磁流體力學(xué)波動(dòng)胡友秋中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)地球和空間科學(xué)學(xué)院2003.5.26.一、引言二、線性波三、WKB波四、簡(jiǎn)單波五、激波六、黎曼問(wèn)題研究磁流體波動(dòng)的意義磁化等離子體運(yùn)動(dòng)的主要形態(tài)磁流體力學(xué)誕生的標(biāo)志（Alfvén,1943)

等離子體能量傳輸和轉(zhuǎn)化的重要媒介等離子體特性的診斷手段影響空間天氣的重要因素一、引言2.波動(dòng)解存在的判據(jù)及方程分類以平面電磁波為例，基本方程及求解過(guò)程如下：判據(jù)：可化為波動(dòng)方程的物理系統(tǒng)存在波動(dòng)解；問(wèn)題：只適合具有單一波動(dòng)模式的線性系統(tǒng)。求形如exp(ikx-it)的波動(dòng)解：

直接從原一階偏微分方程組出發(fā)：存在非零解（非平凡解）的充分必要條件是其中

為實(shí)數(shù)。注意，

即為系數(shù)矩陣A的本征值。判據(jù)：系數(shù)矩陣存在實(shí)本征值的系統(tǒng)存在波動(dòng)解，本征值即波的相速度。一階偏微分方程組分類：雙曲型；橢圓型；廣義雙曲型

小擾動(dòng)近似－小幅度線性波

WKB近似（幾何光學(xué)近似）－非均勻媒質(zhì)中的短波（有限幅度線性波）相似解方法－非線性波（有限幅度）求解邊值關(guān)系－激波和間斷黎曼問(wèn)題（激波管問(wèn)題）－初始間斷分解數(shù)值模擬磁流體力學(xué)波動(dòng)求解方法

從基本方程（5）出發(fā)，令二、線性波小擾動(dòng)方程式中U為定態(tài)，滿足

A(U/x)=0.只保留一級(jí)小量，得上述方程為變系數(shù)線性偏微分方程，一般難以解析求解。對(duì)無(wú)限均勻媒質(zhì)，A為常數(shù)矩陣，化為常系數(shù)線性偏微分方程：于是，我們可借用常系數(shù)線性偏微分方程分析的現(xiàn)成結(jié)論：存在波動(dòng)解的條件是A存在實(shí)本征值，每個(gè)本征值對(duì)應(yīng)一種波模。2.磁流體力學(xué)小擾動(dòng)波的分類

■為何8個(gè)方程減至7個(gè)？（

B＝0使得Bx=常數(shù)，減少1個(gè)方程）■A的本征值：結(jié)論：存在7個(gè)波模：分別為熵波（對(duì)流結(jié)構(gòu)），前、后向阿爾文波、前、后向慢波和前、后向快波。WKB波為波長(zhǎng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于非均勻媒質(zhì)的變化尺度的波動(dòng)，即三、WKB波何謂WKB波？WKB法是分析非均勻媒質(zhì)中波傳播問(wèn)題的最成功的方法之一，創(chuàng)始于1915年。1926年，Brillouin,Wentzel和Kramers將這個(gè)方法引入量子力學(xué)求解薛定諤方程，后人稱之為WKB法。當(dāng)用于光波傳播時(shí)又稱為“幾何光學(xué)方法”。在WKB近似下，波矢k和波幅f隨時(shí)空緩慢變化，變化時(shí)空尺度與媒質(zhì)變化的時(shí)空尺度相當(dāng)。將WKB解代入原方程，將快變化部分和慢變化部分分開(kāi)，分別求得：■相位S滿足的方程：色散關(guān)系和射線方程；■波幅f滿足的方程：波能方程。■媒質(zhì)本身的動(dòng)力學(xué)方程：含波對(duì)流體的反作用參考書(shū)：1.葉公節(jié)，劉兆漢，《電離層波理論》，科學(xué)出版社，1983，第5章.2.涂傳詒，《日地空間物理學(xué)》，科學(xué)出版社，1988，第2章.太陽(yáng)風(fēng)中的阿爾文脈動(dòng)■

阿爾文波壓方程（Y.C.Whang,1980)■

阿爾文波串級(jí)功率譜方程（涂傳詒等,1984)■

多成分等離子體阿爾文波串級(jí)功率譜方程（Hu&Habbal,1999)3.波流相互作用和太陽(yáng)風(fēng)加熱與加速■阿爾文波對(duì)太陽(yáng)風(fēng)的反作用（1）通過(guò)波壓梯度對(duì)太陽(yáng)風(fēng)實(shí)施延伸式加速（2）通過(guò)串級(jí)耗散對(duì)太陽(yáng)風(fēng)實(shí)施延伸式加熱和加速（3）波能沿各離子成分的分配由等離子體動(dòng)力論或有關(guān)經(jīng)驗(yàn)公式?jīng)Q定■阿爾文波驅(qū)動(dòng)的太陽(yáng)風(fēng)模型：

（1）一維電子－質(zhì)子太陽(yáng)風(fēng)模型

Tu,1987;Tu&Marsch,1997;胡友秋等,1999;李醒等,1999.（2）一維多成分太陽(yáng)風(fēng)模型：重離子優(yōu)勢(shì)加熱與加速

胡友秋,Habbal,1999;胡友秋等,2000；束傳仲,陳非,涂傳詒,2001.（3）二維電子－質(zhì)子太陽(yáng)風(fēng)模型

Usmanovetal.,2000;陳耀,胡友秋,2001;胡友秋等,2003a,2003b;李波等,2003.四、簡(jiǎn)單波何謂簡(jiǎn)單波？形如的相似解稱為簡(jiǎn)單波。上式中的的等值面表示等相面。簡(jiǎn)單波為有限幅度的非線性波。其中，無(wú)限窄的稀疏簡(jiǎn)單波又稱為中心簡(jiǎn)單波。簡(jiǎn)單波存在條件■二自變數(shù)一階齊次偏微分方程■系數(shù)矩陣與自變數(shù)無(wú)關(guān)■系數(shù)矩陣的本征值為實(shí)數(shù)前面提到的一維MHD方程（5）和（8）式正好滿足上述條件，故存在簡(jiǎn)單波。將（13）式代入（5）式得以為自變數(shù)的常微分方程組如下：

2.簡(jiǎn)單波基本方程式中

表示簡(jiǎn)單波等相面的傳播速度，即波的相速度。由（14）得出如下結(jié)論：（1）有非平凡解的條件要求

為A

的本征值，因此簡(jiǎn)單波具有和線性波同樣的波模和傳播速度，不同的只是簡(jiǎn)單波為有限幅度非線性波，各處波速可能不同，導(dǎo)致波形發(fā)生變化。（2）dU/d為對(duì)應(yīng)本征值

的右本征矢：上式即為波速為

的簡(jiǎn)單波所滿足的常微分方程組。3.矩陣A的右本征矢

vx1000000vx

vAx000vx

vs1a2vx

vf1a2MHD簡(jiǎn)單波的分類(1)熵簡(jiǎn)單波為純密度波或熵波，簡(jiǎn)單波區(qū)流速、磁場(chǎng)和壓強(qiáng)均連續(xù)。熵簡(jiǎn)單波屬于對(duì)流結(jié)構(gòu)，接觸間斷的對(duì)流運(yùn)動(dòng)屬于熵簡(jiǎn)單波的特例。(2)阿爾文波：對(duì)前向阿爾文波有密度、壓強(qiáng)均勻，沿波傳播方向的流速（和磁場(chǎng)）也均勻，只是切向流速和切向磁場(chǎng)變化。由上式可導(dǎo)出：通過(guò)坐標(biāo)系選擇，可實(shí)現(xiàn)v

－

vA

＝0。于是有分別對(duì)應(yīng)沿磁場(chǎng)方向和逆磁場(chǎng)方向傳播的阿爾文波。

為不可壓縮圓偏振波，傳播速度均勻，波形不變

切向流速和切向磁場(chǎng)大小不變，同方向旋轉(zhuǎn)

沿磁場(chǎng)傳播，v

和

vA

反向；逆磁場(chǎng)傳播，二者同向

(3)磁聲波：由

d/d＝0，不妨取

＝

.以

為自變數(shù)，令u=±vs,±vf,四種磁聲波的方程可統(tǒng)一寫(xiě)成：●磁場(chǎng)和流場(chǎng)共面，線偏振（比較阿爾文波）●熵均勻，密度、壓強(qiáng)和溫度同相（比較激波）●前向波（u>0），法向流速vx和密度同相，后向波反相●快波（u＝vf），磁場(chǎng)幅度與密度同相，慢波（u＝vf）反相●法向流速波形隨

x增加上升部分為稀疏波，下降部分為壓縮波。在以下分析中假定vx>0，沿流動(dòng)方向（即沿x軸正向）傳播的波稱為前向波。由法向流速vx、密度

和切向磁場(chǎng)的波形判斷簡(jiǎn)單波類型的三原則：流速剖面隨

x下降段為壓縮波，上升段為稀疏波；密度與磁場(chǎng)幅度同相變化為快波，反相變化為慢波；流速與密度同相變化為前向波，反相變化為后向波。條件：各簡(jiǎn)單波彼此分離且充分發(fā)展舉例：123456

vx

|B

|前向快壓縮波答案前向慢壓縮波后向慢壓縮波后向快壓縮波后向快稀疏波前向慢稀疏波四、激波引言有限幅度的壓縮簡(jiǎn)單波經(jīng)非線性變陡形成的強(qiáng)間斷。不妨設(shè)

vx

>0，壓縮波條件要求dvx/dx

<0，我們有●激波的產(chǎn)生波區(qū)切向磁場(chǎng)同向：形成快（慢）激波；即：快壓縮波變陡形成快激波慢壓縮波變陡形成慢激波波區(qū)切向磁場(chǎng)反向：形成中間激波（C.C.

Wu,1987,1988,1990)前向壓縮波(d

/dx

<0)：后向壓縮波(d

/dx

>0)：●磁流體激波研究簡(jiǎn)史1.早期基本理論研究（1950－1963）F.DeHaffman&E.Teller,Magneto-hydrodynamicshocks,Phys.Rev.,8,692,1950.T.E.Anderson,MagnetohydrodynamicShockWaves,MITpress,1963.從Rankine-Hugoniot關(guān)系出發(fā)討論激波特性和分類，從耗散MHD理論出發(fā)討論激波層結(jié)構(gòu)，從線性理論出發(fā)分析激波的穩(wěn)定性和進(jìn)化性。2.磁流體激波的空間應(yīng)用研究（1963－1987）E.N.Parker,InterplanetaryDynamicalProcesses,Wiley-Interscience,1983.

對(duì)行星際空間動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)和激波圖象的理論預(yù)言；對(duì)空間激波的直接觀測(cè)；無(wú)碰撞激波理論；磁場(chǎng)重聯(lián)中的激波間斷；行星際耀斑激波的三維傳播特性；激波的數(shù)值模擬研究。3.磁流體激波理論的縱深發(fā)展（1987－）C.C.Wu,Formation,structure,andstabilityofMHDintermediateshocks,J.Geophys.Res.,95,8149,1990.MHD中間激波的形成和穩(wěn)定性(Wu,1987,1988,1990)；磁流體力學(xué)混合激波（Hu,1990,1992;Leeetal.,1993;Steinolfson&Hundhausen,1989,1990)；多成分、多物理過(guò)程的激波研究；MHD黎曼問(wèn)題；激波算法（激波裝配法）研究。2.激波分類質(zhì)量通量：動(dòng)量通量：切向電場(chǎng)：能量通量：激波關(guān)系：備注：8個(gè)因變量為何只留下4個(gè)（，vn，p，B

）？由Ranking-Hugoniot關(guān)系可知激波共面，減少2個(gè)因變量；由激波坐標(biāo)系中流速與磁場(chǎng)平行，因變量又減少1個(gè)；由法向磁場(chǎng)連續(xù)，Bn將以參數(shù)形式出現(xiàn)?！裨诩げㄗ鴺?biāo)系（DeHaffman－Teller坐標(biāo)系）中：

●給定質(zhì)量、動(dòng)量、能量通量和切向電場(chǎng)時(shí)(21)-(24)的解：

式中：

對(duì)函數(shù)f

作定性分析（如f

(0),f(

),f’,f”）后可繪出如下f－vn曲線:

1234f0vnv4v3v2v1vsmvfmv*Alfven點(diǎn)v1－4為所求的方程（26）的4個(gè)根，分別對(duì)應(yīng)亞慢波速、超慢亞阿爾文波速、超阿爾文亞快波速和超快波速。f=－Ef（vn

）vsm:：慢波速點(diǎn)vfm:：快波速點(diǎn)●激波條件和激波分類：熵增加條件：激波只能是壓縮波；激波進(jìn)化的充分必要條件：在任意給定的入射波作用下，激波陣面的發(fā)射波存在并被唯一確定。

Lax條件：激波陣面發(fā)射波的數(shù)目為6；

Syrovatskii條件：6個(gè)發(fā)射波中應(yīng)包括4個(gè)磁聲波和2個(gè)阿爾文波。(a)滿足激波關(guān)系的解的總數(shù)＝A42＝12；(b)其中滿足熵增加條件（即壓縮波條件）的只有6個(gè)：12：快激波（跨快波速）；34：慢激波（跨慢波速）；13，14，23，24：中間激波（跨阿爾文波速）。(c)中間激波不滿足進(jìn)化條件：13型及24型：5個(gè)發(fā)射波；14型：4個(gè)發(fā)射波；23型：6個(gè)發(fā)射波，但其中包括5個(gè)磁聲波和1個(gè)阿爾文波。關(guān)于中間激波的新觀點(diǎn)（Wu,1990)

●理想MHD對(duì)中間激波失效，應(yīng)運(yùn)用耗散MHD；在耗散MHD下，激波為連續(xù)解。●中間激波可通過(guò)磁聲波（具反向切向磁場(chǎng)）變陡形成。●在耗散MHD下，激波過(guò)渡層是有結(jié)構(gòu)的?？?、慢激波的過(guò)渡層結(jié)構(gòu)唯一存在；14激波層結(jié)構(gòu)存在2個(gè)自由參數(shù)，13和

24激波層存在一個(gè)自由參數(shù)，自由參數(shù)與相應(yīng)發(fā)射波的數(shù)目之和正好是6，滿足進(jìn)化條件；23激波過(guò)渡層結(jié)構(gòu)唯一，但一般是三維的，因此無(wú)法將磁聲波和阿爾文波方程去耦，無(wú)需滿足Syrovatskii條件，故此也是進(jìn)化的。●對(duì)非共面情況，存在時(shí)變中間激波，實(shí)現(xiàn)對(duì)磁場(chǎng)的旋轉(zhuǎn)，取代阿爾文旋轉(zhuǎn)間斷的作用；后者在耗散MHD下是不穩(wěn)定的。已知激波參數(shù)求解激波

(1)激波參數(shù)密度比切向磁場(chǎng)比氣壓比總壓比激波求解：已知上游態(tài)、一個(gè)激波特性參數(shù)和待求激波類型，求解激波下游態(tài)。通?？山o定激波速度，或密度比，或氣壓比，或總壓比，或切向磁場(chǎng)比，最終歸結(jié)為求解3次代數(shù)方程。根據(jù)激波類型，從中選擇要求的根。(3)激波參數(shù)空間的激波特性等值線：常在A1－

空間、－

空間或－空間繪出另一個(gè)特性參數(shù)的等值線。5.激波識(shí)別

■由上、下游流速識(shí)別激波類型12快激波：上游超快波速，下游亞快波速、超阿爾文波速；34慢激波：上游超慢波速、亞阿爾文波速，下游亞慢波速；13中間激波：上游超快波速，下游亞阿爾文波速、超慢波速；14中間激波：上游超快波速，下游亞慢波速；23中間激波：上游超阿爾文波速、亞快波速，下游亞阿爾文波速、超慢波速；24中間激波：上游超阿爾文波速、亞快波速，下游亞慢波速?！鲇闪魉佟⒚芏群痛艌?chǎng)波形識(shí)別激波類型

舉例：123456

vx

|B

|前向快激波答案前向慢激波后向慢激波后向快激波后向中間激波前向中間激波6.激波系統(tǒng)和混合激波

●激波系統(tǒng)：由彼此隔離的多個(gè)激波構(gòu)成的系統(tǒng)。舉例：

vx

|B

|快激波對(duì)雙重激波對(duì)2個(gè)前向快激波2個(gè)前向慢激波●混合激波：由不同類型的多個(gè)激波相繼連接形成的單個(gè)激波。激波之間的連接滿足一定規(guī)則，快激波必須通過(guò)中間激波才能同慢激波相連（胡友秋，1990，1992）。行星際擾動(dòng)有可能發(fā)展成為混合激波，磁場(chǎng)重聯(lián)中也可能會(huì)出現(xiàn)混合激波。五、黎曼問(wèn)題1.何謂黎曼問(wèn)題？

下述定解問(wèn)題稱為黎曼問(wèn)題：式中U1和U2為常矢量。按方程形式分類：

■流體力學(xué)黎曼問(wèn)題，磁流體力學(xué)（MHD）黎曼問(wèn)題■理想MHD黎曼問(wèn)題，耗散MHD黎曼問(wèn)題2.黎曼問(wèn)題舉例

■激波管問(wèn)題：長(zhǎng)直圓柱管內(nèi)置一隔板，隔板兩側(cè)各填入不同靜止流體，即但密度和壓強(qiáng)不同。然后抽走隔板，求激波管內(nèi)流體狀態(tài)的時(shí)間演化。■激波相互作用問(wèn)題：兩同向傳播激波的匯合或兩迎面?zhèn)鞑サ募げǖ呐鲎?。此時(shí)，U1表示右面激波的右側(cè)狀態(tài)，U2表示左面激波的左側(cè)狀態(tài)。通過(guò)求解對(duì)應(yīng)的黎曼問(wèn)題，可確定作用產(chǎn)物及其演化。U2U1x=0xv2v1U2U1Uiv2v1U2U1Ui激波匯合激波碰撞3.黎曼問(wèn)題的適定性Lax定理（Lax,A.D.,Communs.Pure&Appl.Math.,10(1957),537.)在U2周?chē)嬖谝粋€(gè)鄰域：若U1屬于該鄰域，則黎曼問(wèn)題的解存在，原間斷被分解為由激波、中心簡(jiǎn)單波和例外間斷分隔開(kāi)的一列中間態(tài)；若分解產(chǎn)物也位于該鄰域，則解唯一。

（注：例外間斷包括接觸間斷、切向間斷和旋轉(zhuǎn)間斷）流體力學(xué)的黎曼問(wèn)題適定，即給定U1

和U2，黎曼問(wèn)題的解存在、唯一、穩(wěn)定(Kotchine,1926;Liu,1986)。

MHD共面黎曼問(wèn)題的解存在且唯一。[1]

胡友秋，荀笑冬，磁流體力學(xué)的共面黎曼問(wèn)題，空間科學(xué)學(xué)報(bào)，15(1995),91.

[2]胡小龍，胡友秋，再論磁流體