小專題二共點(diǎn)力作用下的平衡問題一、靜態(tài)平衡處理靜態(tài)平衡問題的常用方法方法內(nèi)容合成法物體受三個共點(diǎn)力的作用而平衡,則任意兩個力的合力一定與第三個力等大、反向效果分解法物體受三個共點(diǎn)力的作用而平衡,將某一個力按力的效果分解,則其分力和其他兩個力滿足平衡條件正交分解法物體受到三個或三個以上力的作用時,將物體所受的力分解為相互垂直的兩組,每組力都滿足平衡條件[典例1]壁虎在豎直玻璃面上斜向上勻速爬行,關(guān)于它在此平面內(nèi)的受力分析,下列圖示中正確的是()解析:壁虎在豎直玻璃面上斜向上勻速爬行,故受到的玻璃面對壁虎的力與重力平衡,選A。答案:A二、動態(tài)平衡1.動態(tài)平衡:是指平衡問題中的一部分力是變力,是動態(tài)力,力的大小和方向均要發(fā)生變化,所以叫動態(tài)平衡,這是力平衡問題中的一類難題。2.基本思路:化“動”為“靜”,“靜”中求“動”。3.基本方法:圖解法和解析法。[典例2](多選)如圖,一粗糙斜面固定在地面上,斜面頂端裝有一光滑定滑輪。一細(xì)繩跨過滑輪,其一端懸掛物塊N,另一端與斜面上的物塊M相連,系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài).現(xiàn)用水平向左的拉力緩慢拉動N,直至懸掛N的細(xì)繩與豎直方向成45°。已知M始終保持靜止,則在此過程中()解析:以物塊N為研究對象,受力分析如圖甲所示,它在水平向左的拉力F作用下,緩慢向左移動直至細(xì)繩與豎直方向夾角為45°的過程中,水平拉力F逐漸增大,細(xì)繩拉力FT逐漸增大,故A錯誤,B正確;對物塊M受力分析如圖乙所示,若起初M受到的摩擦力Ff沿斜面向下,則隨著細(xì)繩拉力FT的增加,摩擦力Ff也逐漸增加;若起初物塊M受到的摩擦力Ff沿斜面向上,則隨著細(xì)繩拉力FT的增加,摩擦力Ff可能先減小后反向增加,故C錯誤,D正確。答案:BD解決動態(tài)平衡問題的基本步驟(1)解析法:①列平衡方程求出未知量與已知量的關(guān)系表達(dá)式。②根據(jù)已知量的變化情況來確定未知量的變化情況。(2)圖解法:①根據(jù)已知量的變化情況,畫出平行四邊形邊、角的變化。②確定未知量大小、方向的變化。三、整體法與隔離法當(dāng)分析相互作用的兩個或兩個以上物體整體的受力情況及分析外力對系統(tǒng)的作用時,宜用整體法;而在分析系統(tǒng)內(nèi)各物體(或一個物體各部分)間的相互作用時常用隔離法。整體法和隔離法不是獨(dú)立的,對一些較復(fù)雜問題,通常需要多次選取研究對象,交替使用整體法和隔離法。[典例3](多選)一鐵架臺放于水平地面上,其上有一輕質(zhì)細(xì)線懸掛一小球,開始時細(xì)線豎直,現(xiàn)將水平力F作用于小球上,使其緩慢地由實(shí)線位置運(yùn)動到虛線位置,鐵架臺始終保持靜止,則在這一過程中()解析:對小球受力分析知其受重力、細(xì)線的拉力及水平力(如圖甲所示),因?yàn)榫徛\(yùn)動所以小球處于動態(tài)平衡狀態(tài),有F=mgtanθ,FT=QUOTEmgcosθ,θ增大,F,FT都變大,A正確,將小球、細(xì)線和鐵架臺看成一個整體,對其受力分析,如圖乙所示,則Ff=F,FN=(M+m)g,當(dāng)F增大時,Ff增大,FN不變。所以B,C錯誤,D正確。答案:AD當(dāng)物理情景中涉及物體較多時,就要考慮采用整體法和隔離法。(1)整體法QUOTE研究外力對系統(tǒng)的作用各物體運(yùn)動狀態(tài)相同同時滿足上述兩個條件即可采用整體法。(2)隔離法QUOTE分析系統(tǒng)內(nèi)各物體各部分間相互作用各物體運(yùn)動狀態(tài)可不相同物體必須從系統(tǒng)中隔離出來,獨(dú)立地進(jìn)行受力分析,列出方程。四、平衡中的臨界和極值問題當(dāng)某物理量變化時,會引起其他幾個物理量的變化,從而使物體所處的平衡狀態(tài)“恰好出現(xiàn)”或“恰好不出現(xiàn)”,在問題的描述中常用“剛好”“剛能”“恰好”等語言敘述。常見的臨界狀態(tài)有:(1)兩接觸物體脫離與不脫離的臨界條件是相互作用力為0(主要體現(xiàn)為兩物體間的彈力為0)。(2)繩子斷與不斷的臨界條件為繩中張力達(dá)到最大值;繩子繃緊與松弛的臨界條件為繩中張力為0。(3)存在摩擦力作用的兩物體間發(fā)生相對滑動或相對靜止的臨界條件為靜摩擦力達(dá)到最大。平衡物體的極值,一般指在力的變化過程中的最大值和最小值問題,一般用圖解法或解析法進(jìn)行分析。[典例4]拖把是由拖桿和拖把頭構(gòu)成的擦地工具(如圖)。設(shè)拖把頭的質(zhì)量為m,拖桿質(zhì)量可忽略;拖把頭與地板之間的動摩擦因數(shù)為常數(shù)μ,重力加速度為g。某同學(xué)用該拖把在水平地板上拖地時,沿拖桿方向推拖把,拖桿與豎直方向的夾角為θ。(1)若拖把頭在地板上勻速移動,求推拖把的力的大小;(2)設(shè)能使該拖把在地板上從靜止剛好開始運(yùn)動的水平推力與此時地板對拖把的正壓力的比值為λ。已知存在一臨界角θ0,若θ≤θ0,則不管沿拖桿方向的推力多大,都不可能使拖把從靜止開始運(yùn)動。求這一臨界角的正切值tanθ0。解析:(1)設(shè)該同學(xué)沿拖桿方向用大小為F的力推拖把。將推拖把的力沿豎直和水平方向分解,根據(jù)平衡條件有Fcosθ+mg=FN①Fsinθ=Ff②式中FN和Ff分別為地板對拖把的正壓力和摩擦力。又Ff=μFN③聯(lián)立①②③式得F=QUOTEμsinθ-μcosθ(2)若不管沿拖桿方向用多大的力都不能使拖把從靜止開始運(yùn)動,應(yīng)有Fsinθ≤λFN⑤這時,①式仍滿足,聯(lián)立①⑤式得sinθλcosθ≤λQUOTEmgF現(xiàn)考查使上式成立的θ角的取值范圍。注意到上式右邊總是大于零,且當(dāng)F無限大時極限為零,有sinθλcosθ≤0,使上式成立的θ角滿足θ≤θ0,這里θ0是題中所定義的臨界角,即當(dāng)θ≤θ0時,不管沿拖桿方向用多大的力都推不動拖把。臨界角的正切值為tanθ0=λ。答案:見解析處理平衡問題中的臨界問題和極值問題,首先要正確進(jìn)行受力分析,弄清臨界條件,然后列出平衡方程。對于極值問題,要善于選擇物理方法和數(shù)學(xué)方法,做到數(shù)理的巧妙結(jié)合。對于不能確定的狀態(tài),可以采用假設(shè)推理法,即先假設(shè)為某狀態(tài),然后根據(jù)平衡條件及有關(guān)知識列方程求解。[典例5]如圖所示,用輕滑輪懸掛重為G的物體。輕繩總長為L,繩能承受的最大拉力是2G,現(xiàn)將輕繩一端固定,另一端緩慢向右移動距離d而使繩不斷,則d的最大值為()A.QUOTEL2 B.QUOTE22L C.QUOTE2L3 D.QUOTE154L解析:以輕繩與滑輪接觸處的一小段繩為研究對象,其受到輕滑輪對它的作用力大小等于G,兩邊的輕繩對它的等大的拉力為FT,設(shè)當(dāng)d達(dá)到最大值時兩繩張角為2θ,則FT=2G,FTcosθ=QUOTEG2,cosθ=QUOTE(L2)

2-(d2)

2L2,解得d=QUOTE答案:D1.(動態(tài)平衡)如圖,光滑的四分之一圓弧軌道AB固定在豎直平面內(nèi),A端與水平面相切。穿在軌道上的小球在拉力F作用下,緩慢地由A向B運(yùn)動,F始終沿軌道的切線方向,軌道對球的彈力為FN。在運(yùn)動過程中(A)A.F增大,FN減小 B.F減小,FN減小C.F增大,FN增大 D.F減小,FN增大解析:小球受到重力G、沿切線方向的拉力F和軌道對球的彈力FN,且拉力F始終垂直于彈力FN,如圖。當(dāng)小球在拉力F作用下緩慢地由A向B運(yùn)動時,三力的合力為0,則有F=Gcosθ,FN=Gsinθ,故θ逐漸減小時,F增大,FN減小,A正確。2.(整體法、隔離法)(2019·浙江4月選考)如圖所示,一根粗糙的水平橫桿上套有A,B兩個輕環(huán),系在兩環(huán)上的等長細(xì)繩拴住的書本處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)將兩環(huán)距離變小后書本仍處于靜止?fàn)顟B(tài),則(B)解析:將A,B兩個輕環(huán)、繩、書本視為整體,整體受到豎直向下的重力和豎直向上的支持力作用,兩個支持力大小之和等于重力,FN=QUOTE12mg,大小保持不變,A錯誤;假設(shè)細(xì)繩與豎直方向的夾角為θ,對B環(huán)進(jìn)行受力分析Ff=FNtanθ=QUOTE12mgtanθ,兩環(huán)距離變小,tanθ減小,Ff變小,B正確;對A環(huán)受力分析與B環(huán)類似,桿對環(huán)的力為支持力FN和摩擦力Ff的合力,即細(xì)繩對A環(huán)的拉力FT=QUOTEFNcosθ,當(dāng)θ發(fā)生變化時,FT發(fā)生變化,C錯誤;對書本進(jìn)行受力分析,FTcosθ=QUOTE12mg,兩環(huán)距離變小,cosθ變大,細(xì)繩上的拉力變小,D錯誤。3.(臨界和極值問題)如圖所示,一個底面粗糙、質(zhì)量為m的斜面體靜止在水平地面上,斜面體斜面是光滑的,傾角為30°?，F(xiàn)用一端固定的輕繩系一質(zhì)量為m的小球,小球靜止時輕繩與斜面的夾角是30°。(重力加速度為g)(1)求當(dāng)斜面體靜止時繩的拉力大小;(2)若地面對斜面體的最大靜摩擦力等于地面對斜面體支持力的k倍,為了使整個系統(tǒng)始終處于靜止?fàn)顟B(tài),k值必須滿足什么條件?解析:(1)設(shè)繩的拉力為FT,斜面體支持力為FN,對小球進(jìn)行受力分析如圖所示,由平衡條件可知,FT和FN的合力豎直向上,大小等于mg,由幾何關(guān)系可得出FN=FT=QUOTE33mg。(2)對斜面體進(jìn)行受力分析,設(shè)小球?qū)π泵骟w