基礎(chǔ)--綜合--能力--創(chuàng)新排列,組合,二項(xiàng)式定理一.兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理㈠分類計(jì)數(shù)原理(加法原理)：做一件事情,完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，，在第n類辦法中有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.㈡分步計(jì)數(shù)原理(乘法原理)：做一件事情,完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法， ,做第n步有m〃種不同的方法，那么完成這件事有N=mxmx…xm種不同的方法.㈢分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別:兩個(gè)原理是排列組合的基礎(chǔ)和核心，既可用來推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式，也可用來直接解題.它們的共同點(diǎn)都是把一個(gè)事件分成若干個(gè)分事件來進(jìn)行計(jì)算只不過利用分類計(jì)算原理時(shí),每一種方法都可能獨(dú)立完成事件;如需連續(xù)若干步才能完成的則是分步.利用分類計(jì)數(shù)原理，重在分“類”，類與類之間具有獨(dú)立性和并列性;利用分步計(jì)數(shù)原理,重在分步;步與步之間具有相依性和連續(xù)性.比較復(fù)雜的問題，常先分類再分步.★乘法原理:可以有重復(fù)元素的排列(“郵筒投信”問題)???????★從m個(gè)不同元素中，每次取出n個(gè)元素，元素可以重復(fù)出現(xiàn)，按照一定的順序排成一排，那么第一、第二......第n位上選取元素的方法都是m個(gè),所以從m個(gè)不同元素中，每次取出n個(gè)元素可重復(fù)排列數(shù)為m?m?...m=mn..例1.將n件物品放入m個(gè)抽屜中，不限放法，共有多少種不同放法？(解:mn種)例2.有5封不同的信，投入3個(gè)不同的信箱中，那么不同的投信方法總數(shù)為多少？(解：35種)三排列與排列數(shù)排列的概念:從n個(gè)不同元素中，任取m(m<n)個(gè)元素(這里的被取元素各不相同)按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m(m<n)個(gè)元素的一個(gè)排列.排列數(shù)的定義:從n個(gè)不同元素中，任取m(m<n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m(m<n)個(gè)元素的排列數(shù)。排列數(shù)用符號A；表示.排列數(shù)公式Am=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)=~、(n,meN,m<n)n \n一m刀 +全排列數(shù)公式Am=n?(n一1).(n一2)...3.2.1=〃!(叫做n的階乘)規(guī)定：1)0!=1注意：1)n-n!=(n+1)!-n! 2)Am1=A^1+Am'Cm-i=Am+mAm-i 3)Am=nAm-i☆含有可重元素的排列問題：???????對含有相同元素求排列個(gè)數(shù)的方法是:設(shè)重集S有k個(gè)不同元素%，a2???ak其中限重復(fù)數(shù)為n1>n!n2 nk,且n=n1+n2+ nk,則S的排列個(gè)數(shù)等于〃!n!...n!1,2?…k*例如：已知數(shù)字3、2、2,求其排列個(gè)數(shù)n=d+2)!=31!2!3!一又例如:數(shù)字5、5、5、求其排列個(gè)數(shù)？其排列個(gè)數(shù)n=3j=1.四.組合與組合數(shù)(1)組合的定義:一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m<n)個(gè)元素并成一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m(m<n)個(gè)元素的一個(gè)組合.⑵組合數(shù)的定義:從n個(gè)不同元素中取出m(m<n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m(m<n)個(gè)元素的組合數(shù).組合數(shù)用符號C：表示.組合數(shù)公式Am n(n-1)(n-2)???(n-m+1) n!%=Am= m =mGF(n,心+，m<n)m特別地i)co=cn=1組合數(shù)的性質(zhì):①Cm=Cn-m, ②Cm=Cm+Cm-1nn n+1 nn說明:1.排列與組合最根本的區(qū)別在于“有序”和“無序”一.取出元素后交換順序，一如果與順序.有關(guān)是排列,一如果與順序無關(guān)即是組合解決排列組合問題可遵循“先組合后排列”的原則，區(qū)分排列組合問題主要是判斷“有序”和“無序”，更重要的是弄清怎樣的算法有序，怎樣的算法無序，關(guān)鍵是在計(jì)算中體現(xiàn)“有序”和“無序”.②要能夠?qū)懗鏊蟹蠗l件的排列或組合，盡可能使寫出的排列或組合與計(jì)算的排列數(shù)及組合數(shù)相符，使復(fù)雜問題簡單化，這樣既可以加深對問題的理解,檢驗(yàn)算法的正確與否，又可以對排列數(shù)或組合數(shù)較小的問題的解決起到事半功倍的效果.四字口訣:求解排列組合問題的思路：“排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；分類相加，分步相乘.”對組合數(shù)性質(zhì)的解釋:①從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素后就剩下n-m個(gè)元素，因此從n個(gè)不同元素中取出n-m個(gè)元素的方法是一一對應(yīng)的，是一樣多.就是說從n個(gè)不同元素中取出n-m個(gè)元素的唯一的一個(gè)組合.(或者從n+1個(gè)編號不同的小球中,n個(gè)白球一個(gè)紅球，任取m個(gè)不同小球其不同選法,分二類,一類是含紅球選法有Cm-1.C1=Cm-1一類是不含紅球的選法有Cm)n1n n根據(jù)組合定義與加法原理得;在確定n+1個(gè)不同元素中取m個(gè)元素方法時(shí)，對于某一元素，只存在取與不取兩種可能，如果取這一元素,則需從剩下的n個(gè)元素中再取m-1個(gè)元素，所以有Cm-1,n. , m 一如果不取這一元素，則需從剩余n個(gè)元素中取出m個(gè)元素,所以共有Cn種,依分類原理有Cm-1+Cm=Cm常用的證明組合等式方法裂項(xiàng)求和法.如：1+-+-+ 。=1——L(利用上1=-^--1)2!3!4! (n+1)! (n+1)! n! (n-1)!n!導(dǎo)數(shù)法； iii.數(shù)學(xué)歸納； iv.倒序求和法.V.遞推法(即用Cm+Cm-1=Cm遞推)如:C3+C4+C3+…。3=C〃+4.nnn+1 345 nn+1vi.構(gòu)造二項(xiàng)式.如:(C0)2+(C：)2+…+(Cn)2=C2n證明:這里構(gòu)造二項(xiàng)式(X+1)n(1+X)n=(1+X)2n其中蜀的系數(shù)，左邊為CoCn+C1Cn-1+C2Cn-2+…+Cn。。=(Co)2+(C)2+…+(Cn)2，而右邊=C2；幾個(gè)常用組合數(shù)公式C0+C1+C2+??"n=2nnnn nnnn nunCm+Cm+Cm...+Cm=Cm+1m m+1 m+2 m+n m+n+1五解決排列及組合問題的常見方法:另見資料★六.二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用：㈠二項(xiàng)式定理:(a+b)n=Coan+Clan-1b+???+C’an-rbr+?.?+Cnbn及其展開式叫做二項(xiàng)式定理。其第r+1項(xiàng)為匕+1=Cran-rbr，其中C；(r=0,1,2…,n)叫做第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).㈡二項(xiàng)式定理:(a+b)n=C0anb0+C1an-1b+…+C；an-rbr+…+C：a0bn.展開式具有以下特點(diǎn)：項(xiàng)數(shù):共有n+1項(xiàng)；②系數(shù):依次為組合數(shù)C0,C1,C2,…,C：,…,Cn;③每一項(xiàng)的次數(shù)是一樣的，即為n次，展開式依a的降冪排列,b的升冪排列展開.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng).(a+b)n展開式中的第r+1項(xiàng)為:T,+1=C：an-rbr(0<r<n,reZ).二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).①在二項(xiàng)展開式中與首未兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等；二項(xiàng)展開式的中間項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大.n1.當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)是第；+1項(xiàng)，它的二項(xiàng)式系數(shù)Cn最大;n—1 n+1II.當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),中間項(xiàng)為兩項(xiàng),即第號項(xiàng)和第號+1項(xiàng),它們的二項(xiàng)式系數(shù)C2n=C2n最大.C0+C1+…+Cn=2n系數(shù)和：nnnC0+C2+C4+?.=C1+C3+?.=2n-1nnn nn附:一般來說(ax+by)n(a,b為常數(shù))在求系數(shù)最大的項(xiàng)或最小的項(xiàng)時(shí)均可直接根據(jù)性質(zhì)二求解.

當(dāng)I當(dāng)I』。1或Ib。1時(shí),一般采用解不等式組J"Ak-A+1(a為t 的系數(shù)或系數(shù)的絕對值)A<A k k+1lk k-1的辦法來求解.如何來求(q+b+c)n展開式中含apbqcr的系數(shù)呢？其中p,q,rgN,且p+q+r=n把(a+b+c)n=[(a+b)+c]n視為二項(xiàng)式，先找出含有Cr的項(xiàng)Cr(a+b)n-rCr，另一方面在(a+b)n-r中n含有bq的項(xiàng)為Cqan-r-qbq=Cq』Pbq，故在(』+b+c)n中含aPbqc，的項(xiàng)為C^Cn戶必強(qiáng)’.其系n-r n-r nn'數(shù)為"-=；!^-q、。)!=湍."n一歸-二項(xiàng)式定理實(shí)質(zhì)是公式(a+b)2=a2+2ab+b2、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3等的推廣,它揭示了二項(xiàng)式的n次幕的展開式在項(xiàng)數(shù)、系數(shù)、次數(shù)等方面的聯(lián)系，特別是通項(xiàng)公式即展開式第r+1項(xiàng)七+1=Cran-rbr，學(xué)習(xí)時(shí)注意其結(jié)構(gòu)特征及a,b的指數(shù)n,r間的內(nèi)在聯(lián)系.因通項(xiàng)公式中含有a、b、n、r、T五個(gè)元素,故只需知其中的四個(gè)元素,可以求第五個(gè)元素.r+1對一般的系數(shù)和問題，可在二項(xiàng)式定理中令b=x，則二項(xiàng)式定理轉(zhuǎn)化成函數(shù)f(x)=(a+x)n=a0+a1x+a2x2+..?+axn的形式，展開式的各項(xiàng)系數(shù)和便化歸為求函數(shù)值的問題，其各項(xiàng)系數(shù)和a0+a1+a2+....+an為f(1),奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為f(1)：f(I,一，…ff(1)-f(-1)偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為f()f();對于整除或求余數(shù)(余式)問題，常需靈活配湊變形成利于問題