§2

向量組的線性相關(guān)性§2向量組的線性相關(guān)性稱為向量組A的一個(gè)線性組合．線性組合：給定向量組A：對于任何一組實(shí)數(shù)表達(dá)式線性表示：給定向量組A：和向量，如果存在一組實(shí)數(shù)l1,l2,…,ln

，使得則稱向量是向量組A的線性組合，這時(shí)稱向量能由向量組A線性表示．回顧稱為向量組A的一個(gè)線性組合．線性組合：給定向量組A：向量能由向量組

A線性表示線性方程組Ax=有解P.110定理4.1的結(jié)論：由于零向量可由向量組A線性表示：0n元齊次線性方程組Ax=0有非零解

n元齊次線性方程組Ax=0只有零解

向量能由線性方程組P.110定理4.向量組的線性相關(guān)性定義：給定向量組A：，如果存在不全為零的實(shí)數(shù)k1,k2,…,kn

，使得（零向量）則稱向量組A是線性相關(guān)的，否則稱它是線性無關(guān)的．當(dāng)且僅當(dāng)k1=k2=…=kn=0

時(shí)，才有線性無關(guān)：向量組的線性相關(guān)性定義：給定向量組A：向量組線性相關(guān)性的判定定理m維向量組A：線性相關(guān)存在不全為零的實(shí)數(shù)k1,k2,…,kn

，使得

（零向量）

n元齊次線性方程組

Ax=0有非零解．矩陣A=的秩小于向量的個(gè)數(shù)n．即：r(A)<n向量組線性相關(guān)性的判定定理m維向量組A：向量組線性無關(guān)性的判定定理m維向量組A：線性無關(guān)n元齊次線性方程組

Ax=0只有零解．矩陣A=的秩等于向量的個(gè)數(shù)n．即：r(A)=n如果（零向量），則必有k1=k2=…=kn=0．向量組線性無關(guān)性的判定定理m維向量組A：推論已知m維向量組A：,矩陣(1)若向量的維數(shù)少于向量的個(gè)數(shù)，即m<n，則

向量組A線性相關(guān)(2)若向量的維數(shù)等于向量的個(gè)數(shù)，即m=n，則

n維向量組A線性相關(guān)n維向量組A線性無關(guān)特別地，n+1個(gè)n維向量一定線性相關(guān)．推論已知m維向量組A：例1、已知向量組向量組線性相關(guān)例1、已知向量組向量組例2、已知向量組向量組線性無關(guān)例2、已知向量組向量組一些特殊向量組的線性相關(guān)性1、單個(gè)向量的向量組(1)若其次線性方程組有非零解k=1

單個(gè)零向量線性相關(guān)(2)若其次線性方程組僅有零解k=0

單個(gè)非零向量線性無關(guān)2、兩個(gè)向量的向量組(1)若線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)使得不妨令，可得：

對應(yīng)分量成比例的兩個(gè)向量線性相關(guān)一些特殊向量組的線性相關(guān)性1、單個(gè)向量的向量組(1)若(2)若對應(yīng)分量不成比例，則齊次線性方程組不可能有非零解，否則，假設(shè)

可得：(成比例，矛盾)

3、含有零向量的向量組已知向量組A:，若向量齊次線性方程組有非零解含有零向量的向量組線性相關(guān)對應(yīng)分量不成比例的兩個(gè)向量線性無關(guān)(2)若對應(yīng)分量不成比例，則齊次線性由于齊次線性方程組即僅有零解n維基本單位向量組線性無關(guān)4、n維基本單位向量組由于齊次線性方程組即僅有零解n維基本單位向量組線性無關(guān)4、n向量組線性相關(guān)性的性質(zhì)性質(zhì)1、

僅有零解k1=k2=…=kn=0．

維向量組，則向量組線性無關(guān)低維線性無關(guān)高維線性無關(guān)向量組線性相關(guān)性的性質(zhì)性質(zhì)1、

僅有零解k1=k2=例3：例3：性質(zhì)2、考慮向量組，如果部分組線性相關(guān)，則齊次線性方程組有非零解因而，齊次線性方程組也有非零解所以向量組也線性相關(guān)部分相關(guān)整體相關(guān)，整體無關(guān)部分無關(guān)性質(zhì)2、考慮向量組例4、分析：例4、分析：性質(zhì)3、已知向量組，若其中至少有一個(gè)向量能表示成其余向量

的線性組合，不妨假設(shè)則其次線性方程組有非零解向量組線性相關(guān)

反之，若向量組線性相關(guān)，則齊次線性方程組有非零解即性質(zhì)3、已知向量組因?yàn)椴蝗珵榱?，不妨假設(shè)，則有即：至少有一個(gè)向量能表示成其余向量的線性組合向量組線性相關(guān)等價(jià)于其中至少有一個(gè)向量能表示成其余向量的線性組合因?yàn)樾再|(zhì)4、已知向量組線性相關(guān)，且部分組

線性無關(guān)，則向量一定能由部分組線性表示分析：向量組線性相關(guān)(不全為零）又因?yàn)橄蛄拷M線性無關(guān)所以：否則向量組線性相關(guān)性質(zhì)4、已知向量組例5、已知向量組線性無關(guān)，證明向量組也線性無關(guān)證明