主成份分析常常遇到的問(wèn)題指標(biāo)過(guò)多，對(duì)現(xiàn)象（或事物）解釋帶來(lái)困難----需要降維；指標(biāo)往往存在相關(guān)性，使“關(guān)系”復(fù)雜化，特別是在回歸分析中出現(xiàn)共線性----需消除共線性；用多指標(biāo)從多個(gè)維度對(duì)醫(yī)學(xué)現(xiàn)象（或事物）進(jìn)行考核----需綜合評(píng)價(jià)；揭示事物的不同屬性與多個(gè)維度體征----判別歸類。

解決諸如此類問(wèn)題方法：主成份分析與因子分析！何為主成份？主成份分析:對(duì)數(shù)據(jù)和變量結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析處理的一種行之有效的多元統(tǒng)計(jì)分析方法，它可在不損失或盡量少損失原有指標(biāo)信息的情況下，將多個(gè)具有相關(guān)性的指標(biāo)轉(zhuǎn)換成少數(shù)幾個(gè)互相獨(dú)立的綜合指標(biāo),即主成份.如何去尋找主成份呢？這可從“點(diǎn)集”的角度來(lái)討論:

在有P(≥2)個(gè)指標(biāo)的P維空間中，抽取了n個(gè)點(diǎn)(即n個(gè)觀察對(duì)象)，我們希望弄清這n個(gè)點(diǎn)間的關(guān)系，顯然在高維空間中點(diǎn)的關(guān)系不直觀，若把這些點(diǎn)“近似地”在較低維(如m維，m≤P)空間中表示出來(lái)，無(wú)疑對(duì)我們的研究有幫助。這也就是主成分分析的基本思想和目的。Y1X1X2如何達(dá)到這個(gè)目的呢？Y＝(Y1，Y2，…，YP)'是由X＝(X1，X2，…，XP)'經(jīng)正交變換得來(lái)的，即存在一個(gè)正交矩陣U，有：

Y＝UX

正交變換在所有形如上面的線性變換中，選取這樣的線性變換，它使Y1具有最大方差，Y2次之，…，依此類推，即方差的大小順序是V(Y1)≥V(Y2)≥…≥V(YP)，且Y1，Y2，…，YP彼此獨(dú)立(互不相關(guān))。這樣得到的Y1，Y2，…，YP分別叫做指標(biāo)變量X的第一，第二，…，第P主成分(principelcomponent)。有P個(gè)原指標(biāo)變量，相應(yīng)的就應(yīng)該有P個(gè)主成分，但只有前面的m個(gè)主成分具有實(shí)際的解釋意義，將具體討論m的確是方法。由于Y是X的線性變換(即線性組合)，所以Yi(i＝1，2，…，P)都是X的一個(gè)綜合指標(biāo)。Lagrange條件極值：

V(Yk)=

k-----R的第k個(gè)特征根

-----

j

對(duì)應(yīng)的特征向量

主成分分析的計(jì)算步驟

(1)計(jì)算各變量的相關(guān)系數(shù)矩陣R＝(rij)；(2)計(jì)算相關(guān)矩陣R的特征值，并按由大到小的順序排列：

1≥

2≥…≥

p；(3)計(jì)算貢獻(xiàn)率

i

和累積貢獻(xiàn)率

m，確定m的值(即主成分的個(gè)數(shù))；(4)求出前k個(gè)特征值

1,

2,…,

m所對(duì)應(yīng)的單位特征向量。主成分的貢獻(xiàn)率與主成分的個(gè)數(shù)

1.主成分的貢獻(xiàn)率

第i個(gè)主成分提取的信息占全部P個(gè)變量總信息的比，稱為該主成分的貢獻(xiàn)率，即：

i為第i個(gè)主成分Yi的貢獻(xiàn)率。

如果是通過(guò)相關(guān)矩陣R求主成分，則主成分的貢獻(xiàn)率的計(jì)算尤為簡(jiǎn)單：

ηi=

i/p

顯然有=1，即全部主成分對(duì)X“總方差”的貢獻(xiàn)率率為100％。

2.累積貢獻(xiàn)率

把多個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率由大到小累加起來(lái)，就得到各主成分的累積貢獻(xiàn)率

m：

m＝這就是前m個(gè)主成分Y1，Y2，…，Ym對(duì)X“總方差”的累積貢獻(xiàn)率。

m愈大，表明前m個(gè)主成分的方差占全部總方差的比率愈大，反映X的總信息就越多。當(dāng)

m接近于1時(shí)，表明前m個(gè)主成分已基本上綜合了原指標(biāo)X的總信息。

3.主成分個(gè)數(shù)m的確定

一般可有如下兩種方法來(lái)確定主成分的個(gè)數(shù)(即m取值)：①確定某個(gè)m使得

m>70％。②取m＝所有λi中大于或近似于1的個(gè)數(shù)。(其中λi為相關(guān)陣R的特征值)。因子分析

factoranalysis

1.因子(factor):

進(jìn)行多指標(biāo)變量(因素)研究時(shí)，盡管各指標(biāo)之間的關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，但都可以概括為兩個(gè)方面。一方面是所有指標(biāo)(變量)各自都表現(xiàn)出一定的相對(duì)獨(dú)立性；另一方面，它們又表現(xiàn)出一定的相互關(guān)聯(lián)性。對(duì)于前者，可以看作為事物“個(gè)體特性”的反映；對(duì)于后者，則可認(rèn)為是構(gòu)成該事物的所有特征的共性反映。共性的背后有一個(gè)共同的東西在支配這些指標(biāo)，使之表現(xiàn)為不同的方式組合，體現(xiàn)出共同的作用。

因子分析的概念例如，人的收縮血壓和舒張血壓這兩個(gè)指標(biāo)一方面表現(xiàn)出各自的獨(dú)立性，各自的測(cè)量值不同，意義不同。然而，收縮壓與舒張壓又總是密切相關(guān)的，其根本原因在于收縮壓和舒張壓二者都是受心臟血管系統(tǒng)支配的。心血管系統(tǒng)既要求收縮壓和舒張壓對(duì)心血管的正?；顒?dòng)分擔(dān)不同的任務(wù)，同時(shí)又要求二者密切配合，共同為心血管系統(tǒng)的正常功能服務(wù)。反過(guò)來(lái)，假設(shè)我們還不知道收縮壓和舒張壓是受心血管系統(tǒng)的控制?，F(xiàn)在，通過(guò)醫(yī)學(xué)研究，測(cè)得n個(gè)個(gè)體的收縮壓和舒張壓，得到了一系列研究數(shù)據(jù)。問(wèn)題在于可否通過(guò)對(duì)這些數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)分析，找出影響這兩個(gè)血壓的“共性”來(lái)，即我們稱之為因子的東西。2.因子分析

因子分析就是尋找隱含在多變量數(shù)據(jù)中的、無(wú)法直接觀察到的公共因子的一種多元統(tǒng)計(jì)分析方法。其目的就是要通過(guò)對(duì)多變量觀察數(shù)據(jù)的分析，找出支配多個(gè)指標(biāo)間相互關(guān)系的少數(shù)幾個(gè)(小于原指標(biāo)個(gè)數(shù))共性因子(有時(shí)也稱公共因子，下同)，而且要求這些找出的公共因子彼此互相獨(dú)立。盡管這些公共因子往往不能直接測(cè)定，但若以這些共性因子(新指標(biāo)變量)代替原來(lái)觀察測(cè)量的變量，卻能夠使原指標(biāo)所包含信息總量損失很小。

因子分析的數(shù)學(xué)模型設(shè)對(duì)于某一研究問(wèn)題，觀察了P個(gè)變量(X1，X2，…，XP)，記為X=(X1，X2，…，XP)

。變量Xi＝Xi的獨(dú)立成分＋Xi

的共性成分若Xi

與其他的Xi

無(wú)任何相關(guān)性(即沒(méi)有共性部分)，則等式右邊的公共成分部分就為零。由于支配(或影響)P個(gè)變量的共性因子往往不止一個(gè)，記為m個(gè)：f1，f2，…，fm(m<p)，則有：

X＝AF＋CU

其中A＝(aij)pxm

F＝(f1，f2，…，fm)

CU=(C1U1，C2U2，…，CPUP)

若記Xi*＝ai1f1＋ai2f2＋…＋aimfm，則Xi*為Xi的共性部分，系數(shù)aij則表示Xi在因子fj上的載荷(負(fù)荷)，又叫做因子載荷。也有人把a(bǔ)ij叫權(quán)重系數(shù)，其大小表明Xi依賴fj的程度。而矩陣A＝(aij)pxm則稱為因子載荷矩陣。Ui表示Xi的獨(dú)立部分，又稱為獨(dú)立因子。Ci為Xi在Ui上的負(fù)荷。因子載荷

所謂因子分析，就是從可以測(cè)量的變量(X1，X2，…，XP)的樣本觀察值，即研究獲得的數(shù)據(jù)資料中，求出因子載荷矩陣A；再運(yùn)用求出的因子和因子載荷矩陣來(lái)預(yù)測(cè)公因子(f1，f2，…，fm)。在進(jìn)行因子分析時(shí)，為了消去變量量綱的影響，常常將變量觀察結(jié)果首先進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。如果把標(biāo)準(zhǔn)化處理后的結(jié)果仍然記為(X1，X2，…，XP)，則有E(