2020-2021學(xué)年福建省福州市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（完卷時間：120分鐘；滿分：150分）友情提示：請將所有答案填寫到答題卡上！請不要錯位、越界答題！注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號、姓名?？忌J(rèn)真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號、姓名是否一致.2.第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。第Ⅱ卷用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上書寫作答.在試題卷上作答，答案無效.3.考試結(jié)束，考生必須持試題卷和答題卡一并交回一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.2.設(shè)，，分別為的三邊，，的中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.3.若，求（）A. B. C. D.4.某校新成立3個社團(tuán)，規(guī)定每位同學(xué)只能參加其中一個社團(tuán)，假定每位同學(xué)參加各個社團(tuán)的可能性相同，則該校甲、乙兩位同學(xué)參加同一個社團(tuán)的概率為（）A. B. C. D.5.已知復(fù)數(shù)，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.將曲線上各點(diǎn)的戰(zhàn)坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到的曲線，把向左平移個單位長度，得到曲線，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小正周期為B.是的一條對稱軸C.在上的圾大值為D.在上單調(diào)遞增7.在我國國旗的正五角星圖形中有許多黃金分割點(diǎn)，如圖所示的正五角星幾何圖形中，是頂角為的等腰三角形，，為線段上的兩個黃金分割點(diǎn)，則有.據(jù)此計(jì)算（）A. B. C. D.8.如圖所示的一個圓錐形的金瓜配件，重75.06克，其軸截面是一個等邊三角形，現(xiàn)將其打磨成一個體積最大的球形配件，則該形配件的重量約為（）A.34.37克 B.34.03克 C.33.36克 D.32.69克二、選擇題：本題共4小題，每小陋5分，共20分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村延設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：則下面結(jié)論中正確的是（）A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少了B.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍C.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半10.已知，是平面內(nèi)夾角為的兩個單位向量，向量在該平面內(nèi)，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.的最小值為11.在棱長為1的正方體中，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.與所成角為B.點(diǎn)到平面的距離為C.直線與平面所成角的正弦值為D.平面減正方體得到的截面圖形是梯形12.在中，角，，的對邊分別為，，，若，則以下結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中的橫線上.13.“幸福感指數(shù)”是某個人對自己目前生活狀態(tài)滿意程度的主觀指標(biāo)數(shù)值，常用區(qū)間內(nèi)的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意程度越高，現(xiàn)隨機(jī)抽取6位小區(qū)居民進(jìn)行調(diào)查，他們的“幸福感指數(shù)”分別為5，6，7，8，9，5，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是______.14.已知一個正六棱柱的所有頂點(diǎn)都在球面上，若正六棱柱的底面邊長與側(cè)棱長均為2，則這個球的表面積為_____.15.設(shè)向量，.若，，則______，向量在向量上的投影向量為______.16.某小微企業(yè)生產(chǎn)一種如下圖所示的電路子模塊：要求三個不同位置1，2，3接入三個不同的電子元件，，，它們正常工作的概率分別為0.9，0.8，0.7，假設(shè)接入三個位置的元件能否正常工作相互獨(dú)立，當(dāng)且僅當(dāng)3號位元件正常工作同時1號位與2號位元件中至少有一件正常工作時，電路子模塊才能正常工作，則該電路子模塊能正常工作的概率最大值為______.四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）如圖，在三棱錐中，，，平面平面.（1）求證：；（2）已知，，則棱上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.18.（12分）已知，，（1）求的值；（2）若，，求的值.19.（12分）2021年是“十四五”規(guī)劃開局之年，也是建黨100周年.為了傳承紅色基因，某學(xué)校開展了“學(xué)黨史，擔(dān)使命”的知識競賽.現(xiàn)從參賽的所有學(xué)生中，隨機(jī)抽取100人的成績作為樣本，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示.（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)該校此次競賽成績的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代表）；（2）若根據(jù)成績對該樣本進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法，從成績不低于75分的學(xué)生中隨機(jī)抽取7人查看他們的答題情況，再從這7人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行調(diào)查分析，求這2人中至少有1人成績在內(nèi)的概率.20.（12分）已知函數(shù).（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，研究的單調(diào)性；（2）若有唯一零點(diǎn)，求的值.21.（12分）如圖，是底部不可到達(dá)的一個建筑物，為建筑物的最高點(diǎn).某學(xué)習(xí)小組準(zhǔn)備了兩種工具：測角儀（可測量仰角與俯角）與米尺（測量長度）.請你利用準(zhǔn)備好的工具，設(shè)計(jì)一種測量建筑物高度的方案，包括：①指出要測量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并標(biāo)示在圖中）；②用文字和公式寫出計(jì)算的步驟.22.（12分）如圖，已知正四棱錐與正四面體所有的棱長均為.（1）若為的中點(diǎn)，證明：平面；（2）把正四面體與正四棱錐全等的兩個面重合，排成一個新的幾何體，問該幾何體由多少個面組成？并說明理由.福州市2020-2021年第二學(xué)期質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)參考答案及評分細(xì)則評分說明：1.本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)的評分細(xì)則。2.對計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半：如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分。3.解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。4.只給整數(shù)分?jǐn)?shù)。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.B 2.A 3.A 4.D 5.B6.B 7.C 8.C二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.9.BCD 10.BD 11.CD 12.AB三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.8 14. 15.13；或 16.0.84612.【解答】因?yàn)?，所以，故A正確；由余弦定理得，，所以，由正弦定理得，，所以，即，所以，所以或，因?yàn)?，若，可得，所以，又，所以，此時，，滿足，故B正確；當(dāng)，時，，故C錯誤；由B選項(xiàng)可知，故，即，故D錯誤。15.【解答】因?yàn)椋?，所以，向量在向量上的投影向量為?6.【解答】將，，型電子元件分別接入3號位，1號位，2號位，或者將，，型電子元件分別接入3號位，2號位，1號位時，該電路子模塊能正常工作的概率最大，記事件“元件正常工作”，事件“元件正常工作”，記事件“元件正常工作”，記事件“電路子模塊能正常工作”，則.四、解答題：本大題共6小題，共70分.17.【命題意圖】本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系；考查空間想象能力、邏輯推理能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想；考查直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)；體現(xiàn)基礎(chǔ)性和綜合性.【解答】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，，所以平面…?分因?yàn)槠矫?，所以，又，而，平面，平面，所以平?………………4分又因?yàn)槠矫妫?………………5分（2）存在點(diǎn)，滿足時，使得平面平面.………………6分理由如下：在平面內(nèi)，因?yàn)椋?，即，所?…………7分又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，同理可得平?…………9分又，平面，又平面，故平面平面.故存在點(diǎn)，滿足時，使得平面平面.………10分18.【命題意圖】本小題主要考查同角三角函數(shù)的關(guān)系、三角恒等變換等基礎(chǔ)知識；考查運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想；考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)；體現(xiàn)基礎(chǔ)性.【解答】解法一：（1）由，聯(lián)立可得，…………1分解得或，……3分又，，故不合題意，舍去.…………4分，………………5分于是，………………6分（2）由，，可得，…………7分所以.…………9分又因?yàn)?，，所以，所以，………?0分所以.………………12分解法二：（1）由，可知，所以…………2分即…………3分解得或。…………4分又，則，當(dāng)時，，，符合題意.當(dāng)，，，不合題意，舍去.………………5分綜上所述，…………6分（2）同解法一.……………12分19.【命題意圖】本小題主要考查頻率分布直方圖、數(shù)字特征、古典概型等基礎(chǔ)知識；考查運(yùn)算求解能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、必然與或然的思想；考查數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)；體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性.【解答】解法一：（1）由頻率分布直方圖可得，，解得.…2分樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：.…………5分（2）由頻率分布直方圖可知，成績在，內(nèi)的頻率分別為0.25，0.1，所以采用分層抽樣的方法從樣本中抽取的7人中，成績在內(nèi)的有5人，成績在的有2人.……7分從這7人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行調(diào)查分析，記事件“2人中至少有1人成績在內(nèi)”，事件“2人中恰有1人成績在內(nèi)”，事件“2人成績都在內(nèi)”，則.因?yàn)榕c互斥，所以根據(jù)互斥事件的概率加法公式，可得.將成績在內(nèi)的5個人分別記為，，，，，將成績在內(nèi)2個人分別記為，，設(shè)從這7人中第一次抽取的人記為，第二次抽取的人記為，則可用數(shù)組表示樣本點(diǎn).可知樣本空間，，，因?yàn)闃颖究臻g包含的樣本點(diǎn)個數(shù)為，…8分且每個樣本點(diǎn)都是等可能的，又因?yàn)?，，…?0分由古典概型公式可得………………12分解法二：（1）同解法一.………………5分（2）由頻率分布直方圖可知，成績在，內(nèi)的頻率分別為0.25，0.1，所以采用分成抽樣的方法從樣本中抽取的7人中，成績在內(nèi)的有5人，成績在的有2人……7分從這7人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行調(diào)查分析，記事件“2人中至少有1人成績在內(nèi)”，事件“2人中恰有1人成績在內(nèi)”，事件“2人成績都在內(nèi)”，則.因?yàn)榕c互斥，所以根據(jù)互斥事件的概率加法公式，可得.將成績在內(nèi)的5個人分別記為1，2，3，4，5，將成績在內(nèi)2個人分別記為6，7，設(shè)從這7人中抽取的2個人記為，，不妨設(shè)，則可用數(shù)組表示樣本點(diǎn).可知樣本空間，，因?yàn)闃颖究臻g包含的樣本點(diǎn)個數(shù)為，…………8分且每個樣本點(diǎn)都是等可能的，又因?yàn)椋?，……?0分由古典概型公式可得………………12分20.【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、函數(shù)與方程等基礎(chǔ)知識；考查邏輯推理能力、直觀想象能力、運(yùn)算求解能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想；考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)；體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性.【解答】解法一：（1）的定義域?yàn)?，對任意的，有，所以函?shù)為偶函數(shù)………1分考慮在上的單調(diào)性：，且，有…………2分…………4分由，得，，，于是，即，所以在上單調(diào)遞增.…………5分又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞減.綜上所述，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.…………6分（2）因?yàn)閷⒌膱D像向左平移1個單位得到，…7分對任意的，有，故是偶函數(shù).…………9分要使有唯一零點(diǎn)，即有唯一零點(diǎn)，而的圖像關(guān)于軸對稱，故，求得.………………11分由（1）可知，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，故可知有唯一零點(diǎn)0，符合題意，故………12分解法二：（1）同解法一………6分（2）因?yàn)?，所以，即為的對稱軸.………9分要使函數(shù)有唯一零點(diǎn)，所以的零點(diǎn)只能為，………10分即，解得…11分由（1）可知，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，故可知有唯一零點(diǎn)1，符合題意，故……12分21.【命題意圖】本小題主要考查正弦定理等基礎(chǔ)知識；考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想；考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)；體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、創(chuàng)新性、應(yīng)用性.【解答】解法一：①作圖如下…………3分選擇一條水平基線（如圖），使得，，三點(diǎn)在同一條直線上…4分在，兩點(diǎn)用測角儀測得的仰角分別為，.…………5分用米尺測得，即，測得測角儀的高度是.（若沒有做出，扣掉1分）………6分②在中，由正弦定理，可得，即，…………8分在中，有，…………10分所以建筑物的高度（若漏掉，扣一分）.………………12分解法二：①同解法一.…………6分②在，中分別有，，…………8分所以，所以.…………10分所以建筑物的高度（若漏掉，扣一分）.………………12分22.【命題意圖】本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系、平面與平面所成角等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力、邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想；考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)；體現(xiàn)基礎(chǔ)性和綜合性.【解答】解法一：（1）連接交于，連接，…………1分因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以……………2分又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?…………4分（2）因?yàn)椋?，，故為二面角的平面?…………6分因?yàn)椋?，所以由余弦定理可得，………?分取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，所以，，故為二面角的平面?…………9分因?yàn)?，由余弦定理可得?…………10分故，即二面角的平面角與二面角的平面角互補(bǔ)..........11分故當(dāng)與，與，與重合時，