/專題4.5直線、射線、線段（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解直線、射線、線段的概念及表示方法，理解點(diǎn)和直線的位置關(guān)系；理解并掌握直線、射線、線段之間的區(qū)別和聯(lián)系；識(shí)別線段、射線、線段的數(shù)量，并能掌握線段上的點(diǎn)和線段數(shù)量?jī)?nèi)在關(guān)系；理解直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)與直線量關(guān)之間的內(nèi)在關(guān)系?！疽c(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、直線1．概念：直線是最簡(jiǎn)單、最基本的幾何圖形之一，是一個(gè)不作定義的原始概念，直線常用“一根拉得緊的細(xì)線”、“一張紙的折痕”等實(shí)際事物進(jìn)行形象描述．2.表示方法：（1）可以用直線上的表示兩個(gè)點(diǎn)的大寫(xiě)英文字母表示，如圖1所示，可表示為直線AB(或直線BA)．（2）也可以用一個(gè)小寫(xiě)英文字母表示，如圖2所示，可以表示為直線．特別說(shuō)明：直線的特征：（1）直線沒(méi)有長(zhǎng)短，向兩方無(wú)限延伸．（2）直線沒(méi)有粗細(xì)．（3）兩點(diǎn)確定一條直線．（4）兩條直線相交有唯一一個(gè)交點(diǎn)．3.點(diǎn)與直線的位置關(guān)系：（1）點(diǎn)在直線上，如圖3所示，點(diǎn)A在直線m上，也可以說(shuō)：直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．（2）點(diǎn)在直線外，如圖4，點(diǎn)B在直線n外，也可以說(shuō)：直線n不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．要點(diǎn)二、線段1.概念：直線上兩點(diǎn)和它們之間的部分叫做線段．2.表示方法：（1）線段可用表示它兩個(gè)端點(diǎn)的兩個(gè)大寫(xiě)英文字母來(lái)表示，如圖5所示，記作：線段AB或線段BA．（2）線段也可用一個(gè)小寫(xiě)英文字母來(lái)表示，如圖5所示，記作：線段a．要點(diǎn)三、射線1.概念：直線上一點(diǎn)和它一側(cè)的部分叫射線，這個(gè)點(diǎn)叫射線的端點(diǎn)．如圖6所示，直線l上點(diǎn)O和它一旁的部分是一條射線，點(diǎn)O是端點(diǎn)．圖6圖62.特征：是直的，有一個(gè)端點(diǎn)，不可以度量，不可以比較長(zhǎng)短，無(wú)限長(zhǎng)．3.表示方法：（1）可以用兩個(gè)大寫(xiě)英文字母表示，其中一個(gè)是射線的端點(diǎn)，另一個(gè)是射線上除端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，端點(diǎn)寫(xiě)在前面，如圖6所示，可記為射線OA．（2）也可以用一個(gè)小寫(xiě)英文字母表示，如圖6所示，射線OA可記為射線l．特別說(shuō)明：(1)端點(diǎn)相同，而延伸方向不同，表示不同的射線．如圖7中射線OA，射線OB是不同的射線．圖7圖7(2)端點(diǎn)相同且延伸方向也相同的射線，表示同一條射線．如圖8中射線OA、射線OB、射線OC都表示同一條射線．圖8圖8要點(diǎn)四、直線、射線、線段的區(qū)別與聯(lián)系1.直線、射線、線段之間的聯(lián)系（1）射線和線段都是直線上的一部分，即整體與部分的關(guān)系．在直線上任取一點(diǎn)，則可將直線分成兩條射線；在直線上取兩點(diǎn)，則可將直線分為一條線段和四條射線．（2）將射線反向延伸就可得到直線；將線段一方延伸就得到射線；將線段向兩方延伸就得到直線．2．三者的區(qū)別如下表特別說(shuō)明：（1）聯(lián)系與區(qū)別可表示如下：（2）在表示直線、射線與線段時(shí)，勿忘在字母的前面寫(xiě)上“直線”“射線”“線段”字樣．【典型例題】類型一、直線、射線、線段的理解1．如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示3，點(diǎn)B表示－.數(shù)軸是什么圖形？數(shù)軸上原點(diǎn)O左邊的部分(包括原點(diǎn))是什么圖形？怎樣表示？射線OB上的點(diǎn)表示什么數(shù)？端點(diǎn)表示什么數(shù)？數(shù)軸上表示不小于－且不大于3的部分是什么圖形？怎樣表示？【答案】(1)直線;(2)射線，射線OB;(3)非正數(shù)，0;(4)線段，線段AB【分析】（1）數(shù)軸是直線；（2）根據(jù)射線的定義，即可解答；（3）根據(jù)負(fù)數(shù)和0，即可解答；（4）根據(jù)線段的定義，即可解答．解：（1）數(shù)軸是直線；（2）數(shù)軸在原點(diǎn)O左邊的部分（包括原點(diǎn)）是射線，表示為射線OB；（3）射線OB上的點(diǎn)表示0和負(fù)數(shù)，端點(diǎn)表示0；（4）數(shù)軸上表示不小于-，且不大于3的部分是線段，表示為線段AB．【點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)軸，解決本題的關(guān)鍵是熟記數(shù)軸的有關(guān)概念．舉一反三：【變式1】指出下圖中的直線、射線、線段，并一一表示出來(lái)．【答案】射線AB、射線BA，射線BC、射線CB；線段AB、線段AC、線段BC，直線AB、直線BC、直線AC等．【分析】根據(jù)直線、射線、線段的概念求解即可．解：∵，∴通過(guò)分析上圖可得：射線AB，射線BA，射線BC，射線CB；線段AB，線段AC，線段BC； 直線AB、直線BC、直線AC等．【點(diǎn)撥】此題考查了直線、射線、線段的概念，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直線、射線、線段的概念．【變式2】判斷下列說(shuō)法是否正確：（1）線段和射線都是直線的一部分（2）直線和直線是同一條直線；（3）射線和射線是同一條射線；（4）把線段向一個(gè)方向無(wú)限延伸可得到射線，向兩個(gè)方向無(wú)限延伸可得到直線．【答案】（1）（2）（4）正確，（3）錯(cuò)誤．【分析】根據(jù)直線、射線、線段的定義以及表示方法對(duì)各小題分析判斷即可得解．解：（1）線段和射線都是直線的一部分，正確；（2）直線和直線是同一條直線，正確；（3）射線的端點(diǎn)是點(diǎn)，射線的端點(diǎn)是點(diǎn)，不是同一條射線，故本小題錯(cuò)誤；（4）把線段向一個(gè)方向無(wú)限延伸可得到射線，向兩個(gè)方向無(wú)限延伸可得到直線，正確．綜上所述：（1）（2）（4）正確，（3）錯(cuò)誤．【點(diǎn)撥】本題考查了直線、射線、線段的定義與表示，解題的關(guān)鍵是熟記概念與它們的區(qū)別與聯(lián)系．類型二、幾何語(yǔ)言描述：直線、射線、線段2．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，正確掌握幾何語(yǔ)言是學(xué)好幾何知識(shí)的必備條件．(1)下列語(yǔ)句中，能正確描述圖1的有（填序號(hào)），①直線a經(jīng)過(guò)O，B兩點(diǎn)；②直線a，b相交于點(diǎn)O；③點(diǎn)A在直線b的延長(zhǎng)線上；④經(jīng)過(guò)O，A兩點(diǎn)有且只有一條直線b．(2)已知平面上三點(diǎn)A，B，C，如圖2，按下列語(yǔ)句畫(huà)圖：①畫(huà)射線AB，直線AC；②連接BC，并延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，使．【答案】(1)①②④(2)畫(huà)圖見(jiàn)詳解．【分析】利用直線、射線、線段的定義，根據(jù)題中的幾何語(yǔ)言畫(huà)出對(duì)應(yīng)的幾何圖形．(1)①正確，點(diǎn)O點(diǎn)B都在直線a上．②正確，直線a，b的交點(diǎn)是點(diǎn)O．③錯(cuò)誤，直線b向兩端無(wú)限延伸的，點(diǎn)A在直線b上．④正確，兩點(diǎn)確定一條直線．故：①②④正確．(2)①如圖，射線AB，直線AC就是所求的線；②連接BC，并延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，使．如圖線段BD就是所求的線段．【點(diǎn)撥】本題考查了直線射線以及線段的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握三者各自的特點(diǎn)．舉一反三：【變式】作圖題：如圖，平面上四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D，根據(jù)下列語(yǔ)句作圖畫(huà)直線AB；畫(huà)射線BC；畫(huà)線段CD，連結(jié)AD．（不寫(xiě)作法）【答案】圖形見(jiàn)分析分析：根據(jù)直線、射線、線段的定義作圖即可.解：如圖所示：類型三、由幾何語(yǔ)言的描述畫(huà)直線、射線、線段3．已知四點(diǎn)A、B、C、D．根據(jù)下列語(yǔ)句，畫(huà)出圖形．①畫(huà)直線AB；②連接AC、BD，相交于點(diǎn)O；③畫(huà)射線AD、射線BC，相交于點(diǎn)P．【分析】根據(jù)直線、射線、線段的性質(zhì)畫(huà)圖即可．解：如圖【點(diǎn)撥】此題主要考查了簡(jiǎn)單作圖，解答此題需要熟練掌握直線、射線、線段的性質(zhì)，認(rèn)真作圖解答即可．舉一反三：【變式1】作圖：如圖，平面內(nèi)有A，B，C，D四點(diǎn)按下列語(yǔ)句畫(huà)圖：（1）畫(huà)射線AB，直線BC，線段AC（2）連接AD與BC相交于點(diǎn)E.【分析】利用作射線，直線和線段的方法作圖．解：如圖：【點(diǎn)撥】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖．【變式2】如圖按下列語(yǔ)句畫(huà)圖（1）連接BC．（2）畫(huà)直線AB、CD相交于E．（3）作射線AD．（4）連接AC、BD，相交于點(diǎn)O．【分析】根據(jù)線段、直線、射線的畫(huà)法即可得．解：由題意，畫(huà)圖如下：【點(diǎn)撥】本題考查了畫(huà)線段、直線、射線，熟練掌握線段、直線、射線的畫(huà)法是解題關(guān)鍵．類型四、點(diǎn)線位置關(guān)系4．按下列要求分別畫(huà)出圖形．（1）直線AB外有一點(diǎn)C；（2）P是直線a外一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P有一條直線b與直線a相交于點(diǎn)Q．【答案】（1）見(jiàn)分析；（2）見(jiàn)分析【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)與直線的關(guān)系進(jìn)行作圖即可；（2）根據(jù)點(diǎn)與直線的關(guān)系進(jìn)行作圖即可．解：（1）如圖所示（畫(huà)法不唯一）；（2）如圖所示（畫(huà)法不唯一）．【點(diǎn)撥】本題考查了點(diǎn)與直線的相關(guān)作圖，明確點(diǎn)與直線的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】按照下列語(yǔ)句畫(huà)出圖形．（1）點(diǎn)P在直線AB上，但不在直線CD上；（2）點(diǎn)Q既不在直線a上，也不在直線b上；（3）直線EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，點(diǎn)C不在直線EF上．【答案】（1）見(jiàn)分析；（2）見(jiàn)分析；（3）見(jiàn)分析【分析】（1）畫(huà)兩條直線、，在上標(biāo)記一點(diǎn)，且不在直線上；（2）畫(huà)兩條直線，在這兩條直線外標(biāo)記一點(diǎn)；（3）畫(huà)一條直線，在直線上標(biāo)記一點(diǎn)，直線外標(biāo)記一點(diǎn)．解：（1）如圖所示：（畫(huà)法不唯一）（2）如圖所示：（畫(huà)法不唯一）（3）如圖所示：（畫(huà)法不唯一）【點(diǎn)撥】此題考查了點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，熟練掌握點(diǎn)與直線的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．類型五、直線、射線、線段的數(shù)量問(wèn)題5．若直線上有兩個(gè)點(diǎn)，則以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)可以確定一條線段．請(qǐng)仔細(xì)觀察圖形，解決下列問(wèn)題：(1)如圖1，直線l上有3個(gè)點(diǎn)A，B，C，則可以確定條線段；(2)如圖2，直線l上有4個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，則可以確定條線段；(3)若直線上有n個(gè)點(diǎn)，一共可以確定多少條線段？請(qǐng)寫(xiě)出解題過(guò)程．【答案】(1)3(2)6(3)條，見(jiàn)分析【分析】（1）根據(jù)線段定義即可求解．（2）根據(jù)線段的定義即可求解．（3）由（1）（2）找出規(guī)律即可求解．（1）解：由圖可得：直線l上有3個(gè)點(diǎn)A，B，C，可得線段AB、線段BC和線段AC，則可以確定3條線段，故答案為：3．（2）有圖可得：直線l上有4個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，可得線段AB、線段AC、線段AD、線段BC、線段BD和線段CD，則可以確定6條線段，故答案為：6．（3）由（1），（2）可得，當(dāng)直線上有n個(gè)點(diǎn)，則：．【點(diǎn)撥】本題考查了線段的定義及數(shù)量關(guān)系，熟練掌握線段的定義及數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，在平面內(nèi)有A，B，C三點(diǎn)．(1)畫(huà)直線AB；畫(huà)射線AC；畫(huà)線段BC；(2)在線段BC上任取一點(diǎn)D（不同于B，C兩點(diǎn)），連接AD，并延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使；(3)數(shù)一數(shù)，此時(shí)圖中共有多少條線段？多少條射線？【答案】(1)見(jiàn)分析(2)見(jiàn)分析(3)有8條線段，6條射線【分析】（1）根據(jù)直線、射線、線段的定義，即可求解；（2）先畫(huà)出線段AD，再延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使，即可求解；（3）根據(jù)射線、線段的定義，即可求解．(1)解：如圖，直線AB，射線AC，線段BC即為所求；(2)解：如圖，線段AD和DE即為所求；(3)解：圖中的線段有AB、AC、AD、DE、AE、CD、DB、BC，共有8條，射線有AC、CH、AG、BG、BF、AF，共有6條．【點(diǎn)撥】本題主要考查了直線、射線、線段的定義，熟練掌握直線沒(méi)有端點(diǎn)、長(zhǎng)度無(wú)限，可以向兩端無(wú)限延長(zhǎng)；射線只有一個(gè)端點(diǎn)，長(zhǎng)度無(wú)限，可以向一端無(wú)限延長(zhǎng)；線段有兩個(gè)端點(diǎn)，長(zhǎng)度有限是解題的關(guān)鍵．【變式2】（1）【觀察思考】如圖，線段上有兩個(gè)點(diǎn)、，分別以點(diǎn)、、、為端點(diǎn)的線段共有________條．（2）【模型構(gòu)建】若線段上有個(gè)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則該線段上共有___________條線段．（3）【拓展應(yīng)用】若有10支球隊(duì)參加校級(jí)籃球比賽，比賽采用單循環(huán)制（即每支球隊(duì)之間都要進(jìn)行一場(chǎng)比賽），請(qǐng)你應(yīng)用上述模型構(gòu)建，求一共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？【答案】（1）6；（2）；（3）45場(chǎng)【分析】（1）從左向右依次固定一個(gè)端點(diǎn)A，C，D找出線段，最后求和即可；（2）根據(jù)數(shù)線段的特點(diǎn)列出式子化簡(jiǎn)即可；（3）將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成（2）的模型，借助（2）的結(jié)論即可得出結(jié)論．解：（1）∵以點(diǎn)A為左端點(diǎn)向右的線段有：線段AB、AC、AD，以點(diǎn)C為左端點(diǎn)向右的線段有線段CD、CB，以點(diǎn)D為左端點(diǎn)的線段有線段DB，∴共有3＋2＋1＝6（條）．故答案為：6；（2）設(shè)線段上有m個(gè)點(diǎn)，該線段上共有線段x條，則x＝（m?1）＋（m?2）＋（m?3）＋…＋3＋2＋1，∴倒序排列有x＝1＋2＋3＋…＋（m?3）＋（m?2）＋（m?1），∴2x＝m＋m＋m＋…＋m＝m（m?1），∴x＝m（m?1）．故答案為：；（3）把10支球隊(duì)看作直線上的10個(gè)點(diǎn)，每?jī)芍蜿?duì)之間的一場(chǎng)比賽看作一條線段，由題知，當(dāng)m＝10時(shí)，．答：一共要進(jìn)行45場(chǎng)比賽．【點(diǎn)撥】此題主要考查了線段的計(jì)數(shù)問(wèn)題，解本題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，此類題目容易數(shù)重或遺漏，要特別注意．類型六、直線相交的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題6．按要求完成作圖及作答：(1)如圖1，請(qǐng)用適當(dāng)?shù)恼Z(yǔ)句表述點(diǎn)P與直線l的關(guān)系：；(2)如圖1，畫(huà)直線PA；(3)如圖1，畫(huà)射線PB；(4)如圖2，平面內(nèi)三條直線交于A、B、C三點(diǎn)，點(diǎn)M、N是平面內(nèi)另外兩點(diǎn)，若分別過(guò)點(diǎn)M、N各作一條直線，則新增的兩條直線使得平面內(nèi)最多新增個(gè)交點(diǎn)．【答案】(1)P在直線l外；(2)見(jiàn)分析(3)見(jiàn)分析(4)7【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)與直線的關(guān)系即可填空；（2）根據(jù)直線的定義即可畫(huà)直線PA；（3）根據(jù)射線的定義即可畫(huà)射線PB；（4）根據(jù)題意畫(huà)出圖形即可得平面內(nèi)最多新增的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．解：(1)點(diǎn)P與直線l的關(guān)系：P在直線l外；故答案為：P在直線l外；(2)如圖1，直線PA即為所求；(3)如圖1，射線PB即為所求；(4)如圖2，新增的兩條直線使得平面內(nèi)最多新增7個(gè)交點(diǎn)．故答案為：7．【點(diǎn)撥】本題考查了作圖?應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，直線的性質(zhì)：兩點(diǎn)確定一條直線，相交線，解決本題的關(guān)鍵是掌握直線的性質(zhì)．舉一反三：【變式1】?jī)蓷l直線相交，有一個(gè)交點(diǎn)，三條直線相交，最多有多少個(gè)交點(diǎn)？四條直線呢？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？【答案】?jī)蓷l直線相交，最多有1個(gè)交點(diǎn)，三條直線相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)，四條直線相交，最多有6個(gè)交點(diǎn)，…，規(guī)律：n條直線相交，最多有個(gè)交點(diǎn)．【分析】根據(jù)兩直線相交，最多有1個(gè)交點(diǎn)，三直線相交最多有1+2=3個(gè)交點(diǎn)，四條直線相交，最多有1+2+3=6個(gè)交點(diǎn)，由此可以發(fā)現(xiàn)最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)就是從1開(kāi)始的連續(xù)的正整數(shù)相加，最后一個(gè)加數(shù)比直線的條數(shù)少1，由此進(jìn)行求解即可解：兩條直線相交，最多有1個(gè)交點(diǎn)，三條直線相交，最多有1+2=3個(gè)交點(diǎn)，四條直線相交，最多有1+2+3=6個(gè)交點(diǎn)……由此可以發(fā)現(xiàn)最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)就是從1開(kāi)始的連續(xù)的正整數(shù)相加，最后一個(gè)加數(shù)比直線的條數(shù)少1，一般地，n條直線相交，最多有（首尾相加和為n，第二和倒數(shù)第二個(gè)的和也為n，由此即可推出此式子）個(gè)交點(diǎn)．【點(diǎn)撥】本題主要考查了直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)特例推出相應(yīng)的規(guī)律