第四章數(shù)學(xué)文化中的數(shù)學(xué)思維和方法第一頁(yè)，共44頁(yè)。希臘邏輯傳統(tǒng)——三段論亞里士多德三段論：大前提：所有人都是要死的；

小前提：蘇格拉底是人；

結(jié)論：所以蘇格拉底是要死的。第一頁(yè)第二頁(yè)，共44頁(yè)。印度邏輯傳統(tǒng)——因明論印度新因明的推理形式。有三個(gè)部分（“支”）組成，即：宗（論題目）、因（理由）、喻（例證）。宗：此處有熱；因：由于有火的緣故；喻：有火的地方都有熱。宗：蘇格拉底是要死的。

因：人故。

同喻：有某個(gè)人是要死的，如張三。

異喻：不死的都不是人。

第二頁(yè)第三頁(yè)，共44頁(yè)。中國(guó)邏輯傳統(tǒng)——推類推類例1：關(guān)關(guān)雎鳩，在河之州。窈窕淑女，君子好逑。（《詩(shī)經(jīng)》）推類例2：“繪事后素”是孔子在《論語(yǔ)·八佾》中說(shuō)的一句話：子夏問(wèn)曰：“‘巧笑倩兮，美目盼兮，素以為絢兮?！沃^也？”子曰：“繪事后素。”曰：“禮后乎？”子曰：“起予者商也！始可與言《詩(shī)》已矣?！钡谌?yè)第四頁(yè)，共44頁(yè)。中國(guó)邏輯傳統(tǒng)——推類推類例3：論語(yǔ)·述而》載:“子曰:‘不憤不啟,不悱不發(fā)。舉一隅而不以三隅反,則不復(fù)也’?！蓖祁惱?：《周易·說(shuō)卦》有:“乾為天,為圓,為君,為父,為玉,為金,為寒,為冰,為大赤,為良馬,為老馬,為瘠馬,為駁馬,為木果?！薄吨芤住ふf(shuō)卦》有“坤為地,為母,為臣,為釜,為吝嗇,為均,為子母牛,為大興,為文,為眾,為柄,其于地也為黑。”第四頁(yè)第五頁(yè)，共44頁(yè)。中國(guó)邏輯傳統(tǒng)——推類推類例5：墨經(jīng)《小取》:(1)白馬,馬也;乘白馬,乘馬也;獲,人也;愛(ài)獲,愛(ài)人也。(2)白馬,馬也;乘白馬,乘馬也;盜人,人也;愛(ài)盜,愛(ài)人也。推類例6：《唐律疏議》對(duì)“舉重以明輕”的解釋：“依《賊盜律》：夜無(wú)故入人家，主人登時(shí)殺之，勿論。假有折傷，灼然不坐”。推類——依照類的同、異關(guān)系進(jìn)行的推論被稱為“推類”第五頁(yè)第六頁(yè)，共44頁(yè)。第四章數(shù)學(xué)文化中的思維與方法※演繹推理

※歸納推理

※類比推理

※統(tǒng)計(jì)推理第六頁(yè)第七頁(yè)，共44頁(yè)。演繹推理★推理模式:

一般特殊★世界上第一個(gè)演繹體系

——?dú)W幾里得《幾何原本》

●柏拉圖——

“理念世界”

▲亞里斯多德——

“三段論”第七頁(yè)第八頁(yè)，共44頁(yè)。演繹推理★公理化思想對(duì)人類思維的影響

愛(ài)因斯坦：一切科學(xué)的偉大目標(biāo)，即要從盡可能少的假說(shuō)或者公理出發(fā)，通過(guò)邏輯的演繹，概括盡可能多的經(jīng)驗(yàn)事實(shí)。

歐幾里得的《幾何原本》、牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》、馬克思的《資本論》、杰文斯的《政治經(jīng)濟(jì)學(xué)原理》、瓦爾拉斯的《純粹經(jīng)濟(jì)學(xué)要義》、斯賓諾沙的《論理學(xué)》、洛克的《人類理性論》、貝可萊的《人類知識(shí)原理》、休謨的《人性論》和《人類的理解研究》、邊沁的《道德與立法原理理論》、穆勒的《人性分析》等。第八頁(yè)第九頁(yè)，共44頁(yè)。演繹推理★公理化思想對(duì)人類思維的影響西爾伯特：“的確，不管在哪個(gè)領(lǐng)域，對(duì)于任何嚴(yán)正的研究精神來(lái)說(shuō)，公理化方法都是并且始終是一個(gè)合適的不可或缺的助手；它在邏輯上是無(wú)懈可擊的，同時(shí)也是富有成果的；因此它保證了研究的完全自由。在這個(gè)意義上，用公理化進(jìn)行研究就等于用已掌握了的東西進(jìn)行思考。早年沒(méi)有公理化方法的時(shí)候，人們只能素樸地把某些關(guān)系作為信條來(lái)遵守，公理化的研究方法則可去掉這種素樸性而使信仰得到利益》”第九頁(yè)第十頁(yè)，共44頁(yè)?！稁缀卧尽返墓眢w系五個(gè)公設(shè)：1.過(guò)相異兩點(diǎn)，能作且只能作一直線（直線公理）。

2.線段(有限直線)可以任意地延長(zhǎng)。

3.以任一點(diǎn)為圓心、任意長(zhǎng)為半徑，可作一圓(圓公理)。

4.凡是直角都相等(角公理)。

5.兩直線被第三條直線所截，如果同側(cè)兩內(nèi)角和小於兩個(gè)直角，則兩直線作延長(zhǎng)時(shí)在此側(cè)會(huì)相交。第十頁(yè)第十一頁(yè)，共44頁(yè)?！稁缀卧尽返墓眢w系五個(gè)公理：1.跟同一個(gè)量相等的兩個(gè)量相等；即若a=c且b=c，則a=b（等量代換公理）。2.等量加等量，其和相等；即若a=b且c=d，則a+c=b+d（等量加法公理）。3.等量減等量，其差相等；即若a=b且c=d，則a-c=b-d（等量減法公理）。4.完全疊合的兩個(gè)圖形是全等的（移形疊合公理）。5.全量大於分量，即a+b>a（全量大於分量公理）。第十一頁(yè)第十二頁(yè)，共44頁(yè)?！蹲匀豢茖W(xué)的數(shù)學(xué)原理》的公理化展開(kāi)模式8個(gè)定義：物質(zhì)的量，運(yùn)動(dòng)的量，物體固有的力，外力，向心力，向心力的絕對(duì)度量，問(wèn)心力的加速度，問(wèn)心力的運(yùn)動(dòng)度量。公理（3條）：1°牛頓第一定律：每個(gè)物體都保持其靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)，除非有外力作用于它迫使改變那個(gè)狀態(tài)。2°牛頓第二定律：運(yùn)動(dòng)的變化正比于外力，變化的方向沿外力作用的直線方向。3°牛頓第三定律：每一種作用都有一個(gè)相等的反作用，或者兩個(gè)物體間的相互作用總是相等的而且指向相反。第十二頁(yè)第十三頁(yè)，共44頁(yè)。六個(gè)基本定理：l．力的平行四邊形法則：二力共同作用于一物體時(shí)，此物體沿二力組成的平行四邊形的對(duì)角線運(yùn)動(dòng)；運(yùn)動(dòng)所需的時(shí)間與它分別受到這兩個(gè)力作用時(shí)沿平行四邊形兩邊運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同。2．力的三角形法則：沿AD的力可由沿AB的力與沿BD的力合成；同樣沿AD的力也可分解為兩個(gè)任意的沿AB的力與沿BD的力。3．運(yùn)動(dòng)（動(dòng)量）守恒，即在物體互相碰撞時(shí)，各方向運(yùn)動(dòng)（動(dòng)量）的總和不變。第十三頁(yè)第十四頁(yè)，共44頁(yè)。4．二物體或多物體體系的公共重心，在無(wú)外力作用時(shí)，保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)，而不以體系內(nèi)的物體的作用而改變其狀態(tài)。5．當(dāng)某空間靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，該空間內(nèi)所有物體的運(yùn)動(dòng)不受影響。6．不管物體之間以任何方式運(yùn)動(dòng)，如果有相等的加速力以平行的方向?qū)χl(fā)生作用，則物體之間仍繼續(xù)以相同的方式運(yùn)動(dòng)著，就像沒(méi)有受到這個(gè)力的作用一樣。全書(shū)共88個(gè)定理。第十四頁(yè)第十五頁(yè)，共44頁(yè)?！锕砘枷雽?duì)人類思維的影響《獨(dú)立宣言》

美國(guó)1776年

▲在人類歷史事件的進(jìn)程中，當(dāng)一個(gè)民族必須解除其與另一個(gè)民族之間迄今所存在著的政治聯(lián)系，而在世界列國(guó)之中取得“自然法則”和“自然神明”所規(guī)定給他們的獨(dú)立與平等的地位時(shí)，就有一種真誠(chéng)的尊重人類公意的心理，要求他們一定要把那些迫使他們不得已而獨(dú)立的原因宣布出來(lái)。

第十五頁(yè)第十六頁(yè)，共44頁(yè)?！丢?dú)立宣言》

美國(guó)1776年▲我們堅(jiān)信這些不言而喻的真理：人人生而平等，他們都從他們的“造物主”那里被賦予了某些不可轉(zhuǎn)讓的權(quán)利，其中包括生命權(quán)、自由權(quán)和追求幸福的權(quán)利。為了保障這些權(quán)利，所以才在人們中間成立政府。而政府的正當(dāng)權(quán)利，系得自被統(tǒng)治者的同意。如果遇有任何一種形式的政府變成是損害這些目的的，那么，人民就有權(quán)利來(lái)改變它或廢除它，以建立新的政府。這新的政府，必須是建立在這樣的原則的基礎(chǔ)上，并且是按照這樣的方式來(lái)組織它的權(quán)力機(jī)關(guān)，庶幾就人民看來(lái)那是能夠促進(jìn)他們的安全和幸福的。第十六頁(yè)第十七頁(yè)，共44頁(yè)。《獨(dú)立宣言》的公理化展開(kāi)模式公理：人人生而平等：生命權(quán)、自由權(quán)和追求幸福的權(quán)利。定理：（1）為了保障這些權(quán)利，人民才組織成立政府，政府由人民同意后、取得正當(dāng)?shù)臋?quán)利。（2）任何政府一旦損害這些權(quán)利，人們就有權(quán)改換它或廢除它，建立新政府。（3）新政府所根據(jù)的原則及其組織權(quán)力的方式，務(wù)必使人民認(rèn)為，唯有這樣才最有可能保障他們的安全與幸福。第十七頁(yè)第十八頁(yè)，共44頁(yè)。儒家文化的公理化模式

——三綱五常君為臣綱──君臣義父為子綱──父子親夫?yàn)槠蘧V──夫妻順【仁】──親也。對(duì)人寬厚有愛(ài)心【義】──事之宜也。為人正派，愛(ài)憎分明【禮】──理也。待人彬彬有禮，行為端莊【智】──智慧也。處事果斷周密【信】──誠(chéng)信也。做人誠(chéng)實(shí)穩(wěn)重講信譽(yù)第十八頁(yè)第十九頁(yè)，共44頁(yè)。邏輯推理的力量

◎有這樣一個(gè)故事，國(guó)王有三個(gè)聰明的大臣，國(guó)王想知道他們?nèi)齻€(gè)人中誰(shuí)更聰明。有一天，國(guó)王拿來(lái)三頂小白帽和兩頂小黑帽，讓大臣們看過(guò)之后閉上眼睛，國(guó)王給他們每個(gè)人都戴了一頂小帽，待大臣們睜開(kāi)眼睛后，國(guó)王要三個(gè)大臣猜自己戴的是黑帽子，還是白帽子？當(dāng)國(guó)王第一次問(wèn)大臣們時(shí)，無(wú)人回答；當(dāng)?shù)诙螌?wèn)時(shí)，還是沒(méi)人回答，但當(dāng)國(guó)王剛要第三次尋問(wèn)時(shí)，三個(gè)大臣卻異口同聲地答道：“我戴的是白色的帽子?！蹦忝靼灼渲械牡览韱?？第十九頁(yè)第二十頁(yè)，共44頁(yè)。邏輯推理的力量

◎人類對(duì)“無(wú)窮”的認(rèn)識(shí)

★在我國(guó)戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的《莊子·天下篇》中有這樣一句著名的話：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭?！?/p>

★伽利略：“部分=整體”

1491625……12345…n…n2第二十頁(yè)第二十一頁(yè)，共44頁(yè)。◎人類對(duì)“無(wú)窮”的認(rèn)識(shí)

★康托兒：自然數(shù)的個(gè)數(shù)=有理數(shù)的個(gè)數(shù)線段上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)=直線上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)

=平面上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)=宇宙中的點(diǎn)的個(gè)數(shù)1/12/13/14/15/16/1…1/22/23/24/25/26/2…1/32/33/34/35/36/3…1/42/43/44/45/46/4…1/52/53/54/55/56/5…1/62/63/64/65/66/6……………………第二十一頁(yè)第二十二頁(yè)，共44頁(yè)。邏輯推理的困惑——數(shù)學(xué)悖論☆畢達(dá)哥拉斯悖論：√2不能用整數(shù)來(lái)表示☆芝諾悖論：阿基里斯（善跑的神）追不上烏龜☆羅素悖論：“宇宙不存在”：

若U=宇宙=｛物質(zhì)｝，則U∈U？集合悖論：若U=｛AA∈A｝，U∈U？理發(fā)師悖論：約定：理發(fā)師只給那些不給自己刮胡子的人刮胡子；問(wèn)，理發(fā)師該不該給自己刮胡子？第二十二頁(yè)第二十三頁(yè)，共44頁(yè)。邏輯推理的困惑——數(shù)學(xué)悖論☆歌德?tīng)柕牟煌陚湫远ɡ砀璧聽(tīng)柕谝欢ɡ恚簩?duì)于包含自然數(shù)系的任何相容的形式體系F，存在F中的不可判定的命題；即存在F中的命題S，使得S和非S都不是在F中可證的。歌德?tīng)柕诙ɡ恚簩?duì)于包含自然數(shù)系的任何相容的形式體系F，F(xiàn)的相容性不能在F中被證明。第二十三頁(yè)第二十四頁(yè)，共44頁(yè)。邏輯與操作●在12個(gè)顏色與大小都一樣的乒乓球中有且只有一個(gè)次品，用一架沒(méi)有砝碼的天平，至少秤幾次才能將那個(gè)不合格的乒乓球找出來(lái)？●老虎過(guò)河

一天，有三對(duì)虎母子要通過(guò)一條河流，條件是：①有一只船，每次最多只能坐兩只老虎（不論大?。虎诿恳恢焕匣⒕鶗?huì)劃船；③只要小老虎不在媽媽身邊時(shí)，就回被身邊其它的虎媽媽吃掉。

問(wèn)，這三對(duì)老虎如何利用這條船，才能安全地渡過(guò)這條河？第二十四頁(yè)第二十五頁(yè)，共44頁(yè)。歸納推理★推理模式:

特殊一般★歸納推理的特點(diǎn)：

合情性猜測(cè)性超越性第二十五頁(yè)第二十六頁(yè)，共44頁(yè)。歸納推理歸納法的分類：

不完全歸納法猜想歸納法完全歸納法真理

數(shù)學(xué)歸納法證明第二十六頁(yè)第二十七頁(yè)，共44頁(yè)。歸納的魅力●已知12=3×41122=33×34111222=333×334

………………●已知

37×3=11137×6=22237×9=33337×12=444

…以上兩例，你能延續(xù)下去嗎？第二十七頁(yè)第二十八頁(yè)，共44頁(yè)。歸納的魅力●已知

1=1………3+5=8………7+9+11=27………13+15+17+19=64………21+23+25+27+29=125………

……………………你能寫(xiě)出第6個(gè)，第7個(gè)等式嗎？一般式呢？1323334353第二十八頁(yè)第二十九頁(yè)，共44頁(yè)。哥德巴赫猜想☆起源

德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫在1742年6月7日致大數(shù)學(xué)家歐拉的信中說(shuō)：“看起來(lái)至少好像每個(gè)大于5的奇數(shù)是三個(gè)素?cái)?shù)的和?！睔W拉在當(dāng)年6月30日的回信中說(shuō)：“雖然我不能證明，但我肯定每個(gè)大于2的偶數(shù)是兩個(gè)素?cái)?shù)之和?！薄绲掳秃詹孪?。

第二十九頁(yè)第三十頁(yè)，共44頁(yè)。哥德巴赫猜想☆發(fā)現(xiàn)過(guò)程

4=2+26=3+38=3+510=3+7=5+5

……………由此可以推測(cè)：任何一個(gè)大于2的偶數(shù)都等于兩個(gè)素?cái)?shù)之和

第三十頁(yè)第三十一頁(yè)，共44頁(yè)。哥德巴赫猜想☆證明歷程1920年挪威數(shù)學(xué)家布朗證明了（9+9）；1924年德國(guó)數(shù)學(xué)家拉德馬哈爾證明了（7+7）；1932年英國(guó)數(shù)學(xué)家麥斯特曼證明了（6+6）；1938年前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家布赫斯塔勃證明了（5+5），1940年又證明了（4+4）；1956年前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉托夫證明了（3+3）；（陳景潤(rùn)挑戰(zhàn)的對(duì)象）1957年中國(guó)數(shù)學(xué)家王元證明了（2+3）；1948年匈亞利數(shù)學(xué)家蘭恩依證明了（1+6）；1962年中國(guó)數(shù)學(xué)家潘承洞證明了（1+5），后又與王元共同證明了（1+4）；1965年布赫斯塔勃，維諾格拉托夫與意大利的龐皮艾黎都證明了（1+3）；1966年中國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)證明了（1+2）。

第三十一頁(yè)第三十二頁(yè)，共44頁(yè)?！昂汀?“積”2個(gè)數(shù)2+2=2×23個(gè)數(shù)

1+2+3=1×2×34個(gè)數(shù)？+1+2+4=？×1×2×45個(gè)數(shù)？+？+1+2+5=？×？×1×2×5

……………………n個(gè)數(shù)呢？結(jié)論：若n個(gè)自然數(shù)的和等于它們的積，則這n個(gè)自然數(shù)只能是（1，1，…，2，n）第三十二頁(yè)第三十三頁(yè)，共44頁(yè)。倒霉的費(fèi)馬數(shù)費(fèi)馬數(shù)：★費(fèi)馬素?cái)?shù)：

=3，=5，=17，=257，

=65537★1732年歐拉證明：=641×6700417★1880年路加（法）證明：=274177×67280421310721★1971年莫利遜，1981年勃蘭特分別證明了與是合數(shù)，1980年與1984年開(kāi)勒分別證明了與是合數(shù)?！铿F(xiàn)在，仍不能確定，，是否為素?cái)?shù)?！锿茰y(cè)：費(fèi)馬素?cái)?shù)只有上述五個(gè)。

FnF0F1F2F3F4F5F6F7F8F9448F23471F22F24F28第三十三頁(yè)第三十四頁(yè)，共44頁(yè)。數(shù)學(xué)黑洞●任意寫(xiě)出一個(gè)自然數(shù)N，并按照下列規(guī)則進(jìn)行變換：

①如果N是一個(gè)奇數(shù)，則下一步將其變?yōu)?N+1；②如果N是一個(gè)偶數(shù)，則下一步將其變?yōu)镹/2。結(jié)果：不論你寫(xiě)出多么大的自然數(shù)，最后必然會(huì)落到谷底1，或者說(shuō)落如底部的4—2—1循環(huán)，而永遠(yuǎn)跳不出這個(gè)小圈子。

雅號(hào)：冰雹猜想，角谷猜想，西方寶樹(shù)聞?wù)f道/西方寶樹(shù)喚婆娑/上結(jié)著/長(zhǎng)生果。

——《紅樓夢(mèng)·