高等量子力學勞動教育總論第七章普通高等教育“十三五”規(guī)劃教材天津工業(yè)大學學位與研究生教育改革項目資助01躍遷矩陣(T矩陣)躍遷矩陣(T矩陣)設(shè)體系的哈密頓量為按微擾論的方法將H的本征函數(shù)

的本征函數(shù)展開，有其中H?可以只含動能項，也可以包含某些相互作用，但H?的本征值E?及本征函數(shù)

是已知的。將式(7.2)代入薛定諤方程式(1.26)并利用

的正交歸一性后得出式中并且其波函數(shù)的歸一化條件為以s計入射波的狀態(tài)，初始條件是躍遷矩陣(T矩陣)設(shè)體系的哈密頓用微擾論的方法求解式(7.4),由于U(r)不含t,滿足初始條件式(7.7)和式(7.8)的解為量為在式(7.9)的積分中，

是個本性奇點，積分發(fā)散。為了計算這個積分，這里介紹一種在理論物理中常用的方法。在式(7.9)的被積函數(shù)中加上一個因子

是正數(shù)，并將積分改寫為完成式(7.10)的積分后，先令

,

再令α→0,以保證積分收斂。這種處理方式在<1/a時成立。另外，同時還將式(7.9)中已知的矩陣元

換成未知的矩陣元

。事實上，可以認為式(7.9)是個關(guān)于方程式(7.4)的解的一個基本假定，并據(jù)此定義矩陣元

,式(7.10)僅僅是用一個未知的T。來表示式(7.4)的解。完成式(7.10)的積分并令

后得當r≠s時按照上述方式定義的矩陣T稱為躍遷矩陣。式(7.12)表示，一旦求出T矩陣，就可以給出躍遷概率。躍遷矩陣(T矩陣)由式(7.12)得到，從s態(tài)到r態(tài)的躍遷速率為利用δ函數(shù)的公式在α→0的極限下，式(7.13)給出式(7.15)中的δ函數(shù)保證躍遷過程中能量守恒。如果末態(tài)的能量準連續(xù)，再近似地將T矩陣看成是微擾矩陣，式(7.15)其實就是在初等量子力學中提到的費米黃金規(guī)則。02李普曼-許溫格方程在引入T矩陣時我們曾經(jīng)指出，式(7.10)可以認為是對于方程式(7.4)的解的一個基本假定。為保證式(7.10)確實是式(7.4)的解，將式(7.10)代入式(7.4)并令αt→0,得為了把形式散射理論和通常的散射理論聯(lián)系起來，定義一個正頻散射態(tài),令它和微擾矩陣

的不同在于，

不同于H?的本征態(tài)

,它是個待定的波函數(shù)。將式(7.17)代入式(7.16),得在式(7.18)中，右端第二項分母中的

,當α→0時，實際上只是指明了積分回路應該包含的奇點和積分路徑。式(7.18)對所有

均成立，因此有李普曼-許溫格方程式(7.20)稱為李普曼-許溫格(Lippmann-Schwinger)方程。這是散射理論的基本方程式。利用這個方程求出

后，由式(7.17)即可求出T矩陣。這個方程和格林函數(shù)法求解時給出的結(jié)果十分相似。為了和格林函數(shù)法做一個比較，用算符

作用于式(7.20)兩邊并令α→0后得可見，

其實就是H=H?+U的本征態(tài)，E,是相應的本征值。在

時，U→0,H和Ho有相同的本征值，這正是彈性散射的結(jié)果。引入

,令表示能量表象中的格林函數(shù)，則可將式(7.20)寫為式(7.23)表示，非齊次方程式(7.21)的通解等于相應的齊次方程的通解加上非齊次方程的特解。這和用格林函數(shù)法求解散射問題的結(jié)果完全相同。事實上，式(7.23)是在無微擾的能量表象中寫出的。在H?只含動能算符時，H。表象就是動量表象。

在動量表象中的矩陣元用坐標為獨立變量寫出來，有李普曼-許溫格方程利用

及可以立刻得出因子

是因為現(xiàn)在的格林函數(shù)由式(7.23)決定，式中的勢場是U(r)。同樣的方法可用于討論負頻散射態(tài)和駐波解。結(jié)果是：對于負頻散射態(tài)，超前格林函數(shù)為相應的李普曼-許溫格方程為李普曼-許溫格方程對于駐波解，格林函數(shù)為由T矩陣可以直接求出微分散射截面。利用公式及式(7.15),可得從入射動量為

的狀態(tài)散射到立體角dΩ的態(tài)的躍遷速率為

是散射態(tài)粒子的動量，因子

是因為現(xiàn)在采用箱歸一化，按從求和變積分的變換式完成式(7.34)的積分，得李普曼-許溫格方程式(7.35)中，

,在入射粒子流中單位積內(nèi)找到一個粒子的概率是

是一個粒子單位時間內(nèi)入射到垂直于入射流的單位面積上的概率。因此微分散射截面為散射振幅為李普曼-許溫格方程03戴遜方程散射態(tài)的基本問題是求解李普曼-許溫格方程。求得

后，就可得出T矩陣和微分散射截面。為了更便于求出

,先將李普曼-許溫格方程式(7.20)寫成另外的形式。以

乘式(7.20)的兩端，并在方程的右端加一項

,再減一項

,后得這里特別注意式(7.20)和式(7.40)之間的區(qū)別。在式(7.20)中，分母是Ho,態(tài)是

,這是H的本征態(tài)。在式(7.40)中，分母是H,態(tài)是

,這是H,的本征態(tài)。將式(7.40)代入式(7.17),得當然，也可以用式(7.20)將

寫成另外的形式：戴遜方程寫成算符的形式后，即式(7.43)稱為戴遜(Dyson)方程。它既可以用算符的形式寫出，也可以用態(tài)的形式給出。由式(7.20),進行反復迭代后有波函數(shù)的戴遜方程式(7.44)是玻恩級數(shù)，它一直可以做到任意級。它的一級近似就是玻恩一級近似。事實上，由式(7.20),當入射波為平面波時，在箱歸一化下，有代入式(7.38)后，得這正是玻恩近似(參見閆學群《量子力學》)。利用形式解式(7.40),可以證明，散射態(tài)滿足正交歸一條件。由式(7.40)及厄密性得戴遜方程同理，還可證明另外，還要指出，所有正頻散射態(tài)

的集合構(gòu)成完備系；所有負頻散射態(tài)

的集合，也構(gòu)成另一個完備系。上面已經(jīng)給出了算符的戴遜方程式(7.43)和波函數(shù)的戴遜方程式(7.44)。還可以建立格林函數(shù)的戴遜方程。薛定諤方程的通解為戴遜方程

是相應的齊次方程的解，有以

作用于式(7.50)兩端，由式(7.49)～式(7.51)可見，

滿足的方程為定義勢場V存在時的格林函數(shù)

為則將式(7.53)寫成

,并利用無勢場時的格林函數(shù)方程

,得出即式(7.55)是格林函數(shù)的戴遜方程。它用無相互作用的格林函數(shù)

表示有相互作用的格林函數(shù)

。戴遜方程04散射矩陣(S矩陣)為了使散射理論的公式具有更明顯的對稱性，在量子力學和量子場論中用得更多的是散射矩

陣，或稱S矩陣。下面將看到：S矩陣和T矩陣一一對應，實質(zhì)上是完全一樣的，不過是換了一

種對稱更明顯的表述方式。由于

,是完備系，可以將

展開，有式(7.56)的右端不包含分立的束縛態(tài)，因為這些態(tài)都和

正交。由散射態(tài)的正交歸一條件得矩陣S稱為散射矩陣或簡稱S矩陣。由于H中屬于兩個不同能量本征值的本征函數(shù)正交，因此

在能量表象中必然是個對角矩陣。它總可以寫為

時無奇性的待定矩陣。現(xiàn)在來求S矩陣和T矩陣的關(guān)系。利用δ函數(shù)公式可將式(7.58)表示為散射矩陣(S矩陣)將式(7.20)、式(7.60)和式(7.29)代入式(7.56),整理化簡后得由于

線性無關(guān)，式(7.61)成立的條件是等式兩端這兩個因子前面的系數(shù)各自相等。由

的系數(shù)相等得式(7.63)給出了S矩陣和T矩陣的關(guān)系。若將入射波選為平面波，由式(7.63)和式(7.38)得式(7.64)表明，微分散射截面

成正比。另一方面，由

的系數(shù)相等得散射矩陣(S矩陣)用T矩陣的厄密性及式(7.61),可將式(7.65)寫成S矩陣具有下述性質(zhì)。1.幺正性S矩陣具有幺正性，滿足為證實式(7.69),利用定義式(7.57)得式(7.69)的第二式可用同樣方法證明。2.S矩陣和演化算符的關(guān)系為討論S矩陣和波函數(shù)演化算符的關(guān)系，我們來重新考慮躍遷概率振幅的公式(7.10)。在式(7.10)中，令

,得散射矩陣(S矩陣)比較式(7.71)及式(7.63)得按定義，演化算符U滿足

的物理意義是，它代表

時，初態(tài)為

,經(jīng)相互作用及演化算符作用后，至

時躍遷到末態(tài)

,的概率振幅，即式(7.75)表示，S矩陣對應的算符等于體系從

開始，經(jīng)散射后，演化到

的演化算符。算符S稱為幺正散射算符。它的矩陣元

表示若體系在

時處在無微擾的本征態(tài)w。,則經(jīng)過散射和相互作用后，在

時體系處在y,態(tài)的概率振幅。S矩陣與體系的性質(zhì)、體系的哈密頓算符有關(guān)，因為演化算符U決定于體系的哈密頓算符H。3.S矩陣的轉(zhuǎn)動不變性和分波法散射矩陣(S矩陣)對于揍力場，體系具有空間轉(zhuǎn)動不變性。當對整個體系做一個空間轉(zhuǎn)動時，初態(tài)動量和末態(tài)動量之間的夾角、散射振幅、微分散射截面不變，因此S矩陣具有空間轉(zhuǎn)動不變性。由于在空間轉(zhuǎn)動中，先轉(zhuǎn)過角度θ1，再轉(zhuǎn)過角度θ2與同時轉(zhuǎn)過角度θ1+θ2的結(jié)果相同，因此，轉(zhuǎn)動算符UR滿足轉(zhuǎn)動算符UR的一般形式為

是角動量，θ是轉(zhuǎn)角。S矩陣的轉(zhuǎn)動不變性可以表示為式(7.78)表示S矩陣只依賴于

之間的夾角，與

原來的方向無關(guān)。因此，S矩陣只能是能量和初、末態(tài)動量之間夾角的函數(shù)。對彈性散射，動量不變，S矩陣可寫成式(7.79)中

是待定系數(shù)，它可以由S矩陣的幺正性決定。對于連續(xù)譜，幺正條件式(7.69)為散射矩陣(S矩陣)將式(7.79)代入式(7.80)得將式(7.81)與δ函數(shù)的表示式相比較，準確到一個位相因子，得將式(7.83)代入式(7.79)后，得到S矩陣的表達式為注意從箱歸一化的式(7.64)過渡到連續(xù)譜的表達式(7.84)時，需乘上因子L3/(2π)3,即散射矩陣(S矩陣)比較式(7.84)和式(7.85),解出f(θ)后得這正是分波法的結(jié)果(參見閆學群《量子力學》)。由此得出結(jié)論：分波法的結(jié)果實際上是S矩陣具有幺正性和具有轉(zhuǎn)動不變性的推論。4.S矩陣的幺正性和光學定理將S矩陣的表達式(7.63)代入幺正性表達式(7.69)后，得出將T矩陣和散射振幅的關(guān)系式(7.38)代入式(7.86),并注意將求和變成積分需乘上L3/(2π)3因子，有在