第02講函數的單調性與最大（?。┲?．函數的單調性(1)單調函數的定義增函數減函數定義一般地，設函數f(x)的定義域為I，區(qū)間D?I，如果?x1，x2∈D當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱函數f(x)在區(qū)間D上單調遞增，特別地，當函數f(x)在它的定義域上單調遞增時，我們就稱它是增函數當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱函數f(x)在區(qū)間D上單調遞減，特別地，當函數f(x)在它的定義域上單調遞減時，我們就稱它是減函數圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調區(qū)間的定義如果函數y＝f(x)在區(qū)間D上單調遞增或單調遞減，那么就說函數y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調區(qū)間．2．函數的最值前提設函數y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足條件(1)?x∈I，都有f(x)≤M；(2)?x0∈I，使得f(x0)＝M(1)對于?x∈I，都有f(x)≥M；(2)?x0∈I，使得f(x0)＝M結論M為最大值M為最小值一．確定函數的單調性命題點1求具體函數的單調區(qū)間例1．（1）函數的單調遞減區(qū)間為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】先考慮函數的定義域，再根據復合函數的單調性的判斷方法可求函數的單調減區(qū)間.【詳解】錯解：令，是有，而在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，根據復合函數同增異減的原則可知：在上單調遞減，即其減區(qū)間為.故選：A.錯因：沒有考慮函數的定義域.正解：由可得或，故函數的定義域為.令，是有，而在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，根據復合函數同增異減的原則可知：在上單調遞減，即其減區(qū)間為.故選：D（2）函數的單調遞增區(qū)間是()A． B．和C．和 D．和【答案】B【分析】結合絕對值的含義與二次函數的性質，可畫出函數的圖象，即可求出函數的單調遞增區(qū)間.【詳解】，當或時，；當時，，如圖所示，函數的單調遞增區(qū)間是和.故選B.【點睛】本題考查了二次函數的性質，考查了函數的單調性，屬于基礎題.（3）函數y＝x2(x－3)的單調遞減區(qū)間是()A．(－∞，0)B．(2，＋∞)C．(0，2)D．(－2，2)【答案】C【分析】根據導函數與函數單調性的關系，令y'＜0，解出x的范圍即可．【詳解】∵y=x2（x﹣3）=x3﹣3x2，∴y′=3x2﹣6x，∴令3x2﹣6x＜0

得0＜x＜2，故函數的單調遞減區(qū)間是（0，2）．故選C．【點睛】本題主要考查用導數求函數的單調區(qū)間的問題，屬于基礎題.（4）函數得單調遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】外層函數是減函數，求內層函數的單調減區(qū)間，還要注意定義域.【詳解】令：

單調遞減區(qū)間是故選D【點睛】本題考查指數函數單調性與復合函數單調性的判斷，復合函數的單調性判斷方法：同增異減，但要注意定義域的確定.（5）函數的單調遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先考慮對數的真數取值大于；其次將函數拆成外層函數和內層函數，根據求復合函數單調性的法則：同增異減，判斷出單調增區(qū)間；最后即可求得的單調增區(qū)間.【詳解】由可得或∵在單調遞增，而是增函數，由復合函數的同增異減的法則可得，函數的單調遞增區(qū)間是，故選D.【復習指導】：(1)函數單調區(qū)間的兩種求法①圖象法．即先畫出圖象，根據圖象求單調區(qū)間．②定義法．即先求出定義域，再利用定義法進行判斷求解．(2)函數的單調性是在定義域內的某個區(qū)間上的性質，單調區(qū)間是定義域的子集；當函數出現兩個以上單調區(qū)間時，單調區(qū)間之間可用“，”分開，不能用“∪”，可以用“和”來表示；在單調區(qū)間D上函數要么是增函數，要么是減函數，不能二者兼有．(3)復合函數單調性的判斷方法：同增異減.（同：內外層函數單調性相同時，整個函數為增函數；異：內外層函數單調性不同時，整個函數為減函數）.命題點2判斷或證明函數的單調性例2．（1）已知函數的定義域是，若對于任意兩個不相等的實數，，總有成立，則函數一定是（

）A．奇函數 B．偶函數 C．增函數 D．減函數【答案】C【分析】利用函數單調性定義即可得到答案.【詳解】對于任意兩個不相等的實數，，總有成立，等價于對于任意兩個不相等的實數，總有.所以函數一定是增函數.故選：C（2）已知函數．=1\*GB3①用定義法證明:在上單調；=2\*GB3②求在上的最大值與最小值．【答案】=1\*GB3①證明見解析；=2\*GB3②，.【分析】=1\*GB3①利用單調性的定義證明，首先設，然后作差，然后判斷正負，即可證明單調性；=2\*GB3②根據=1\*GB3①證明的單調性，求函數的最值.【詳解】=1\*GB3①證明：設，由已知，故，則，故在上單調遞增=2\*GB3②由=1\*GB3①可知在上單調遞增，故當時，（3）已知函數．=1\*GB3①試判斷函數在區(qū)間上的單調性，并用函數單調性定義證明；=2\*GB3②對任意時，都成立，求實數的取值范圍．【答案】=1\*GB3①在上單調遞減，證明見解析；=2\*GB3②.【分析】=1\*GB3①利用單調性定義：設并證明的大小關系即可.=2\*GB3②由=1\*GB3①及函數不等式恒成立可知：在已知區(qū)間上恒成立，即可求的取值范圍．【詳解】=1\*GB3①函數在區(qū)間上單調遞減，以下證明：設，∵，∴，，，∴，∴在區(qū)間上單調遞減；=2\*GB3②由=1\*GB3①可知在上單調減函數，∴當時，取得最小值，即，對任意時，都成立，只需成立，∴，解得：．（4）試討論函數f(x)＝eq\f(ax,x－1)(a≠0)在(－1,1)上的單調性．【詳解】方法一設－1<x1<x2<1，f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1＋1,x－1)))＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x－1)))，f(x1)－f(x2)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x1－1)))－aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2－1)))＝eq\f(ax2－x1,x1－1x2－1)，由于－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，故當a>0時，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函數f(x)在(－1,1)上單調遞減；當a<0時，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函數f(x)在(－1,1)上單調遞增．方法二f′(x)＝eq\f(ax′x－1－axx－1′,x－12)＝eq\f(ax－1－ax,x－12)＝－eq\f(a,x－12).當a>0時，f′(x)<0，函數f(x)在(－1,1)上單調遞減；當a<0時，f′(x)>0，函數f(x)在(－1,1)上單調遞增．（5）已知a>0，函數f(x)＝x＋eq\f(a,x)(x>0)，證明：函數f(x)在(0，eq\r(a)]上單調遞減，在[eq\r(a)，＋∞)上單調遞增．【詳解】方法一(定義法)設x1>x2>0，f(x1)－f(x2)＝x1＋eq\f(a,x1)－x2－eq\f(a,x2)＝(x1－x2)＋eq\f(ax2－x1,x1x2)＝eq\f(x1－x2x1x2－a,x1x2)，∵x1>x2>0，∴x1－x2>0，x1x2>0，當x1，x2∈(0，eq\r(a)]時，0<x1x2<a，∴x1x2－a<0，∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(0，eq\r(a)]上單調遞減，當x1，x2∈[eq\r(a)，＋∞)時，x1x2>a，∴x1x2－a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[eq\r(a)，＋∞)上單調遞增．方法二(導數法)f′(x)＝1－eq\f(a,x2)＝eq\f(x2－a,x2)(x>0)，令f′(x)>0?x2－a>0?x>eq\r(a)，令f′(x)<0?x2－a<0?0<x<eq\r(a)，∴f(x)在(0，eq\r(a)]上單調遞減，在[eq\r(a)，＋∞)上單調遞增．（6）已知定義域為，對任意都有，當時，，.=1\*GB3①求和的值；=2\*GB3②試判斷在上的單調性，并證明；=3\*GB3③解不等式：.【答案】=1\*GB3①，；=2\*GB3②見解析；=3\*GB3③【分析】=1\*GB3①令代入，即可求出；令代入，即可求出；=2\*GB3②根據函數單調性的定義，結合題中條件，即可判斷出結果；=3\*GB3③根據題意，將原不等式化為，再由（2）的結果，即可求出不等式的解集.【詳解】=1\*GB3①因為對任意都有，所以，令，則，所以；令，則，因為，所以；=2\*GB3②任取，則，，當時，，，在上單調遞減；=3\*GB3③因為，所以原不等式可化為；即，由（2）可得，解得或；即原不等式的解集為.【點睛】本題主要考查賦值法求函數值，抽象函數單調性的判定，以及根據函數單調性解不等式等問題，熟記函數單調性的定義即可，屬于?？碱}型.【復習指導】：確定函數單調性的四種方法(1)定義法：利用定義判斷或證明函數單調性的步驟：(2)導數法：適用于初等函數、復合函數等可以求導的函數．(3)圖象法：由圖象確定函數的單調區(qū)間需注意兩點：一是單調區(qū)間必須是函數定義域的子集；二是圖象不連續(xù)的單調區(qū)間要分開寫，用“和”或“，”連接，不能用“∪”連接．(4)性質法：利用函數單調性的性質，尤其是利用復合函數“同增異減”的原則時，需先確定簡單函數的單調性．二．函數單調性的應用命題點1比較函數值的大小例3．（1）已知對定義域內的任意實數，且，恒成立，設，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由增函數的定義知，在上是增函數，即可得出的大小.【詳解】由可得函數在上是增函數，所以.故選：D.（2）已知函數，若，則（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由函數解析式可知是上的減函數，可得出，，，然后即可得出，，的大小關系，進而得出，，的大小關系．【詳解】解：是上的減函數，是上的減函數，是上的減函數，，，，，．故選：．（3）已知函數，,若，則a,b,c的大小關系為（

）A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．b<c<a【答案】C【分析】由題意可得為奇函數，且在上單調遞增，進而判斷出為偶函數，且在上遞增，即可比較大小.【詳解】解：依題意，有，則為奇函數，且在上單調遞增，所以為偶函數．當時，有，任取，則，由不等式的性質可得，即，所以，函數在上遞增，因此，，故選：C．【點睛】本題考查函數值大小的比較，考查函數的單調性與奇偶性的應用，考查推理與轉化能力，屬于中檔題.（4）已知，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據題意，構造函數，利用函數單調性比較大小即可.【詳解】令，所以所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，因為，，，所以，即.故選：C（5）函數是上的減函數，若，，，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】首先判斷，和的大小關系，然后根據函數的單調性，判斷的大小關系.【詳解】，，，，，，是上的減函數，.故選：A.【點睛】本題考查利用函數的單調性比較大小，重點考查指對數比較大小，屬于簡單題型.（6）(2020·全國Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，則()A．a>2bB．a<2bC．a>b2D．a<b2【答案】B【詳解】由指數和對數的運算性質可得2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.令f(x)＝2x＋log2x，則f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，又∵22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log22b，∴2a＋log2a<22b＋log22b，即f(a)<f(2b)，∴a<2b.[高考改編題]已知2a＋log2a>4b＋2log4b＋1，則()A．a>2b B．a<2bC．a<b2 D．a>b2【答案】A【詳解】4b＋2log4b＋1＝22b＋＋1＝22b＋log2b＋1＝22b＋log22b，∴2a＋log2a>22b＋log22b，∵函數f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上為增函數，∴a>2b.【復習指導】：（1）比較大小是高考常見題，指數式、對數式的比較大小要結合指數函數、對數函數，借助指數函數和對數函數的圖象，利用函數的單調性進行比較大小，特別是靈活利用函數的奇偶性和單調性數形結合，不僅能比較大小，還可以解不等式.（2）觀察比較各個函數值的特點，合理構造新函數，利用導數研究其單調性，進而比較函數值的大小.（3）作商比較法，即對兩值作商，根據其值與1的大小關系，從而確定所比值的大?。斎灰话闱闆r下，這兩個值最好都是正數．作差比較法是比較兩個數值大小的較常用的方法，即對兩值作差，看其值是正還是負，從而確定所比值的大?。?）比較大小時要注意利用函數的性質把自變量的取值都化到同一個單調區(qū)間內.（5）可利用中間量大小比較同一區(qū)間的取值.命題點2求函數的最值例4．（1）函數在區(qū)間上的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用換元法以及對勾函數的單調性求解即可．【詳解】設，則問題轉化為求函數在區(qū)間上的最大值．根據對勾函數的性質，得函數在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，所以．故選：B（2）若，不等式恒成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C．{a|a＞1} D．【答案】D【分析】將已知轉化為，，利用函數的單調性求最值即可得解.【詳解】由于，不等式恒成立所以，恒成立，即恒成立令，顯然在上單調遞減，所以實數a的取值范圍是故選：D【點睛】方法點睛：本題考查不等式的恒成立問題，不等式恒成立問題常見方法：①分離參數恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數形結合(圖像在上方即可)；③討論最值或恒成立.（3）函數f(x)＝x－log2(x＋2)在區(qū)間[－1,1]上的最大值為________．【答案】3【詳解】與y=－log2(x＋2)都是[1，1]上的減函數，所以函數f(x)＝－log2(x＋2)在區(qū)間[1，1]上的減函數，∴最大值為：f（1）=3故答案為3．（4）函數的值域是__________【答案】【分析】由根式內部的代數式大于等于0求出函數的定義域,再由函數的單調性求得答案.【詳解】由,得，又在上的增函數,在上也是增函數,

在上是增函數,

則函數的值域為故答案為:（5）若函數的值域是，則函數的值域是________.【答案】【分析】由給定條件求出的值域，換元借助對勾函數性質即可得解.【詳解】因函數的值域是，從而得函數值域為，函數變?yōu)?，，由對勾函數的性質知在上遞減，在上遞增，時，，而時，，時，，即，所以原函數值域是.故答案為：【復習指導】：(1)若函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞增，則f(x)的最大值為f(b)，最小值為f(a)．(2)若函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞減，則f(x)的最大值為f(a)，最小值為f(b)．(3)若函數y＝f(x)有多個單調區(qū)間，那就先求出各區(qū)間上的最值，再從各區(qū)間的最值中決定出最大(小)值．函數的最大(小)值是整個值域范圍內的最大(小)值．(4)如果函數定義域為開區(qū)間，則不但要考慮函數在該區(qū)間上的單調性，還要考慮端點處的函數值或者發(fā)展趨勢．(5)圖象法求函數最值的一般步驟：(6)求函數值域（最值）的一般方法：=1\*GB3①分離常數法；=2\*GB3②配方法；=3\*GB3③不等式法；=4\*GB3④單調性法；=5\*GB3⑤換元法；=6\*GB3⑥數形結合法（圖像法）；=7\*GB3⑦導數法．命題點3解函數不等式例5．（1）已知是定義在上的單調遞減函數，且，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據函數自變量的定義域以及函數單調遞減列式，求出a的取值范圍.【詳解】∵是定義在上的單調遞減函數，且，則，解得故選：D..（2）已知定義在上的奇函數在上單調遞增，且，若實數x滿足，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據函數的奇偶性和單調性得到函數在上單調遞增，且，從而得到，，，，，，，，再分類討論解不等式即可.【詳解】因為奇函數在上單調遞增，定義域為，，所以函數在上單調遞增，且.所以，，，，，，，.因為，當時，，即或，解得.當時，符合題意.當時，，或，解得.綜上：或.故選：A（3）已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3，x≤0，,lnx＋1，x>0，))若f(2－x2)>f(x)，則實數x的取值范圍是________．【答案】(－2,1)【詳解】根據函數f(x)的圖象(圖略)可知，f(x)是定義在R上的增函數．∴2－x2>x，∴－2<x<1.（4）若函數是奇函數，且在定義域R上是減函數，，不等式的解集是______.【答案】【分析】首先根據函數是奇函數，求，再利用函數的單調性解不等式.【詳解】若函數是奇函數，且在定義域R上是減函數，，可得，則不等式即為，可得，解得，所以不等式的解集為.故答案為：.（5）已知函數在定義域上是偶函數，在上單調遞減，并且，則的取值范圍是______.【答案】.【分析】根據函數定義域的對稱性求出,再利用函數的單調性及偶函數得到不等式，求解即可.【詳解】因為函數在定義域上是偶函數，所以，解得，所以可得又在上單調遞減，所以在上單調遞增,因為，所以由可得，解得.故的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了偶函數的定義域，偶函數的單調性，不等式的解法，屬于難題.【復習指導】：求解函數不等式的方法：1．解函數不等式的依據是函數的單調性的定義，具體步驟：①將函數不等式轉化為的形式；②根據函數的單調性去掉對應法則“”轉化為具體的不等式(組)，此時要注意與的取值應在外層函數的定義域內.2．=1\*GB3①若單調遞增，則；=2\*GB3②若單調遞減，則；=3\*GB3③若是偶函數，且在上單調遞增，根據偶函數圖像關于y軸對稱可知，距離遠點越遠的點，函數值越大，把轉化為，解絕對值不等式即可。3．利用函數的圖象研究不等式，當不等式問題不能用代數法求解但其與函數有關時，常將不等式問題轉化為兩函數的圖象上、下關系問題，從而利用數形結合求解.命題點4求參數的取值范圍例6．（1）函數在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】先求出拋物線的對稱軸，而拋物線的開口向下，且在區(qū)間上單調遞增，所以，從而可求出的取值范圍【詳解】解：函數的圖像的對稱軸為，因為函數在區(qū)間上單調遞增，所以，解得，所以的取值范圍為，故選：D（2）已知函數是定義域R上的減函數，則實數a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據分段函數單調性的性質建立不等式關系進行求解.【詳解】若f（x）是定義域（∞，+∞）上的減函數，則滿足即，整理得.故選B【點睛】本題考查了分段函數單調性的應用，根據分段函數的性質建立不等式是解決本題的關鍵.（3）若函數在區(qū)間上單調遞減，則實數a的取值范圍是（

）A．(1，2） B． C．(2，1) D．【答案】A【分析】將化為，再由單調區(qū)間可得答案.【詳解】，因其在上單調遞減，則，得.故選：A（4）已知函數f(x)＝e|x－a|(a為常數)，若f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上單調遞增，則a的取值范圍是________．【答案】(－∞，1]【詳解】令t＝|x－a|，∴y＝et，t＝|x－a|在(－∞，a]上單調遞減，在[a，＋∞)上單調遞增，又y＝et為增函數，∴f(x)＝e|x－a|在(－∞，a]上單調遞減，在[a，＋∞)上單調遞增，∴a≤1.（5）已知是定義在R上的偶函數，且在區(qū)間滿足，則的取值范圍是______.【答案】【詳解】由題意在上單調遞減，又是偶函數，則不等式可化為，則，，解得．【復習指導】：利用單調性求參數．①依據函數的圖象或單調性定義，確定函數的單調區(qū)間，與已知單調區(qū)間比較．②需注意若函數在區(qū)間[a，b]上單調，則該函數在此區(qū)間的任意子區(qū)間上也單調．③分段函數的單調性，除注意各段的單調性外，還要注意銜接點的取值．1．函數的單調遞增區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】D【詳解】由>0得：x∈(?∞,?2)∪(4,+∞)，令t=，則y=lnt，∵x∈(?∞,?2)時,t=為減函數；x∈(4,+∞)時,t=為增函數；y=lnt為增函數，故函數f(x)=ln()的單調遞增區(qū)間是(4,+∞)，故選D.點睛：形如的函數為,的復合函數，為內層函數,為外層函數.當內層函數單增，外層函數單增時，函數也單增；當內層函數單增，外層函數單減時，函數也單減；當內層函數單減，外層函數單增時，函數也單減；當內層函數單減，外層函數單減時，函數也單增.簡稱為“同增異減”.2．函數的單調遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據給定的函數，借助二次函數分段討論其單調性作答.【詳解】當時，，則函數在上單調遞增，在上單調遞減，當時，，則函數在上單調遞增，所以函數的單調遞減區(qū)間是.故選：A3．函數的單調遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出定義域，在利用二次函數單調性判斷出結果.【詳解】函數的定義域需要滿足，解得定義域為，因為在上單調遞增，所以在上單調遞增，故選：D.4．下列函數中，滿足“”的單調遞增函數是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】試題分析：由于，所以指數函數滿足，且當時單調遞增，時單調遞減，所以滿足題意，故選D．考點：冪函數、指數函數的單調性．5．已知偶函數的定義域為R，當時，單調遞增，則，，的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據偶函數的性質，結合單調性即可選出答案.【詳解】因為為偶函數，所以，．又當時，單調遞增，且，所以，即．故選：B．6．已知定義在上的偶函數，對任意不相等的，有，當時，有（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知不等式得函數在上的單調性，再由偶函數性質得在上的單調性，結合偶函數性質得距離軸越遠的自變量的函數值越小，從而可得結論．【詳解】由題意，函數在區(qū)間上單調遞增，函數圖象關于軸對稱，所以函數在上單調遞減；又，，距離軸越遠的自變量的函數值越小，則，故選：C.【點睛】本題考查的奇偶性與單調性，利用奇偶性性質得函數在關于軸對稱區(qū)間上的單調性，從而可比較函數值大?。?．已知，，，則，，的大小關系是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】若對數式的底相同，直接利用對數函數的性質判斷即可，若底不同，則根據結構構造函數，利用函數的單調性判斷大小．【詳解】對于的大?。?，，明顯；對于的大?。簶嬙旌瘮?，則，當時，在上單調遞增，當時，在上單調遞減，即對于的大?。?，，，故選B．【點睛】將兩兩變成結構相同的對數形式，然后利用對數函數的性質判斷，對于結構類似的，可以通過構造函數來來比較大小，此題是一道中等難度的題目．8．已知，，，則以下不等式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由于，所以構造函數，然后利用導數判斷函數的單調性，再利用單調性比較大小即可【詳解】，，，令，則，當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞減，因為，所以，，因為，所以，所以故選：C9．已知定義在R上的函數滿足為偶函數，若在內單調遞減．則下面結論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先得到函數的周期為6，利用為偶函數，得到，將化成，再比較的大小關系，最后利用函數的單調性得到的大小關系.【詳解】因為，所以的最小正周期，因為為偶函數，所以，所以，因為，，且在(0，3)內單調遞減，所以.故選A.【點睛】本題考查函數的周期性、奇偶性、單調性的綜合運用，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時要注意利用函數的性質把自變量的取值都化到同一個單調區(qū)間內.10．已知，，，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】借助函數的單調性，可得解【詳解】由題意，構造函數，由指數函數和冪函數的性質，可知兩個函數在單調遞增；由于；由于；綜上：故選：A11．已知，，，則，，的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用冪函數和指數函數的性質比較大小即可【詳解】∵，，∴．故選：C．12．設的定義域為R，圖象關于y軸對稱，且在上為增函數，則，，的大小順序是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由圖象的對稱得函數是偶函數，這樣可把自變量的值都化為正數，然后利用已知增函數的定義得出函數值的大?。驹斀狻俊叩亩x域為R，圖象關于y軸對稱，∴是偶函數，∴，又在上為增函數，且，∴，∴．故選：B．【點睛】本題考查函數的奇偶性與單調性，利用偶函數的定義把自變量化到同一單調區(qū)間上，然后由單調性得出大小關系．13．若函數為偶函數，對任意的，且，都有，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意可得函數在上遞減，且關于對稱，則，利用作差法比較三者之間的大小關系，再根據函數的單調性即可得解.【詳解】解：由對，且，都有，所以函數在上遞減，又函數為偶函數，所以函數關于對稱，所以，又，因為，所以，因為，所以，所以，所以，即.故選：A.14．若，則的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題設，，，構造，利用導數研究其單調性，進而判斷的大小.【詳解】由題設知：，，，令，則，易知上單調遞增，上單調遞減，即，∴.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：構造，利用導數研究其單調性，進而比較函數值的大小.15．定義域為R的函數滿足:對任意的，有，則有（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用函數的單調性，判斷選項即可．【詳解】定義域在上的函數滿足：對任意的，，有，可得函數是定義域在上的增函數，所以（1）（3）．故選：．16．函數，的值域是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】先判斷函數的單調性，再根據函數的單調性求函數的值域即可【詳解】任取，且，則，當，且時，，，所以，即，當，且時，，，所以，即，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，因為，所以，所以在上的值域為故選：A17．已知是定義在上的單調函數，是上的單調減函數，且，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】是定義在上的單調函數可推知，表示出，再作商法，運用換底公式變形，比較出的大小即可求解.【詳解】由已知得，則，所以，，，所以，則，，則，所以．又因為是上的單調減函數，所以故選：B．【點睛】作商比較法，即對兩值作商，根據其值與1的大小關系，從而確定所比值的大?。斎灰话闱闆r下，這兩個值最好都是正數．作差比較法是比較兩個數值大小的最常用的方法，即對兩值作差，看其值是正還是負，從而確定所比值的大小．18．設是定義域為的偶函數，且在單調遞減，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知函數為偶函數，把，轉化為同一個單調區(qū)間上，再比較大小．【詳解】是R的偶函數，．，又在(0，+∞)單調遞減，∴，，故選C．【點睛】本題主要考查函數的奇偶性、單調性，解題關鍵在于利用中間量大小比較同一區(qū)間的取值．19．已知奇函數在上是增函數，若，，，則的大小關系為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意：，且：，據此：，結合函數的單調性有：，即.本題選擇C選項.【考點】指數、對數、函數的單調性【名師點睛】比較大小是高考常見題，指數式、對數式的比較大小要結合指數函數、對數函數，借助指數函數和對數函數的圖象，利用函數的單調性進行比較大小，特別是靈活利用函數的奇偶性和單調性數形結合不僅能比較大小，還可以解不等式.20．若定義在的奇函數f(x)在單調遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先根據函數奇偶性與單調性，得到函數在相應區(qū)間上的符號，再根據兩個數的乘積大于等于零，分類轉化為對應自變量不等式，最后求并集得結果.【詳解】因為定義在上的奇函數在上單調遞減，且，所以在上也是單調遞減，且，，所以當時，，當時，，所以由可得：或或解得或，所以滿足的的取值范圍是，故選：D.【點睛】本題考查利用函數奇偶性與單調性解抽象函數不等式，考查分類討論思想方法，屬中檔題.21．定義在上的奇函數在上單調遞減，若，則滿足的的取值范圍是（

）.A．B．C．D．【答案】D【解析】由函數為奇函數且在單調遞減，求得，結合函數的單調性，把不等式轉化為，得到，即可求解.【詳解】由題意，函數為奇函數且在單調遞減，因為，可得，要使不等式成立，即成立，則實數滿足，解得，所以實數的取值范圍為.故選：D.【點睛】本題主要考查了函數的奇偶性和單調性的應用，其中解答中結合函數的單調性和奇偶性合理轉化為是解答的關鍵，著重考查推理與運算能力.22．已知函數，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由分段函數表達式，判斷其單調性，利用單調性，求解不等式．【詳解】根據題目所給的函數解析式，可知函數在上是減函數，所以，解得．故選：B23．定義在R上的偶函數在上單調遞增，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】結合函數的單調性與奇偶性解不等式即可.【詳解】義在R上的偶函數在上單調遞增，且，所以在上單調遞減，且，或，故或，故選：C24．已知，，若成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由奇偶性的定義得出函數為偶函數，利用導數知函數在區(qū)間上為增函數，由偶函數的性質將不等式變形為，利用單調性得出，從而可解出實數的取值范圍.【詳解】函數的定義域為，關于原點對稱，，函數為偶函數，當時，，，則函數在上為增函數，由得，由偶函數的性質得，由于函數在上為增函數，則，即，整理得，解得，因此，實數的取值范圍是，故選B.【點睛】本題考查函數不等式的求解，解題的關鍵在于考查函數的奇偶性與單調性，充分利用偶函數的性質來求解，可簡化計算，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.25．已知定義在上的偶函數，且當時，單調遞減，則關于x的不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據具有奇偶性的定義域關于原點對稱，求得的值，把不等式轉化為，根據單調性和定義域，得出相應的不等式組，即可求解.【詳解】由題意，定義在上的偶函數，可得，解得，即函數的定義域為，又由函數當時，單調遞減，則不等式可化為，可得不等式組，解得，即不等式的解集為.故選：D.26．已知函數，對于上任意兩個不相等實數，不等式恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題知函數在上單調遞減，再利用分段函數的單調性列出不等式組，即可求解.【詳解】對于上任意兩個不相等實數，不等式恒成立，可知函數在上單調遞減，則，解得所以實數的取值范圍為故選：B27．已知是上的單調函數，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據的解析式判斷出在上為減函數，從而得，求解即可．【詳解】解：因為當時，為減函數，又因為在上為單調函數，所以只能為單調遞減函數，當時，一次函數單調遞減，當時，指數函數，所以將代入得：，又因為在上為單調遞減函數，所以，解得：，故選：D．28．已知是R上的減函數，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】需滿足每段函數單調遞減，要注意端點值處，左邊函數的函數值大于等于右邊函數的函數值.【詳解】由于是R上的減函數，則需滿足，即，解得，故選：B.29．設奇函數在上為增函數，且，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由f(x)為奇函數可知，＝<0.而f(1)＝0，則f(－1)＝－f(1)＝0.當x>0時，f(x)<0＝f(1)；當x<0時，f(x)>0＝f(－1)．又∵f(x)在(0，＋∞)上為增函數，∴奇函數f(x)在(－∞，0)上為增函數．所以0<x<1，或－1<x<0.選D30．設函數,則使成立的的取值范圍是()A．B．C．D．【答案】A【詳解】試題分析：，定義域為，∵，∴函數為偶函數，當時，函數單調遞增，根據偶函數性質可知：得成立，∴，∴，∴的范圍為故答案為A.考點：抽象函數的不等式.【思路點晴】本題考查了偶函數的性質和利用偶函數圖象的特點解決實際問題，屬于基礎題型，應牢記．根據函數的表達式可知函數為偶函數，根據初等函數的性質判斷函數在大于零的單調性為遞增，根據偶函數關于原點對稱可知，距離原點越遠的點，函數值越大，把可轉化為，解絕對值不等式即可．31．已知函數，滿足對任意x1≠x2，都有0成立，則a的取值范圍是（）A．a∈(0,1) B．a∈[,1) C．a∈(0,] D．a∈[,2)【答案】C【分析】根據條件知在R上單調遞減，從而得出，求a的范圍即可．【詳解】∵滿足對任意x1≠x2，都有0成立，∴在R上是減函數，∴，解得，∴a的取值范圍是．故選：C．32．已知函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（

）A．，， B．C．，， D．，，【答案】C【分析】先用分離常數法得到，由單調性列不等式組，求出實數的取值范圍.【詳解】解：根據題意，函數，若在區(qū)間上單調遞減，必有，可解得：或，即的取值范圍為，，，故選：C．33．若函數，是定義在上的減函數，則的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】本題根據減函數的定義再結合一次函數的性質直接求解即可.【詳解】因為函數是定義在上的減函數，所以，解得.故選：A.【點睛】本題考查減函數的定義，一次函數的性質，是基礎題.34．定義在上的偶函數滿足：對任意的，有，則、、的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知條件得出單調性，再由偶函數把自變量轉化到同一單調區(qū)間上，由單調性得結論．【詳解】因為對任意的，有，所以當時，，所以在上是減函數，又是偶函數，所以，，因為，所以，即．故選：D．【點睛】本題考查函數的單調性與奇偶性，解題方法是利用奇偶性化自變量為同一單調區(qū)間，利用單調性比較大?。?5．已知函數滿足，且對任意的，都有，則滿足不等式的的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】可化為，構造函數，再結合奇偶性可知該函數在R上單調遞增，又將所求不等式變形，即可由單調性解該抽象不等式.【詳解】根據題意可知，可轉化為，所以在[0，+∞)上是增函數，又，所以為奇函數，所以在R上為增函數，因為，，所以，所以，解得，即x的取值范圍是.故選：A.【關鍵點點睛】本題的關鍵是將不等式化為，從而構造函數，再根據奇偶性和單調性解抽象不等式.36．(多選)若函數在上是單調函數，則的值可能是（

）A． B． C． D．2【答案】BCD【分析】依題意可得在上單調遞增，即可得到，解得即可.【詳解】解：因為函數在上是單調函數，當時，函數在上單調遞增，所以在上單調遞增，所以，解得，即，故符合題意的有B、C、D；故選：BCD37．函數f(x)=lg()的單調增區(qū)間____________.【答案】【分析】令t=＞0，求得函數的定義域，根據y=g（t）=lgt，本題即求函數t在定義域內的增區(qū)間，再利用二次函數的性質，得出結論．【詳解】令t=＞0，求得0＜x＜2，故函數的定義域為{x|0＜x＜2}，根據y=g（t）=lgt，本題即求函數t在定義域內的增區(qū)間，再利用二次函數的性質求得函數t在定義域內的增區(qū)間為，故答案為：．【點睛】本題主要考查復合函數的單調性，對數函數、二次函數的性質，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．38．寫出函數的單調遞增區(qū)間__________．【答案】和【分析】先化簡函數函數得，再畫出函數的圖像得到函數的單調遞增區(qū)間.【詳解】由題意，函數，作出函數的圖象如圖所示：由圖象知，函數的單調遞增區(qū)間是和．故答案為和【點睛】(1)本題主要考查函數圖像的作法和函數的單調區(qū)間的求法，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關鍵是準確畫出函數的圖像.39．函數在區(qū)間上的最小值為__________．【答案】【分析】對函數進行分子常數化，結合函數的單調性即可求得最小值.【詳解】∵函數∴函數在區(qū)間上為單調增函數∴當時，函數取得最小值，為.故答案為：.40．已知函數為定義在上的奇函數，滿足對，，其中，都有，且，則不等式的解集為________（寫成集合或區(qū)間的形式）【答案】【分析】根據題意構造，判定函數的單調性和奇偶性，利用賦值法得到，再通過單調性和奇偶性求得不等式的解集.【詳解】解：因為，所以當時，，令，則在上單調遞增，又因為為定義在R上的奇函數,所以，所以是偶函數，且在上單調遞減，因為，所以，等價于或，所以或，即不等式的解集為.故答案為：.41．若函數在區(qū)間上是減函數，則實數a的取值范圍是___________.【答案】【分析】根據二次函數的單調性，列出不等式，求解即可.【詳解】根據題意，，解得，故實數的取值范圍為.故答案為：.42．冪函數在上是減函數，則實數的值為______.【答案】1【分析】根據冪函數的定義及冪函數的單調性，即可求解.【詳解】由冪函數知，得或.當時，在上是增函數，當時，在上是減函數，∴.故答案為【點睛】本題主要考查了冪函數的定義及單調性，屬于中檔題.43．已知函數為上的奇函數，且當時，.(1)求的解析式；(2)解不等式.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據函數的奇偶性求得的解析式.（2）根據函數的奇偶性、單調性化簡不等式，從而求得不等式的解集.【詳解】（1）是定義在上的奇函數，所以，當時，，所以.所以.（2）由于二次函數的開口向上，對稱軸為，所以在上遞增，故在上遞增，由，得，所以，所以不等式的解集為.44．已知函數，其中．解關于x的不等式；求a的取值范圍，使在區(qū)間上是單調減函數．【答案】（1）見解析；（2）.【分析】由題意可得，對a討論，可得所求解集；求得，由反比例函數的單調性，可得，解不等式即可得到所求范圍．【詳解】的不等式，即為，即為，當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為，；，由在區(qū)間上是單調減函數，可得，解得．即a的范圍是．【點睛】本題考查分式不等式的解法，注意運用分類討論思想方法，考查函數的單調性的判斷和運用，考查運算能力，屬于基礎題．45．若,求的最大值和最小值.【答案】最大值為；最小值為【分析】根據對數的運算性質，得到函數，又由，根據二次函數的性質，即可求解.【詳解】由題意，根據對數的運算性質，可得函數又,∴.∴當,即時,;當,即時,.【點睛】本題主要考查了對數的運算性質，以及二次函數的圖象與性質的應用，其中解答熟記對數函數的圖象與性質，結合二次函數圖象與性質求解是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.46．已知函數.(1)用定義證明函數在上為減函數；(2)若，求函數的值域；(3)若，且當時，恒成立，求實數的取值范圍．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)【分析】（1）利用函數的單調性的定義及的單調性進行證明；（2）利用函數的單調性求其值域；（3）先求出當時的值域，再令即可求解.【詳解】(1)證明：函數的定義域為R，設且，則.因為，所以，，，所以，即．所以函數在上為減函數．(2)解：因為函數在上為減函數，所以當時，，.所以當時，的值域為.(3)解：由(2)得，當時，的值域為，因為，所以當時，.因為在上恒成立，所以，解得，即實數的取值范圍為.47．已知函數其定義域為（1）判斷函數在上的單調性，并用定義證明.（2）若求的取值范圍.【