第七章Z變換Z域分析

§7.1引言§7.2Z變換定義典型序列的Z變換§7.3Z變換的收斂域§7.4逆Z變換§7.5Z變換的基本性質(zhì)§7.6Z變換與拉普拉斯變換關(guān)系§7.7利用Z變換解差分方程§7.8離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)第七章Z變換Z域分析§7.1引言1§7.1引言補充：冪級數(shù)

冪級數(shù)和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導，可逐項積冪級數(shù)在收斂域內(nèi)解析、處處可導等比幾何級數(shù)求值表

§7.1引言補充：冪級數(shù)冪級數(shù)和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可2§7.2Z變換定義

典型序列的Z變換一.Z變換定義1.由抽樣信號引出Z變換

對上式取拉氏變換

§7.2Z變換定義

典型序列的Z變換一.Z變換定3說明：（1）序列的Z變換是復變量Z-1的冪級數(shù)（2）冪級數(shù)的系數(shù)是序列x(n)的樣值（3）只有當冪級數(shù)收斂時和存在時，Z變換存在2.單邊Z變換雙邊Z變換說明：（1）序列的Z變換是復變量Z-1的冪級數(shù)2.單邊Z變換4二.典型序列的Z變換

2.

3.1.

對z-1逐項求導兩邊再乘z-14.

二.典型序列的Z變換2.3.1.5§7.3Z變換的收斂域收斂域：只有當級數(shù)收斂時，Z變換才有意義對于任意給定的有界序列x(n)，使Z變換定義式級數(shù)收斂的所有Z值集合，即Z滿足什么條件和式收斂，即為收斂域一.判定級數(shù)收斂方法

§7.3Z變換的收斂域收斂域：只有當級數(shù)收斂時，Z變換才61.收斂充要條件：2.比值判定法：

若有一個正項級數(shù)正項級數(shù)滿足絕對可和

3.根值判定法：

若正項級數(shù)的n次根的極限等于ρ令它的后項與前相比值的極限等于ρ1.收斂充要條件：2.比值判定法：正項級數(shù)滿足絕對可和37二.典型序列的收斂域

1.有限長序列：

①

二.典型序列的收斂域1.有限長序列：①8②

n都取負值，變成z的正冪，只要有限和收斂③z的負冪，只要有限和收斂包括∞包括z=0總結(jié)：對于有限長序列，收斂域為除0、∞的整個平面②n都取負值，變成z的正冪，只要有限和收斂③92.右邊序列

有起點無終點由根值判別法

時級數(shù)收斂右邊序列的收斂半徑為半徑為的圓外部分是否包括∞和的取值有關(guān)無窮級數(shù)，由級數(shù)判定法來判收斂z的負冪次收斂域包括∞因果序列因果序列特點：（包括∞）圓外部分2.右邊序列有起點無終點由根值判別法103.左邊序列

無始有終信號轉(zhuǎn)化成右邊序列求，令m=-n根值判別法：左邊序列的收斂半徑為半徑為的圓內(nèi)部分是否包括0和的取值有關(guān)包括03.左邊序列無始有終信號轉(zhuǎn)化成右邊序列求，令m=-n根114.雙邊序列左邊右邊則例：求序列的單邊、雙邊Z變換b>a,b>0,a>04.雙邊序列左邊12解：1.單邊Z變換

2.雙邊Z變換

結(jié)論：（1）通常收斂域以極點為邊界，且收斂域內(nèi)無極點（2）根據(jù)x(n)是左邊、右邊、還是雙邊序列，直接寫出收斂域形式解：1.單邊Z變換2.雙邊Z變換13§7.4逆Z變換一.逆Z變換定義C是包圍

所有極點的逆時針閉合積分路線，二.求逆變換方法1.留數(shù)法（圍線積分）2.部分分式展開法經(jīng)查表求出逐項的逆變換再取和3.長除法x(z)展開冪級數(shù)得到x(n)通常選擇Z平面收斂域內(nèi)以圓點為中心的圓。§7.4逆Z變換一.逆Z變換定義C是包圍14（一）留數(shù)法

留數(shù)定理：設函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除有限個孤立奇點外，處處解析（可導），C為D內(nèi)包圍諸奇點一注：區(qū)域D：指收斂域圍線C：在收斂域內(nèi)以圓點為中心的圓極點的個數(shù)：圍線C所包含的極點個數(shù)極點是這個函數(shù)的極點一條簡單閉曲線，則有（一）留數(shù)法外，處處解析（可導），C為D內(nèi)包圍諸奇點一注：15說明：1.為2.m為極點個數(shù)

的極點既分母為零的點，由兩部分構(gòu)成，的極點及提供n的取值不同，z=0處是否有極點及階次將不同若為一階極點：則若為k階極點：則極點處極點（當n-1<0時），3.Zi為收斂域內(nèi)圍線所包圍的極點情況說明：1.為2.m為極點個數(shù)的極點既分母為零的點，164.圍線的選擇5.z變換相同，但收斂域不同，逆變換不同例：

求三種可能收斂域的逆變換解：1.三種可能收斂域2.收斂域|z|>1時（1）先求圍線內(nèi)所包含的極點個數(shù)x(z)zn-1

4.圍線的選擇例：求三種可能收斂域的逆變17（2）利用公式求x(n)（2）利用公式求x(n)183.收斂域（1）先求圍線內(nèi)所包含的極點個數(shù)（2）收斂域時自己分析時總結(jié)：步驟：（1）f(z)=x(z)zn-1（2）求x(z)zn-1的所有極點（3）在x(z)的收斂域內(nèi)畫圍線，確定包含那些極點（4）求所包含極點處的留數(shù)3.收斂域（1）先求圍線內(nèi)所包含的（2）收斂域時自己分19（二）冪級數(shù)展開法（長除法）∵x(z)的Z變換就是z-1的冪級數(shù),冪級數(shù)系數(shù)就是x(n)∴只要把x(z)展成z-1的冪級數(shù),則系數(shù)就是逆變換x(n)方法：（1）x(z)收斂域|z|>Rx2右邊序列N(z)D(z)按Z的降冪排列（2）x(z)收斂域|z|<Rx1左邊序列N(z)D(z)按Z的升冪排列用分子多項式除以分母多項式（二）冪級數(shù)展開法（長除法）∵x(z)的Z變換就是z-120解：

∵|z|<1是右邊序列∴分子分母按Z-1的降冪排列則

觀察系數(shù)

Z的冪級數(shù)

變成Z-1的冪級數(shù)

解：∵|z|<1是右邊序列∴分子分母按Z-1的降冪21

x(z)按z的降冪排列注意：長除法適用于看出x(n)規(guī)律的變換，局限性很大。x(z)按z的降冪排列注意：長除法適用于看出x(n)22（三）部分分式展開法

方法思路：把各逆變換相加即可得x(n)因為z變換的基本形式分子有一個z所以通常對然后每個分式乘以z把x(z)展成一些簡單而常用的部分分式之和，然后分別求出個部分分式的逆變換，進行部分分式展開，（三）部分分式展開法把各逆變換相加即可得x(n)因為z變換的23

對于物理可實現(xiàn)系統(tǒng)，要求系統(tǒng)是一個因果系統(tǒng)，對于因果系統(tǒng)來說，|Z|>R為保證z=∞處收斂，則要求分母多項式的階次不低于分子多項式的階次k≥rx(z)只有一階極點

對于物理可實現(xiàn)系統(tǒng)，要求系統(tǒng)是一個因果系統(tǒng)，對于因果系統(tǒng)來242.x(z)中含有高階k階極點j=1.2.‥k2.x(z)中含有高階k階極點j=1.2.‥k25解：

注意:收斂域不同，對應逆變換將不同

∴

x(n)是因果序列解：注意:收斂域不26例：畫出哪種情況對應左邊序列、右邊序列、雙邊序列，并求各自對應序列。的零極點圖，在下列三種收斂域內(nèi)，解：例：畫出哪種情況對應左邊序列、右邊序列、雙邊序列，并求各自27（1）|z|>2右邊序列因果序列（包括∞）（2）|z|<0.5左邊序列（3）（1）|z|>2右邊序列因果序列（包括∞）（2）|28§7.5Z變換的基本性質(zhì)、線性

注：相加后Z變換收斂域一般為兩個收斂域的重疊部分若在這些線性組合中某些零點、極點相抵消，則收斂域就可能擴大※對所有Z變換的性質(zhì)，均需注意其變換后收斂域變化§7.5Z變換的基本性質(zhì)、線性注：相加后Z變換收斂域一般為29解：

收斂域為全Z平面（擴大）解：收斂域為全Z平面（擴大）30移位性表示序列移位后的Z變換與原序列Z變換關(guān)系（1）雙邊Z變換二、移位性（2）單邊Z變換ⅰ若x(n)為雙邊序列移出m個值，就要減去這k個值的Z變換移位性表示序列移位后的Z變換與原序列Z變換關(guān)31ⅱ若x(n)為因果序列移入m個值，但移入的m個值都是0，x(n)為因果序列移出m個值三.序列線性加權(quán)（Z域微分）ⅱ若x(n)為因果序列移入m個值，但移入的m個值32其中表示共求導m次四.序列指數(shù)加權(quán)（Z域尺度變換）

其中表示共求導m次四.序列指數(shù)加權(quán)（Z域尺度變換）33五.初值定理

六.終值定理

注意：x(n)序列的終值要存在，即當n→∞x(n)收斂x(z)的極點必須處在單位圓內(nèi)，穩(wěn)定在單位圓上只能位于z=±1點且是一階極點，臨界穩(wěn)定七.時域卷積五.初值定理六.終值定理注意：x(n)序列34八.序列相乘（Z域卷積）

注：（1）分別為與或與（2）計算圍線積分可應用留數(shù)定理收斂與重疊部分內(nèi)逆時針旋轉(zhuǎn)的圍線八.序列相乘（Z域卷積）注：（1）分別為與或與（2）35§7.6Z變換與拉普拉斯變換關(guān)系、Z平面與S平面映射關(guān)系

（兩坐標系的對應關(guān)系）§7.6Z變換與拉普拉斯變換關(guān)系、Z平面與S平面映射關(guān)系36在討論拉時變換時，若函數(shù)極點落在S平面左半面、右半面、虛軸上，直接影響系統(tǒng)穩(wěn)定性，因此分幾個區(qū)來討論S平面虛軸映射到Z平面上

對應任意角變化一周足，在S平面上時結(jié)論：S平面虛軸映射到Z平面是單位圓，只要變化范圍為即只從，對應至Z平面是單位圓，時對應無數(shù)重疊圓變化一圈在討論拉時變換時，若函數(shù)極點落在S平面左半面、右半面、S平面37對應任意角結(jié)論：S平面左半面對應Z平面單位圓內(nèi)部分2、S平面左半面映射到Z平面上結(jié)論：S平面右半面對應Z平面單位圓外部分3、S平面右半面映射到Z平面上對應任意角結(jié)論：S平面左半面對應Z平面單位圓內(nèi)部分2、S平384.S平面實軸映射到Z平面上結(jié)論：S平面實軸映射到Z平面是正實軸二、Z變換與拉氏變換表達式對應關(guān)系4.S平面實軸映射到Z平面上結(jié)論：S平面實軸映射到Z平面是39對差分方程兩邊進行Z變換課件40§7.7利用Z變換解差分方程線性時不變系統(tǒng)的差分方程一般形式：（1）§7.7利用Z變換解差分方程線性時不變系統(tǒng)的差分方程一般形式41求差分方程方法：（2）Z變換求差分方程（1）(3)求一.Z變換求差分方程步驟：

(1)對差分方程進行Z變換，差分方程變成代數(shù)方程(2)解方程得Y(z)求差分方程方法：（2）Z變換求差分方程（1）(3)求一.Z421.對（1）式進行Z變換

零狀態(tài)零輸入1.對（1）式進行Z變換零狀態(tài)零輸入43二.例：已知一LTI離散系統(tǒng)滿足差分方程

求響應解：

起始狀態(tài)：進行Z變換時，方程中出現(xiàn)的各時刻的y(i)值即為起始狀態(tài)二.例：已知一LTI離散系統(tǒng)滿足差分方程求響應44例：已知一LTI離散系統(tǒng)滿足差分方程

由Z域求系統(tǒng)零輸入響應、零狀態(tài)響應和完全響應解：令n=n-2，對差分方程兩邊進行Z變換零輸入

零狀態(tài)例：已知一LTI離散系統(tǒng)滿足差分方程由Z域求系統(tǒng)零輸入響應、45§7.8離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)一.定義系統(tǒng)函數(shù)1.2.H(z)=Z[h(n)]:系統(tǒng)單位樣值響應h(n)的Z變換例：求y(n)-ay(n-1)=bx(n)所描述系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和單位樣值響應。解：

§7.8離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)一.定義系統(tǒng)函數(shù)1.2.H46二.系統(tǒng)函數(shù)對系統(tǒng)特性的影響1.由極點分布決定系統(tǒng)單位樣值響應2.由極點分布決定系統(tǒng)穩(wěn)定性3.由零點分布決定系統(tǒng)的頻率特性三.由系統(tǒng)函數(shù)零極點分布確定單位樣值響應∵H(z)與h(n)是一個Z變換對，∴可以從H(z)的零極點分布情況確定h(n)的特性H(z)的極點決定h(n)的收斂域，影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性H(z)的零點影響h(n)的幅度和相位極點落在單位圓外，極點落在單位圓內(nèi)，極點落在單位圓上，二.系統(tǒng)函數(shù)對系統(tǒng)特性的影響三.由系統(tǒng)函數(shù)零極點分布確定單位47四.判斷離散時間系統(tǒng)的穩(wěn)定性、因果性∴收斂域的系統(tǒng)是因果系統(tǒng)1.因果性（1）輸入輸出關(guān)系：輸出不領(lǐng)先于輸入（定義）Y(n)=x(n+1)非因果（2）由h(n)判斷：h(n)=0h<0（3）由H(z)的收斂域判斷∵因果序列的收斂域包括∞在內(nèi)四.判斷離散時間系統(tǒng)的穩(wěn)定性、因果性∴收斂域的系統(tǒng)是因果系482.穩(wěn)定性（2）（3）H(z)的收斂域判定：收斂域包含單位圓在內(nèi)系統(tǒng)穩(wěn)定令z=1要使系統(tǒng)穩(wěn)定應有也即穩(wěn)定系統(tǒng)收斂域肯定包括單位圓在內(nèi)（1）則一定成立∴此時收斂域肯定包括在內(nèi)，2.穩(wěn)定性（2）（3）H(z)的收斂域判定：收49收斂域的求法:根據(jù)典型序列：有限長、右邊、左邊、雙邊序列先確定收斂域的一般形式2.再由Z變換極點來確定a、b值收斂域特點：以極點為邊界，且在收斂域內(nèi)不能包括極點解：臨界穩(wěn)定例：已知

判斷是否穩(wěn)定收斂域的求法:2.再由Z變換極點來確定a、b值解：臨界50例：已知系統(tǒng)函數(shù)如下，試說明分別在（1），（2）兩種情況下系統(tǒng)的穩(wěn)定性、因果性

（1）

（2）解：1.

收斂域包含∞在內(nèi)，是因果系統(tǒng)，右邊序列

極點落在單位圓外，不穩(wěn)定2.

雙邊序列：非因果系統(tǒng)

系統(tǒng)穩(wěn)定例：已知系統(tǒng)函數(shù)如下，試說明分別在（1），（2）兩種情51例：差分方程表示的某離散系統(tǒng)