第5頁弘德中學(xué)高三數(shù)學(xué)期末備考（五）理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．1．（5分）（2017?新課標(biāo)Ⅱ）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i2．（5分）（2017?新課標(biāo)Ⅱ）設(shè)集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，則B=（）A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5}3．（5分）（2017?新課標(biāo)Ⅱ）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（）A．1盞 B．3盞 C．5盞 D．9盞4．（5分）（2017?新課標(biāo)Ⅱ）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為（）A．90π B．63π C．42π D．36π5．（5分）（2017?新課標(biāo)Ⅱ）設(shè)x，y滿足約束條件，則z=2x+y的最小值是（）A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．96．（5分）（2017?新課標(biāo)Ⅱ）安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有（）A．12種 B．18種 C．24種 D．36種7．（5分）（2017?新課標(biāo)Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去問老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據(jù)以上信息，則（）A．乙可以知道四人的成績 B．丁可以知道四人的成績C．乙、丁可以知道對方的成績 D．乙、丁可以知道自己的成績8．（5分）（2017?新課標(biāo)Ⅱ）執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的a=﹣1，則輸出的S=（）A．2 B．3 C．4 D．59．（5分）（2017?新課標(biāo)Ⅱ）若雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線被圓（x﹣2）2+y2=4所截得的弦長為2，則C的離心率為（）A．2 B． C． D．10．（5分）（2017?新課標(biāo)Ⅱ）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為（）A． B． C． D．11．（5分）（2017?新課標(biāo)Ⅱ）若x=﹣2是函數(shù)f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的極值點，則f（x）的極小值為（）A．﹣1 B．﹣2e﹣3 C．5e﹣3 D．112．（5分）（2017?新課標(biāo)Ⅱ）已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則?（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）（2017?新課標(biāo)Ⅱ）一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則DX=．14．（5分）（2017?新課標(biāo)Ⅱ）函數(shù)f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是．故選：D．7．【解答】解：四人所知只有自己看到，老師所說及最后甲說話，甲不知自己的成績→乙丙必有一優(yōu)一良，（若為兩優(yōu)，甲會知道自己的成績；若是兩良，甲也會知道自己的成績）→乙看到了丙的成績，知自己的成績→丁看到甲、丁中也為一優(yōu)一良，丁知自己的成績，故選：D．8．【解答】解：執(zhí)行程序框圖，有S=0，k=1，a=﹣1，代入循環(huán)，第一次滿足循環(huán)，S=﹣1，a=1，k=2；滿足條件，第二次滿足循環(huán)，S=1，a=﹣1，k=3；滿足條件，第三次滿足循環(huán)，S=﹣2，a=1，k=4；滿足條件，第四次滿足循環(huán)，S=2，a=﹣1，k=5；滿足條件，第五次滿足循環(huán)，S=﹣3，a=1，k=6；滿足條件，第六次滿足循環(huán)，S=3，a=﹣1，k=7；7≤6不成立，退出循環(huán)輸出，S=3；故選：B．9．【解答】解：雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線不妨為：bx+ay=0，圓（x﹣2）2+y2=4的圓心（2，0），半徑為：2，雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線被圓（x﹣2）2+y2=4所截得的弦長為2，可得圓心到直線的距離為：=，解得：，可得e2=4，即e=2．故選：A．10．【解答】解：如圖所示，設(shè)M、N、P分別為AB，BB1和B1C1的中點，則AB1、BC1夾角為MN和NP夾角或其補角（因異面直線所成角為（0，]），可知MN=AB1=，NP=BC1=；作BC中點Q，則△PQM為直角三角形；∵PQ=1，MQ=AC，△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×（﹣）=7，∴AC=，∴MQ=；在△MQP中，MP==；在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP===﹣；又異面直線所成角的范圍是（0，]，∴AB1與BC1所成角的余弦值為．11．【解答】解：函數(shù)f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1，可得f′（x）=（2x+a）ex﹣1+（x2+ax﹣1）ex﹣1，x=﹣2是函數(shù)f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的極值點，可得：﹣4+a+（3﹣2a）=0．解得a=﹣1．可得f′（x）=（2x﹣1）ex﹣1+（x2﹣x﹣1）ex﹣1，=（x2+x﹣2）ex﹣1，函數(shù)的極值點為：x=﹣2，x=1，當(dāng)x＜﹣2或x＞1時，f′（x）＞0函數(shù)是增函數(shù)，x∈（﹣2，1）時，函數(shù)是減函數(shù)，x=1時，函數(shù)取得極小值：f（1）=（12﹣1﹣1）e1﹣1=﹣1．故選：A．12．【解答】解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，以BC中點為坐標(biāo)原點，則A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），設(shè)P（x，y），則=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），則?（+）=2x2﹣2y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣]∴當(dāng)x=0，y=時，取得最小值2×（﹣）=﹣，故選：B三、填空題13．【解答】解：由題意可知，該事件滿足獨立重復(fù)試驗，是一個二項分布模型，其中，p=0.02，n=100，則DX=npq=np（1﹣p）=100×0.02×0.98=1.96．故答案為：1.96．14．【解答】解：f（x）=sin2x+cosx﹣=1﹣cos2x+cosx﹣，令cosx=t且t∈[0，1]，則f（t）=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+1，當(dāng)t=時，f（t）max=1，即f（x）的最大值為1，故答案為：115．【解答】解：等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，可得a2=2，數(shù)列的首項為1，公差為1，Sn=，=，則=2[1﹣++…+]=2（1﹣）=．故答案為：．16．【解答】解：拋物線C：y2=8x的焦點F（2，0），M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N．若M為FN的中點，可知M的橫坐標(biāo)為：1，則M的縱坐標(biāo)為：，|FN|=2|FM|=2=6．故答案為：6．三、解答題17．【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2，∴sinB=4（1﹣cosB），∵sin2B+cos2B=1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，∴cosB=；（2）由（1）可知sinB=，∵S△ABC=ac?sinB=2，∴ac=，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，∴b=2．18．【解答】解：（1）記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”，C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，由P（A）=P（BC）=P（B）P（C），則舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62，故P（B）的估計值0.62，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）×5=0.66，故P（C）的估計值為，則事件A的概率估計值為P（A）=P（B）P（C）=0.62×0.66=0.4092；∴A發(fā)生的概率為0.4092；（2）2×2列聯(lián)表：箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量≥50kg總計舊養(yǎng)殖法6238100新養(yǎng)殖法3466100總計96104200則K2=≈15.705，由15.705＞6.635，∴有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)；（3）由題意可知：方法一：=5×（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.068+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008），=5×10.47，=52.35（kg）．新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值52.35（kg）方法二：由新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低于50kg的直方圖的面積：（0.004+0.020+0.044）×5=0.034，箱產(chǎn)量低于55kg的直方圖面積為：（0.004+0.020+0.044+0.068）×5=0.68＞0.5，故新養(yǎng)殖法產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值為：50+≈52.35（kg），新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值52.35（kg）．19．【解答】（1）證明：取PA的中點F，連接EF，BF，因為E是PD的中點，所以EFAD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥AD，∴BCEF是平行四邊形，可得CE∥BF，BF?平面PAB，CF?平面PAB，∴直線CE∥平面PAB；（2）解：四棱錐P﹣ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中點．取AD的中點O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，設(shè)AD=2，則AB=BC=1，OP=，∴∠PCO=60°，直線BM與底面ABCD所成角為45°，可得：BN=MN，CN=MN，BC=1，可得：1+BN2=BN2，BN=，MN=，作NQ⊥AB于Q，連接MQ，所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ==，二面角M﹣AB﹣D的余弦值為：=．20．【解答】解：（1）設(shè)M（x0，y0），由題意可得N（x0，0），設(shè)P（x，y），由點P滿足=．可得（x﹣x0，y）=（0，y0），可得x﹣x0=0，y=y0，即有x0=x，y0=，代入橢圓方程+y2=1，可得+=1，即有點P的軌跡方程為圓x2+y2=2；（2）證明：設(shè)Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），?=1，可得（cosα，sinα）?（﹣3﹣cosα，m﹣sinα）=1，即為﹣3cosα﹣2cos2α+msinα﹣2sin2α=1，解得m=，即有Q（﹣3，），橢圓+y2=1的左焦點F（﹣1，0），由kOQ=﹣，kPF=，由kOQ?kPF=﹣1，可得過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F．21．【解答】（1）解：因為f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx=x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），則f（x）≥0等價于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，因為h′（x）=a﹣，且當(dāng)0＜x＜時h′（x）＜0、當(dāng)x＞時h′（x）＞0，所以h（x）min=h（），又因為h（1）=a﹣a﹣ln1=0，所以=1，解得a=1；（2）證明：由（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx，令f′（x）=0，可得2x﹣2﹣lnx=0，記t（x）=2x﹣2﹣lnx，則t′（x）=2﹣，令t′（x）=0，解得：x=，所以t（x）在區(qū)間（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增，所以t（x）min=t（）=ln2﹣1＜0，從而t（x）=0有解，即f′（x）=0存在兩根x0，x2，且不妨設(shè)f′（x）在（0，x0）上為正、在（x0，x2）上為負(fù)、在（x2，+∞）上為正，所以f（x）必存在唯一極大值點x0，且2x0﹣2﹣lnx0=0，所以f（x0）=﹣x0﹣x0lnx0=﹣x0+2x0﹣2=x0﹣，由x0＜可知f（x0）＜（x0﹣）max=﹣+=；由f′（）＜0可知x0＜＜，所以f（x）在（0，x0）上單調(diào)遞增，在（x0，）上單調(diào)遞減，所以f（x0）＞f（）=；綜上所述，f（x）存在唯一的極大值點x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．（二）選考題22．【解答】解：（1）曲線C1的直角坐標(biāo)方程為：x=4，設(shè)P（x，y），M（4，y0），則，∴y0=，∵|OM||OP|=16，∴=16，即（x2+y2）（1+）=16，∴x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2，兩邊開方得：x2+y2=4x，整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），∴點P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．（2）點A的直角坐標(biāo)為A（1，），顯然點A在