泳區(qū)的面積為：．故答案為：，；（2）長方形游樂場的寬為40米，米．所以．當時，原式（元．答：游樂場中綠化草地的費用為49290元．如圖，這是2010年11月的日歷．（1）方框套住的9個數(shù)之和與方框正中間的數(shù)的關(guān)系是方框套住的9個數(shù)之和；（2）對于其它這樣的方框，若設(shè)方框正中間的數(shù)為，其它8個數(shù)分別為、、、、、、、；（3）上面（2）中9個數(shù)之和是．【解答】解：（1）方框套住的9個數(shù)之和與方框正中間的數(shù)的關(guān)系是：；（2分）（2）對于其它這樣的方框，若設(shè)方框正中間的數(shù)為，其它8個數(shù)分別為、、、、、、、；（4分）（3）上面（2）中9個數(shù)之和是．（4分）故答案為：方框套住的9個數(shù)之和；、、、、、、、；．【題組訓練】1．如圖所示，在一塊長為，寬為的長方形鐵皮的四個角上，分別截去半徑都為的圓的．（1）試計算剩余鐵皮的面積（陰影部分面積）；（2）當，時，剩余鐵皮的面積是多少？取【解答】解：（1）由圖形可知：答：剩余鐵皮的面積為；（2）當，時，，答：剩余鐵皮的面積為48．2．在日歷上，我們可以發(fā)現(xiàn)某些數(shù)滿足一定的規(guī)律，如下是2015年1月份的日歷，我們選擇其中所示的方框部分，將方框部分的四個角上的四個數(shù)字交叉相乘，再相減，例如，，不難發(fā)現(xiàn)，結(jié)果都等于14（乘積結(jié)果用大的減小的）．星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六12345678910111213141516171819202122232425262728293031（1）請你再選擇兩個類似的部分試一試，看看是否符合這個規(guī)律；（2）請你利用整式的運算對以上規(guī)律加以證明．【解答】解：（1）例如，，結(jié)果都等于14．（2）①設(shè)最小的一個數(shù)為，根據(jù)題意得：，則方框部分的四個角上的四個數(shù)字交叉相乘，再相減結(jié)果等于14．②設(shè)最小的一個數(shù)為，根據(jù)題意得：，則方框部分的四個角上的四個數(shù)字交叉相乘，再相減結(jié)果等于143．如圖，一個花壇由兩個半圓和一個長方形組成，已知長方形的長為米，寬為米．（1）用含有字母，的代數(shù)式表示該花壇的面積；（2）當米，米時，求該花壇的面積．取【解答】解：（1）（平方米）；（2）把，代入得：（平方米），答：花壇的面積為1300平方米．4．如圖是一所住宅的建筑平面圖．（1）用含有、的式子表示這所住宅的建筑面積．（2）當米，米時，住宅的建筑面積有多大？（3）在（2）的條件下，若此住宅的銷售單價為每平方米5000元，求此住宅的銷售價是多少元？（結(jié)果用科學記數(shù)法表示）【解答】解：（1）根據(jù)圖形，得住宅面積為：．答：這所住宅的建筑面積為．（2）把，代入得答：當米，米時，住宅的建筑面積為81平方米．（3）根據(jù)題意，得．答：此住宅的銷售價是元．5．在日常生活中使用的日歷表上，我們可以發(fā)現(xiàn)其中的某些數(shù)滿足一定的規(guī)律，圖中是2013年8月份的日歷表．我們?nèi)我膺x擇圖中的方框部分．將每個方框部分的4個位置上的數(shù)交叉相乘，再相減，如：，，不難發(fā)現(xiàn)，結(jié)果都是7．請你再任意選擇兩個部分試一試．看看是否符合這個規(guī)律：（2）請你利用整式的運算對以上規(guī)律加以說明．【解答】解：（1）例如；；（2）設(shè)最小的一個數(shù)為，其他三個分別為，，，則．6．如圖是某月的日歷，現(xiàn)用一長方形在日歷中任意框出4個數(shù)，請用一個等式表示，，，之間的關(guān)系．【解答】解：、、、是任意框出4個數(shù)，，，，，．即，，，之間的關(guān)系為．7．下表是2012年8月的日歷：完成下列問題：（1）圖中方框（即陰影部分）的9個數(shù)的和是多少？它與方框中間的10有什么關(guān)系？（2）方框中的三列數(shù)每一列的和是多少？有什么規(guī)律？（3）方框中的三行數(shù)每一行的和是多少？有什么規(guī)律？（4）把這個方框上下左右平移，得到新方框，若方框中間的一個數(shù)為，則這個9個數(shù)的和為多少？【解答】解：（1）9個數(shù)的和為，這9個數(shù)的和是10的9倍；（2）第一列的和為：，第二列的和為：，第三列的和為：；每一列和是中間數(shù)的3倍；（3）第一行的和為：，第二行的和為：，第三行的和為：，；每一行和是中間數(shù)的3倍；（4）把這個方框上下左右平移，得到新方框中間的一個數(shù)為，則9個數(shù)的和為．8．近日，教育部正式印發(fā)《義務(wù)教育課程方案》，將勞動從原來的綜合實踐活動課程中完全獨立出來，并在今年9月份開學開始正式施行．某學校率先行動，在校園開辟了勞動教育基地，培養(yǎng)學生勞動品質(zhì)．已知該勞動教育基地有一塊長方形和一塊正方形實驗田，長方形實驗田每排種植株豌豆幼苗，種植了排，正方形實驗田每排種植株豌豆幼苗，種植了排，其中．（1）該勞動教育基地這兩塊實驗田一共種植了多少株豌豆幼苗？（用含、的代數(shù)式表示并化簡）（2）當，時，求該勞動教育基地這兩塊實驗田一共種植了多少株豌豆幼苗？【解答】解：（1）由題意得，．（2）當，時，原式．答：該勞動教育基地這兩塊實驗田一共種植了270株豌豆幼苗．9．國慶期間，云南即將進入旅游高峰，防疫不可忽視，為了滿足景點對口罩的需求，某廠決定生產(chǎn)、兩種款式的口罩，每天兩種口罩的生產(chǎn)量共500包，兩種口罩的成本和售價如下表：口罩成本（元包）售價（元包）5879設(shè)每天生產(chǎn)種口罩包．（1）用含的代數(shù)式表示該工廠每天的生產(chǎn)成本，并化簡；（2）當時，求該工廠每天獲得的利潤．【解答】解：（1）生產(chǎn)成本：元；（2）每天獲得利潤：元，當時，獲得利潤為：（元，答：該工廠每天獲得的利潤為1200元．10．某景區(qū)有一座步行橋（如圖），需要把陰影部分涂刷油漆．（1）求涂刷油漆的面積；（2）若，，請用科學記數(shù)法表示涂刷油漆的面積．【解答】解：（1）涂刷油漆的面積；（2）當，時，原式．11．（1）已知三個連續(xù)的奇數(shù)，若中間那個為，求這三個奇數(shù)的積．（2）求圖中陰影部分的面積．【解答】解：（1）由題意得：；（2）．12．如圖，請計算圖中陰影部分的面積．【解答】解：．答：陰影部分的面積為．13．如圖，兩摞規(guī)格完全相同的作業(yè)本整齊地疊放在桌面上，請根據(jù)圖中所給出的數(shù)據(jù)信息，回答下列問題：（1）每本作業(yè)本的厚度為2；（2）若有一摞上述規(guī)格的作業(yè)本本整齊地擺放在桌面上，請你求出這摞作業(yè)本的頂部距離底面的高度；（單位：，用含的代數(shù)式表示）（3）若把270本作業(yè)本整齊地疊成一摞擺放在桌面上，用科學記數(shù)法表示（單位：的值．【解答】解：（1），故答案為：2；（2），這摞作業(yè)本的頂部距離底面的高度為；（3）當時，，把270本作業(yè)本整齊地疊成一摞擺放在桌面上，用科學記數(shù)法表示為．14．如圖是某一長方形閑置空地，寬為米，長為米為了美化環(huán)境，準備在這個長方形空地的四個頂點處分別修建一個半徑為米的扇形花圃（陰影部分），然后在花圃內(nèi)種花，中間修條長米，寬米的小路，剩余部分種草．（1）小路的面積為平方米；種花的面積為平方米（結(jié)果保留．（2）當，時，請計算該長方形場地上種草的面積?。窘獯稹拷猓海?）依題意得小路的面積為平方米，種花的面積為平方米；故答案為：，．（2）依題意該長方形場地上種草的面積平方米，當，時，平方米．答：該長方形場地上種草的面積為28平方米．15．如圖，有一長方形空地，其長為、寬為，現(xiàn)要在該空地種植兩條防風帶（圖中陰影部分），防風帶一邊長為，其中橫向防風帶為長方形，縱向防風帶為平行四邊形．（1）用代數(shù)式表示剩余空地的面積；（2）若、，且防風帶的面積為116，求原長方形空地的長和寬．【解答】（1）由平移可得，剩余耕地面積為，答：剩余空地的面積為．（2）若、，且防風帶的面積為116，則：，解得，；答：原長方形空地的長為40，寬為20．16．如圖是某月的日歷，在此日歷上用一個正方形圈出9個數(shù)（如6，7，8，13，14，15，20，21，．（1）圖中圈出的9個數(shù)的平均數(shù)是多少？直接寫結(jié)果．（2）若用正方形圈出此日歷中的任意9個數(shù)中，位于中心位置的數(shù)是，那么這9個數(shù)的和是多少？這9個數(shù)的平均數(shù)是多少？（3）若用正方形圈出此日歷中的9個數(shù)，這9個數(shù)的和有可能是225嗎？試說明理由．【解答】解：（1），．圈出的9個數(shù)的平均數(shù)是14．（2）中間的數(shù)為，則剩下的8個數(shù)分別為，，，，，，，，這9個數(shù)之和：，，這9個數(shù)的平均數(shù)為．（3）不可能，理由如下；若這9個數(shù)的和為225，則，解得，由圖可知，25是日歷中第4行的最后一個數(shù)，不可能．17．下面是某月的日歷（1）其中，陰影方框中的9個數(shù)之和與該方框正中間的數(shù)有什么關(guān)系？（2）這個關(guān)系對其它這樣的方框成立嗎？如果用表示中間的數(shù)，你能列式表示這樣的方框中的9個數(shù)之和嗎？（3）在（2）中的方框中，你還能發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)與之間的其他關(guān)系嗎？【解答】解：（1），且，，陰影方框中的9個數(shù)之和是該方框正中間的數(shù)的9倍．（2）成立，如圖中方框右邊相鄰的方框：，且，這9個數(shù)之和是該方框正中間的數(shù)的9倍；設(shè)這樣的方框正中間的數(shù)是，這9個數(shù)分別為、、、、、、、、，，這樣的方框中的9個數(shù)之和是．（3），，，，在（2）中的方框中，每條對角線上的3個數(shù)的和、所在的行的3個數(shù)的和以及所在的列的3個數(shù)的和都等于．18．如圖是一個長方形游樂場，其寬是米，長是米．其中半圓形休息區(qū)和長方形游泳區(qū)以外的地方都是綠地．已知半圓形休息區(qū)的直徑和長方形游泳區(qū)的寬是米，游泳區(qū)的長是米．（1）該游樂場休息區(qū)的面積為，游泳區(qū)的面積為．（用含有的式子表示）（2）若長方形游樂場的寬為40米，綠化草地每平方米需要費用30元，求這個游樂場中綠化草地的費用．【解答】解：（1）休息區(qū)的面積為：；游泳區(qū)的面積為：．故答案為：，；（2）長方形游樂場的寬為40米，米．所以．當時，原式（元．答：游樂場中綠化草地的費用為49290元．19．在日歷上，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定的規(guī)律．如圖是2017年3月份的日歷，我們?nèi)我膺x擇其中所示的方框部分，將每個方框部分中4個位置上的數(shù)交叉相乘，再相減，例如：．不難發(fā)現(xiàn)，結(jié)果都是7．（1）請你再選擇兩個類似的部分試一試．看看是否符合這個規(guī)律；（2）用含的式子表示此規(guī)律：，并證明．【解答】解：（1），，符合這個規(guī)律；（2）由題意可得，此規(guī)律可以表示為：，故答案為：，證明：，．20．某市為鼓勵市民節(jié)約用水，特制定如下的收費標準：若每月每戶用水不超過10立方米，則按3元立方米的水價收費，并加收0.2元立方米的污水處理費；若超過10立方米，則超過的部分按4元立方米的水價收費，污水處理費不變．（1）若小華家5月份的用水量為8立方米，那么小華家5月份的水費為25.6元；（2）若小華家6月份的用水量為15立方米，那么小華家6月份的水費為元；（3）若小華家某個月的用水量為立方米，求小華家這個月的水費（用含的式子表示）．【解答】解：（1）由題意，得（元故答案是：25.6；（2）由題意，得（元故答案是：53；（3）．小華家這個月的水費為元21．正方形中，點是邊上一點（不與點，重合），以為邊在正方形外作正方形，且，，三點在同一條直線上，設(shè)正方形和正方形的邊長分別為和．（1）求圖1中陰影部分的面積（用含，的代數(shù)式表示）；（2）當，時，求圖1中陰影部分的面積的值；（3）當，時，請直接寫出圖2中陰影部分的面積的值．【解答】解：（1），；（2）當，時，；（3），理由：延長交的延長線于點，如圖，則四邊形為矩形，，，．，，當，時，．22．如圖是某年11月的日歷．（1）“”形框中的7個數(shù)與中間數(shù)11有什么關(guān)系？（2）設(shè)中間數(shù)為，如何用代數(shù)式表示“”形框中7個數(shù)之和？（3）若將“”形框上下左右移動，可框住另外7個數(shù)，這7個數(shù)還有上述規(guī)律嗎？【解答】解：（1）觀察圖形可知，框出的7個數(shù)字為3、10、17、11、5、12、19，7個數(shù)的和為77，是11的7倍；（2）設(shè)中間數(shù)為，用代數(shù)式表示“”形框中7個數(shù)之和為．（3）有，理由如下：設(shè)中間一個數(shù)為，則其余六個數(shù)分別為，，，，，，所以這7個數(shù)字之和為：．所以規(guī)律存在．23．一輛出租車從地出發(fā)，在一條東西走向的街道上往返，每次行駛的路程（記向東為正）記錄如下第一次第二次第三次第四次（1）說出這輛出租車每次行駛的方向．（2）求經(jīng)過連續(xù)4次行駛后，這輛出租車所在的位置．（3）這輛出租車一共行駛了多少路程？【解答】（1）解：第一次是向東，第二次是向西，第三次是向東，第四次是向西．（2）解：，，，經(jīng)過連續(xù)4次行駛后，這輛出租車所在的位置是向東．（3）解：，答：這輛出租車一共行駛了的路程．24．某市為了節(jié)約用水，對自來水的收費標準作如下規(guī)定：每月每戶用水不超過10噸的部分，按2元噸收費；超過10噸的部分按2.5元噸收費．（1）若黃老師家5月份用水16噸，問應(yīng)交水費多少元？（2）若黃老師家6月份交水費30元，問黃老師家6月份用水多少噸？（3）若黃老師家7月用水噸，問應(yīng)交水費多少元？（用的代數(shù)式表示）【解答】解：（1）（元，答：應(yīng)交水費35元；（2）設(shè)黃老師家6月份用水噸，由題意得，解得，答：黃老師家6月份用水14噸；（3）①當時，應(yīng)交水費為（元，②當時，應(yīng)交水費為：（元．25．如圖，將邊長為的正方形紙板沿虛線剪成兩個小正方形和兩個矩形，拿掉邊長為的小正方形紙板后，將剩下的三塊拼成新的矩形．（1）用含或的代數(shù)式表示拼成矩形的周長；（2），，求拼成矩形的面積．【解答】解：（1）矩形的長為：，矩形的寬為：，矩形的周長為：；（2）矩形的面積為，把，代入．26．2020年旅游業(yè)收入將迎小高峰，某景區(qū)對門票采用靈活的售票方法吸引游客．100元人的門票，非節(jié)假日打折售票，節(jié)假日按團隊人數(shù)分段定價售票，即10人以下（含10人）的團隊按原價售票；超過10個人的團隊，其中10個人仍按原價售票，超過10人的游客打折售票．部分購票信息如下表：（1）分別求出，的值；（2）設(shè)節(jié)假日期間某旅游團人數(shù)為人，請用含的代數(shù)式表示購票款；（3）導游小李于10月1日（節(jié)假日）帶團，10月20日（非節(jié)假日）帶團都到該景區(qū)旅游，共付門票款3600元，，兩個團隊合計50人，求，兩個團隊各有多少人？非節(jié)假日節(jié)假日團隊人數(shù)（人1016購買門票款（元6001420【解答】解：（1）非節(jié)假日每張門票的價格為：（元，，所以非節(jié)假日打6折售票，所以，節(jié)假日超過10人部分的每張門票價格為（元，，所以超過10人部分的游客打7折售票，所以；（2）當節(jié)假日期間某旅游團人數(shù)為人時，購票款為（元；（3）設(shè)團有人，則團有人，當時，，解得，，這與矛盾；當時，，解得，，．答：團有30人，團有20人．27．將一張如圖①所示的長方形鐵皮四個角都剪去邊長為的正方形，再四周折起做成一個有底無蓋的鐵盒，如圖②鐵盒底面長方形的長是，寬是（1）請用含有的代數(shù)式表示圖①中原長方形鐵皮的面積；（2）若要在鐵盒的外表面涂上某種油漆，每1元錢可涂油漆的面積為，則在這個鐵盒的外表面涂上油漆需要多少錢（用含有的代數(shù)式表示）？【解答】解：（1）原鐵皮的面積是；（2）油漆這個鐵盒的表面積是：，則油漆這個鐵盒需要的錢數(shù)是：（元．28．某超市在春節(jié)期間對顧客實行優(yōu)惠，規(guī)定如下：一次性購物優(yōu)惠辦法少于200元不予優(yōu)惠低于500元但不低于200元九折優(yōu)惠500元或超過500元其中500元部分給予九折優(yōu)惠，超過500元部分給予八折優(yōu)惠（1）王老師一次性購物600元，他實際付款530元．（2）若顧客在該超市一次性購物元，當小于500元但不小于200時，他實際付款元，當大于或等于500元時，他實際付款元．（用含的代數(shù)式表示）．（3）如果王老師兩次購物貨款合計820元，第一次購物的貨款為元，用含的代數(shù)式表示：兩次購物王老師實際付款多少元？【解答】解：（1）；（2）；；（3）．29．新學期，兩摞規(guī)格相同的數(shù)學課本整齊的疊放在講臺上，請根據(jù)圖中所給出的數(shù)據(jù)信息，解答下列問題：（1）每本書的高度為0.5，課桌的高度為；（2）當課本數(shù)為（本時，請寫出同樣疊放在桌面上的一摞數(shù)學課本高出地面的距離（用含的代數(shù)式表示）；（3）桌面上有55本與題（1）中相同的數(shù)學課本，整齊疊放成一摞，若有18名同學各從中取走1本，求余下的數(shù)學課本高出地面的距離．【解答】解：（1）書的厚度為：；課桌的高度為：．故答案為：0.5；85；（2）本書的高度為，課桌的高度為85，高出地面的距離為．故答案為：；（3）當時，．故余下的數(shù)學課本高出地面的距離是．30．窗戶的形狀如圖所示（圖中長度單位：，其上部是半圓形，下部是邊長相同的四個小正方形，已知下部小正方形的邊長是，計算：（1）窗戶的面積；（2）窗戶的外框的總長．【解答】解：（1）窗戶的面積是：（2）窗戶的外框的總長是：31．如圖，在一個長方形休閑廣場的四角都設(shè)計一塊半徑相同的四分之一圓形的花壇，若圓形的半徑為米，廣場的長為米，寬為米．（1）請列式表示廣場空地的面積；（2）若休閑廣場的長為500米，寬為200米，圓形花壇的半徑為20米，求廣場空地的面積．（計算結(jié)果保留【解答】解：（1）廣場空地的面積為：平方米；（2）當，，時，平方米．32．某公園中一塊草坪的形狀如圖中的陰影部分．（1）用整式表示草坪的面積；（2）若米，米，求草坪的面積．【解答】解：（1）．答：草坪的面積為平方米；（2）當米，米時，（米．答：草坪的面積是180平方米33．小明買了一套小戶型的經(jīng)濟適用房，地面結(jié)構(gòu)如圖所示（注，；單位：（1）請用含、的式子表示出地面的總面積．（2）如果小明想將臥室和客廳全部鋪上木地板，衛(wèi)生間和廚房全部鋪上瓷磚，已知木地板80元，瓷磚35元，則小明一共要花多少錢？（用含、的式子表示）【解答】解：（1）客廳面積為，衛(wèi)生間面積，廚房面積為，臥室面積為，所以地面總面積為：；（2）根據(jù)題意知，所花總費用為（元．34．為慶祝我國首個空間實驗室“天宮一號”順利升空，學校開展了火箭模型制作比賽，如圖為火箭模型的截面圖，下面是梯形，中間是長方形，上面是三角形．（1）用、的代數(shù)式表示該截面的面積；（2）當，時，求這個截面的面積．【解答】解：（1）原式；（2）將，代入得：這個截面的面積．35．小明房間窗戶的裝飾物如圖所示，它們由兩個四分之一圓組成（半徑相同）．（1）請用代數(shù)式表示裝飾物的面積（結(jié)果保留；（2）請用代數(shù)式表示窗戶能射進陽光部分面積（結(jié)果保留；（3）若，，請求出窗戶能射進陽光的面積的值（取【解答】解：（1）裝飾物的面積；（2）窗戶能射進陽光部分面積；（3），，．所以窗戶能射進陽光的面積為．36．某商場電器銷售一種微波爐和電磁爐，微波爐每臺定價700元，電磁爐每臺定價200元．“”期間商場決定開展促銷活動，活動期間向客戶提供兩種優(yōu)惠方案．方案一：買一臺微波爐送一臺電磁爐；方案二：微波爐和電磁爐都按定價的付款．現(xiàn)某客戶要到該賣場購買微波爐20臺，電磁爐臺．（1）若該客戶按方案一購買，需付款元．（用含的代數(shù)式表示），若該客戶按方案二購買，需付款元．（用含的代數(shù)式表示）（2）若，通過計算說明此時按哪種方案購買較為合算？（3）當時，你能給出一種更為省錢的購買方案嗎？試寫出你的購買方法．【解答】解：（1）（元，（元；故答案為：；；（2）方案一：當時，原式（元方案二：當時，原式（元按方案二購買較為合算（3）按方案一購買20臺微波爐，則可送20臺電磁爐；再按方案二購買20臺電磁爐．總金額為：（元37．紅星中學九年級（1）班三位教師決定帶領(lǐng)本班名學生利用假期去某地旅游，楓江旅行社的收費標準為：教師全價，學生半價；而東方旅行社不管教師還是學生一律八折優(yōu)惠，這兩家旅行社的全價都是50